2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第二课时）

第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第二课时）
教学设计
一、教学目标
1. 能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系；
2. 能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理.
二、教学重难点
1. 教学重点
用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系.
2. 教学难点
建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.
三、教学过程
（一）新课导入
1. 复习：直线的方向向量和平面的法向量.
2. 直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量.那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题.
（二）探索新知
问题1 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？
（学生自主思考，举手回答，教师引导，最后讲解）
如下图，设分别是直线的方向向量.由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.所以
，使得.
类似地，如下图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则
.
如下图，设分别是平面的法向量，则
，使得.
例1 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
已知：如图，.
求证：.
证明：如图，取平面的法向量n，直线a，b的方向向量u，v.
因为，所以.
因为，所以对任意点，存在，使得.
从而.
所以，向量n也是平面的法向量. 故.
例2 如图，在长方体中，.线段上是否存在点P，使得平面？
证明：以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，所以.
设是平面的法向量，则，
即，所以.
取，则.所以，是平面的一个法向量.
由的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得，.设点P满足，则，所以.
令，得，解得，这样的点P存在.
所以，当，即P为的中点时，平面.
（三）课堂练习
1.若平面的法向量分别为，则( )
A. B.与相交但不垂直
C. D.或与重合
答案：D
解析：∵，∴，∴或与重合.故选D.
2.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.∴.∴.故选B.
3.已知直线过点，且平行于向量，平面过直线与点，则平面的法向量不可能是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为，直线平行于向量，所以若是平面的法向量，则必须满足，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
4.若不同的平面的一个法向量分别为，则与的位置关系为_______.
答案：平行
解析：.
5.如图，已知梯形中， ，，，四边形为矩形，，平面平面.求证：平面.
答案：证明：取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
∴，，
设平面的法向量，
∴，不妨设，
又，
∴，
∴，
又∵平面，
∴平面.
（四）小结作业
小结：用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
作业：
四、板书设计
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第二课时）
1. 用向量刻画线线平行；
2. 用向量刻画线面平行；
3. 用向量刻画面面平行.
2