2022-2023学年高二数学 人教A版（2019）选择性必修第一册教案：1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第一课时）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二数学 人教A版（2019）选择性必修第一册教案：1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第一课时） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-19 18:33:01 | ||
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文档简介
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第一课时）
教学设计
一、教学目标
1. 能用向量语言描述点、直线和平面；
2. 理解直线的方向向量和平面的法向量.
二、教学重难点
1. 教学重点
理解直线的方向向量和平面的法向量.
2. 教学难点
建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.
三、教学过程
（一）新课导入
我们已经学习了空间向量的相关概念及运算，那么空间向量有什么应用呢？本节我们将从空间中点、直线和平面的向量表示入手，研究空间向量在立体几何中的应用.
（二）探索新知
问题1 如何用向量表示空间中的一个点？
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.
问题2 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何用向量表示直线l？
用向量表示直线l，就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点.
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，即.
如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，①
将代入①式，得.②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
证明上述结论：设l是空间中的任意一条直线，点M为其上一点，点P为其上任意一点，b为其方向向量，
，
，
∴直线上任意一点P能用直线上一点M及直线的方向向量b表示，且一个实数t对应直线上唯一一个点P，
∴空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
对直线的方向向量的理解：
（1）在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备两个条件：
①不能为零向量；②表示方向向量的有向线段所在的直线与该直线平行或重合.
（2）一条直线的方向向量有无数个.
（3）直线的方向向量是空间中直线向量表示的关键量，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定，也就是说，给定空间直线上一点A和直线的方向向量a，就可以确定唯一一条过点A的直线.
问题3 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？
（学生以小组为单位讨论探究，每组选出代表回答，教师引导、讲解）
平面α可以由α内两条相交直线确定.如下图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得.
这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点.
如下图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使.③
我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的.由此可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面.
如下图，直线.取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
例1 如图，在长方体中，，M是AB的中点.以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求平面的法向量；
（2）求平面的法向量.
解：（1）因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量.
（2）因为，M是AB的中点，所以的坐标分别为.因此.
设是平面的法向量，则.
所以，
所以.
取，则.于是是平面的一个法向量.
（三）课堂练习
1.若点在直线上，则直线一个方向向量为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意，可得直线的一个方向向量.又，所以向量是直线的一个方向向量.故选A.
2.如图，在空间直角坐标系中，为正方体，给出下列结论：
①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为，③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：C
解析：；；直线平面，；点的坐标为，与平面不垂直，∴④错.故选C.
3.在中，，设是平面内任意一点.
（1）求平面的一个法向量；
（2）求满足的关系式.
答案：（1）设平面的一个法向量，
，
，，
令，则，
所以平面的一个法向量为.
（2）因为点是平面内任意一点，，
，
，
故满足的关系式为.
（四）小结作业
小结：
1. 直线的方向向量及其求法；
2. 平面的法向量及其求法.
作业：
四、板书设计
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第一课时）
1. 直线的方向向量；
2. 平面的法向量.
2
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第一课时）
教学设计
一、教学目标
1. 能用向量语言描述点、直线和平面；
2. 理解直线的方向向量和平面的法向量.
二、教学重难点
1. 教学重点
理解直线的方向向量和平面的法向量.
2. 教学难点
建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.
三、教学过程
（一）新课导入
我们已经学习了空间向量的相关概念及运算，那么空间向量有什么应用呢？本节我们将从空间中点、直线和平面的向量表示入手，研究空间向量在立体几何中的应用.
（二）探索新知
问题1 如何用向量表示空间中的一个点？
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.
问题2 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何用向量表示直线l？
用向量表示直线l，就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点.
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，即.
如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，①
将代入①式，得.②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
证明上述结论：设l是空间中的任意一条直线，点M为其上一点，点P为其上任意一点，b为其方向向量，
，
，
∴直线上任意一点P能用直线上一点M及直线的方向向量b表示，且一个实数t对应直线上唯一一个点P，
∴空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
对直线的方向向量的理解：
（1）在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备两个条件：
①不能为零向量；②表示方向向量的有向线段所在的直线与该直线平行或重合.
（2）一条直线的方向向量有无数个.
（3）直线的方向向量是空间中直线向量表示的关键量，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定，也就是说，给定空间直线上一点A和直线的方向向量a，就可以确定唯一一条过点A的直线.
问题3 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？
（学生以小组为单位讨论探究，每组选出代表回答，教师引导、讲解）
平面α可以由α内两条相交直线确定.如下图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得.
这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点.
如下图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使.③
我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的.由此可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面.
如下图，直线.取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
例1 如图，在长方体中，，M是AB的中点.以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求平面的法向量；
（2）求平面的法向量.
解：（1）因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量.
（2）因为，M是AB的中点，所以的坐标分别为.因此.
设是平面的法向量，则.
所以，
所以.
取，则.于是是平面的一个法向量.
（三）课堂练习
1.若点在直线上，则直线一个方向向量为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意，可得直线的一个方向向量.又，所以向量是直线的一个方向向量.故选A.
2.如图，在空间直角坐标系中，为正方体，给出下列结论：
①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为，③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：C
解析：；；直线平面，；点的坐标为，与平面不垂直，∴④错.故选C.
3.在中，，设是平面内任意一点.
（1）求平面的一个法向量；
（2）求满足的关系式.
答案：（1）设平面的一个法向量，
，
，，
令，则，
所以平面的一个法向量为.
（2）因为点是平面内任意一点，，
，
，
故满足的关系式为.
（四）小结作业
小结：
1. 直线的方向向量及其求法；
2. 平面的法向量及其求法.
作业：
四、板书设计
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第一课时）
1. 直线的方向向量；
2. 平面的法向量.
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