2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
教学设计
一、教学目标
1. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题；
2. 能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
二、教学重难点
1. 教学重点
理解并掌握用向量方法解决距离、夹角问题的方法和步骤.
2. 教学难点
辨析各种距离、夹角问题并能正确求出各种距离及夹角.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：上节课我们学习了用空间向量研究直线、平面的位置关系，包含哪几部分？
（1）空间中点、直线和平面的向量表示；（2）空间中直线、平面的平行；（3）空间中直线、平面的垂直.
这节课我们继续学习用空间向量研究距离、夹角问题.
（二）探索新知
探究一 用空间向量解决距离问题
问题1 立体几何中的距离问题包括哪些？
（学生自主思考，举手回答，教师总结）
包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离向题等.
1. 点到直线的距离
问题2 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离？
如图，向量在直线l上的投影向量为，则是直角三角形.因为A，P都是定点，所以与u的夹角都是确定的.于是可求.再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ.
设，则向量在直线l上的投影向量.
在中，由勾股定理，得.
问题3 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
（学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师最后总结）
答：在其中一条直线上取点P，将求两条平行直线之间的距离转化为求点P到另一条直线的距离.
2. 点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此.
例1 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点.
（1）求点B到直线的距离；
（2）求直线FC到平面的距离.
解：以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，，.
（1）取，，则.
所以，点B到直线的距离为.
（2）因为，所以，所以平面.所以点F到平面的距离即为直线FC到平面的距离.
设平面的法向量为，则，
所以.
所以.
取，则.所以，是平面的一个法向量.
又因为，所以点F到平面的距离为.
即直线FC到平面的距离为.
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
探究二 用空间向量解决夹角问题
1. 异面直线所成的角及直线与平面所成的角
例2 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.
解：
步骤一：化为向量问题
如图，以作为基底，则.
设向量与的夹角为，则直线AM和CN夹角的余弦值等于.
步骤二：进行向量运算
.
又和均为等边三角形，所以.
所以.
步骤三：回到图形问题
所以直线AM和CN夹角的余弦值为.
一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线所成的角为，其方向向量分别是u，v，则
.
类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如下图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则
.
2. 两平面的夹角
如下图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面α与平面β的夹角.
类似于两条异面直线所成的角，若平面α，β的法向量分别是和，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为，则
.
例3 如图，在直三棱柱中，，P为BC的中点，点Q，R分别在棱上，.求平面PQR与平面夹角的余弦值.
解：
步骤一：化为向量问题
以为原点，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设平面的法向量为，平面PQR的法向量为，则平面PQR与平面的夹角就是与的夹角或其补角.
步骤二：进行向量运算
因为平面，所以平面的一个法向量为.
根据所建立的空间直角坐标系，可知.
所以.设，
则，所以，所以.
取，则.
步骤三：回到图形问题
设平面PQR与平面的夹角为，则.
即平面PQR与平面的夹角的余弦值为.
探究三 用空间向量解决实际问题及综合应用
例4 下图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s ，精确到0.01 N）.
解：如图，设水平面的单位法向量为n，其中每一根绳子的拉力均为F.
因为，所以F在n上的投影向量为.
所以8根绳子拉力的合力.
又因为降落伞匀速下落，所以.
所以.
所以.
例5 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F.
（1）求证：平面EDB；
（2）求证：平面EFD；
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设.
（1）连接AC，交BD于点G，连接EG.
依题意得.
因为底面ABCD是正方形，所以点G是它的中心，故点G的坐标为，且.
所以，即.
而平面EDB，且平面EDB，因此平面EDB.
（2）证明：依题意得.
又，故.
所以.
由已知，且，所以平面EFD.
（3）解：已知，由（2）可知，故是平面CPB与平面PBD的夹角.
设点F的坐标为，则.
因为，所以，即.
设，则.
所以，点F的坐标为.
又点E的坐标为，所以.
所以.
所以，即平面CPB与平面PBD的夹角大小为60°.
探究四 解决立体几何问题的方法
解决立体几何中的问题，可用三种方法：
（1）综合法：以逻辑推理作为工具解决问题；
（2）向量法：利用向量的概念及其运算解决问题；
（3）坐标法：利用数及其运算来解决问题.
（三）课堂练习
1.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为( )
A.10 B.3 C. D.
答案：D
解析：由，得点到平面的距离.
2.如图所示，在三棱柱中，底面，点分别是棱的中点，则直线和的夹角是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，
由于，不妨取，则，
，
，
所以异面直线和的夹角为，故选C.
3.如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：设，则，因为分别为，的中点，所以，所以，设是平面的法向量，则，所以，所以，取，则，所以平面的一个法向量为.又平面，所以是平面的一个法向量，因为，所以平面与平面夹角的余弦值为，故选C.
4.如图，在长方体中，，点分别是的中点，则点到直线的距离为_________.
答案：
解析：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，于是有，所以，，所以点到直线的距离为.
5.在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱两两夹角都为，且分别为的中点，则与所成角的余弦值为_________.
答案：
解析：连接，易知即与所成的角，设，则由条件，知，，，，因为，所以，，
又，故.
（四）小结作业
小结：用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.
作业：
四、板书设计
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
1. 用空间向量解决距离问题：
（1）点到直线的距离；
（2）点到平面的距离.
2. 用空间向量解决夹角问题：
（1）异面直线所成的角及直线与平面所成的角；
（2）两平面的夹角
3. 用空间向量解决实际问题及综合应用
4. 解决立体几何问题的方法
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