平面向量的综合应用解析卷
选择题每个9分
1．已知向量a＝，b＝，则|a－b|＝( )
A．1 B.
C. D.
解析：选C 因为a－b＝＝(，0)，所以|a－b|＝，故选C.
2．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A. B．2
C. D.
解析：选C 由于F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F1＋F2|＝＝.
3．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：选A 由2＝·＋·＋·，得·－2＋·＋·＝·(－)＋B·(＋)＝·＋·＝·＝0，∴AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．故选A.
4．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
解析：选B 如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－.
5．已知向量e1，e2，|e1|＝1，e2＝(1，)，e1，e2的夹角为60°，则(e1＋e2)·e2＝( )
A. B.
C．5 D.
解析： e2＝(1，) |e2|＝2，所以(e1＋e2)·e2＝e1·e2＋e＝1×2cos 60°＋4＝5.故选C.
6．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋2b)·a＝2，下列说法正确的是( )
A．a⊥b B．a与b同向
C．a与b反向 D．a与b夹角为60°
解析：选B 因为(a＋2b)·a＝1＋2××1×cos θ＝2，得cos θ＝1，所以θ＝0°，则a，b同向，故选B.
7．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝________.
解析：2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)，
因为(2a－3b)⊥c，所以2(2k－3)＋(－6)＝0，
解得k＝3.
8．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．
解析：∵＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，
∴＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，
∵A，B，C三点共线，
∴＝λ，即(a－1,1)＝λ(－b－1,2)，
∴可得2a＋b＝1，
∵a>0，b>0，
∴＋＝(2a＋b)＝2＋2＋＋≥4＋2 ＝8，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，
故＋的最小值为8.
9．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值； （7分）
(2)若m与n的夹角为，求x的值． （7分）
解：(1)∵m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n，
∴m·n＝sin x－cos x＝0，即sin x＝cos x， ∴tan x＝＝1.
(2)由题意知，|m|＝＝1， |n|＝＝1，
m·n＝sin x－cos x＝sin. 而 m·n＝|m|·|n|·cos〈m，n〉＝cos＝，
∴sin＝.
又∵x∈，x－∈， ∴x－＝，∴x＝.
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； （7分）
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． （7分）
解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
(2)由题设知，＝(－2，－1)，
－tOC＝(3＋2t,5＋t)，
由(－t)·＝0，
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.平面向量的综合应用
选择题每个9分
1．已知向量a＝，b＝，则|a－b|＝( )
A．1 B.
C. D.
2．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A. B．2
C. D.
3．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
4．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
5．已知向量e1，e2，|e1|＝1，e2＝(1，)，e1，e2的夹角为60°，则(e1＋e2)·e2＝( )
A. B. C．5 D.
6．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋2b)·a＝2，下列说法正确的是( )
A．a⊥b B．a与b同向
C．a与b反向 D．a与b夹角为60°
7．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝________.
8．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值． （共14分）
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． （共14分）
