5.3 诱导公式 讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

5.3诱导公式
目标：1、理解九组诱导公式及其推导。
2、学会利用九组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行求值、化简与证明。
复习回顾：任意角的三角函数的定义，符号法则
（一）、知识探究
诱导公式一: sin(α+2kπ)=_______
cos(α+2kπ)=_______ （）
tan(α+2kπ)=_______
公式的作用________________________
诱导公式二： sin(-α)=_______
cos(-α)=_______
tan(-α)=_______
诱导公式三: sin(π-α)=________
cos(π-α)=________
tan(π-α)=________
诱导公式四：sin(π+α) =______
cos(π+α) =______
tan(π+α) =______
诱导公式五：
Sin（2π—α）=_____ cos(2π—α)=______ tan(2π—α)=______
诱导公式六:
Sin(-α)=________ cos(-α)=________
tan(-α)=________
诱导公式七：（学生利用诱导公式证明）
Sin(+α)=_____ cos(+α)=______ tan(+α)=______
诱导公式八：
Sin(—α)=_____ cos(—α)=______ tan(—α)=______
诱导公式九：
Sin(+α)=_____ cos(+α)=______ tan(+α)=______
作用：实现正弦（切）函数和余弦（切）函数的互化,角的转化。
口决：奇变偶不变，符号看象限
注意：（1）奇偶指的是中的k是奇数或偶数
符号指的是前面三角函数的正负（由象限确定）
（二）、题型探究
类型一：给角求值
例1 求下列各三角函数值
(1) sin225° (2) sin(-2040)° (3)sin (4)cos(-)
练习：求下列各三角函数值
(1)cos420 （2）sin() (3)sin1470 (4)cos()
点拨:(1)负角三角函数正角三角函数～角三角函数锐角三角函数 求值.
例2(1)求的值
(2)求 cos+cos+cos+cos+cos+cos的值
(3)设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a、b、α、β都是非零实数，且满足f(2018)=-1,求f(2019)的值
练习：(1)求.
(2) 的值
(2)找出角之间的关系
类型二：给值求值
例3(1)若sin(π+α)=- ,则sin(4π-α)=__________
(2)已知sin(α- )= ，则cos(+α)=___________
(3)设tanα=3,则 ____________
(4)已知f(x)满足f(cosx)=1-cos2x,则f(sin15 )=___________
练习：已知，且为第四象限角，求 的值.
点拨：（1）角与角有什么关系？
（2）与有什么关系？
（3）已知如何求？应注意什么问题？
类型三：化简
例4 化简.
练习：化简：；
例5求值.
例6已知为第三象限角，且.
（1）化简；（2）若，求的值；
（3）若，求的值.
类型四：证明（由繁到简、左右归一）
例6、 证明(1)
(2)tan(3π-α)sin(α-5π)cos(4π-α)=tan(2π+α)sin(α+)cos(α+)
练 习 一
1．已知sin(α－)＝，则cos的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
2．已知sin110°＝a，则cos20°的值为(　　)
A．a B．－a C． D．－
3．已知点P(sin(π＋θ)，sin(－θ))在第三象限，则角θ在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知tanθ＝2，则 ＝(　　)
A．2 B．－2 C．0 D．
5．化简··＋sin(－θ)的结果为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．
6．计算sin·cos·tan的值是(　　)
A．－ B． C．－ D．
7．化简tan1°·tan2°·tan3°·…·tan89°＝________.
8．设，则φ＝___.
9．已知角α终边上一点P(－4,3)，求的值．
练 习 二
1． sin600°＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝(　　)
A． B．－ C． D．－
3．设A、B、C是一个三角形的三个内角，则在①sin(A＋B)－sinC；②cos(A＋B)＋cosC；③tan(A＋B)＋tanC；④cot(A＋B)－cotC(C≠)，这四个式子中值为常数的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列各三角函数值：
①sin1 125°； ②tan·sin； ③； ④sin1－cos1.
其中为负值的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．化简的结果是(　　)
A．sin3－cos3 B．cos3－sin3 C．±(sin3－cos3) D．以上都不对
6．记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝(　　)
A． B．－ C． D．－
7．已知cos(π＋α)＝－，则tan(α－9π)＝________.
8．已知角α的终边上一点P(3a,4a)，a<0，则cos(540°－α)＝________.
9．求下列三角函数式的值：
(1)sin(－840°)cos1 470°－cos(－420°)sin(－930°)；
(2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.
练 习 三
1．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　)
A． B． C． D．－
2．若tan(7π＋α)＝a，则的值为(　　)
A． B． C．－1 D．1
3．化简得到的结果是(　　)
A．0 B． C． D．
4．已知，且α∈，则tan(2π－α)的值为(　　)
A．－ B． C．± D．
5．sin＋2sin＋3sin=________．
6．已知tan(π＋α)＝－，求下列各式的值．
(1) (2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．
7．化简：.
8．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．
练 习 四
1. _____
B． C． D．
2. =______
A. B. C. D.
3.已知，且，则=_________
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
4. =_______
A. B. C. D.
5. 已知，是第一象限角，则=______
A． B． C． D．
6. 已知，且为第二象限的角，则 .
7. 已知，则= ．
8、求证：（1）＝.
（2）＝－tan θ.