2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第三课时）

第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第三课时）
教学设计
一、教学目标
1. 能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；
2. 能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理.
二、教学重难点
1. 教学重点
用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系.
2. 教学难点
建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
（二）探索新知
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直.
1. 用向量刻画线线垂直
如图，设直线的方向向量分别为，则
.
2. 用向量刻画线面垂直
如图，设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则
，使得.
3. 用向量刻画面面垂直
如图，设平面的法向量分别为，则
.
例1 如图，在平行六面体中，， ，求证：直线平面.
证明：设，则为空间的一个基底，
且.
因为，，
所以.
在平面上，取为基向量，则对于平面上任意一点P，存在唯一的有序实数对，使得.
所以.
所以是平面的法向量.
所以平面.
例2 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
已知：如图，，
求证：.
证明：取直线l的方向向量u，平面的法向量n.
因为，所以u是平面的法向量.
因为，而n是平面的法向量，所以.
所以.
（三）课堂练习
1.若直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，则( )
A.
B.
C.
D. A，C都有可能
答案：A
解析：∵直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，
又，∴.故选A.
2.已知点，若平面，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题意知，又平面，所以，得①，，得②，联立①②，解得，故点的坐标为.故选C.
3.已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则__________.
答案：3
解析：∵平面的法向量为.又与平面平行，
∴，解得.
4.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是__________.
答案：①②③
解析：∵，∴，则①②正确；
又与不平行，∴是平面的法向量，则③正确；
由于，，∴与不平行，故④错误.
5.如图，四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点，证明.
答案：证明：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，，，，，.
易得，，
于是，所以.
（四）小结作业
小结：用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
作业：
四、板书设计
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第三课时）
1. 用向量刻画线线垂直；
2. 用向量刻画线面垂直；
3. 用向量刻画面面垂直.
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