2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册教案：1.2 空间向量基本定理
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册教案：1.2 空间向量基本定理 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 256.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-19 18:33:46 | ||
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文档简介
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
教学设计
一、教学目标
1.理解空间向量基本定理的意义.
2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示.
3.会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量.
4.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角.
二、教学重难点
1、教学重点
空间向量基本定理.
2、教学难点
对空间向量基本定理的理解与应用，空间向量基本定理的空间作图.
三、教学过程
1、新课导入
我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示（平面向量基本定理）.类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a，b，c来表示呢？
2、探索新知
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
如图所示，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则.又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得，从而.
而在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得.从而.
因此，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得.我们称xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的分向量.
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？
类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理.
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
由此可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来，进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便.
3、课堂练习
1.在空间四点中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是( )
A. 四点不共线 B. 四点共面，但不共线
C. 四点不共面 D. 四点中任意三点不共线
答案：B
解析：选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四个点共面，向量构不成基底.
2.如图所示，在四面体中，点在上，且为的中点，则( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：，故选B.
3.已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，表示，则等于( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析： ，故选D.
4.已知是空间五点，且任何三点不共线.若与均不能构成空间的一个基底，则下列结论：
①不能构成空间的一个基底；②不能构成空间的一个基底；③不能构成空间的一个基地；④能构成空间的一个基底.
其中正确的有_________个.
答案：3
解析：由题意知空间五点共面，故①②③正确，④错误.
5.如图，在四面体中，为的重心，是上一点，，以为基底，则___________.
答案：
解析：连接交于点，连接，则
6.如图， 分别是四面体的边的中点， 是的三等分点.用向量表示
答案：
4、小结作业
小结：本节课学习了空间向量基本定理及其应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
1.2 空间向量基本定理
空间向量基本定理.：如果三个向量a，b，c不共面.那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
由此可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
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1.2 空间向量基本定理
教学设计
一、教学目标
1.理解空间向量基本定理的意义.
2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示.
3.会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量.
4.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角.
二、教学重难点
1、教学重点
空间向量基本定理.
2、教学难点
对空间向量基本定理的理解与应用，空间向量基本定理的空间作图.
三、教学过程
1、新课导入
我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示（平面向量基本定理）.类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a，b，c来表示呢？
2、探索新知
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
如图所示，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则.又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得，从而.
而在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得.从而.
因此，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得.我们称xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的分向量.
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？
类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理.
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
由此可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来，进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便.
3、课堂练习
1.在空间四点中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是( )
A. 四点不共线 B. 四点共面，但不共线
C. 四点不共面 D. 四点中任意三点不共线
答案：B
解析：选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四个点共面，向量构不成基底.
2.如图所示，在四面体中，点在上，且为的中点，则( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：，故选B.
3.已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，表示，则等于( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析： ，故选D.
4.已知是空间五点，且任何三点不共线.若与均不能构成空间的一个基底，则下列结论：
①不能构成空间的一个基底；②不能构成空间的一个基底；③不能构成空间的一个基地；④能构成空间的一个基底.
其中正确的有_________个.
答案：3
解析：由题意知空间五点共面，故①②③正确，④错误.
5.如图，在四面体中，为的重心，是上一点，，以为基底，则___________.
答案：
解析：连接交于点，连接，则
6.如图， 分别是四面体的边的中点， 是的三等分点.用向量表示
答案：
4、小结作业
小结：本节课学习了空间向量基本定理及其应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
1.2 空间向量基本定理
空间向量基本定理.：如果三个向量a，b，c不共面.那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
由此可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
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