2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册学案：1.3.1 空间直角坐标系（含解析）

第一章 空间向量与立体几何
1.3.1 空间直角坐标系
学案
一、学习目标
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的坐标.
2.会用坐标表示空间向量.
二、基础梳理
1. 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面.
2. 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使.
3. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组（x，y，z），叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
4. 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使.有序实数组（x，y，z）叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a=（x，y，z）.
三、巩固练习
1.点在空间直角坐标系中的( )
A.轴上 B.平面内
C.平面内 D.平面内
2.在空间直角坐标系中，点与点的位置关系是（ ）
A.关于x轴对称 B.关于平面对称
C.关于坐标原点对称 D.以上都不对
3.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为( )
A.(-3，4，5) B.(-3，-4，5) C.(3，-4，-5) D.(-3，4，-5)
5.如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点在平面上，且，，则向量的坐标为( )
A. B.
C. D.
6.在空间直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A.向量的坐标与点的坐标相同
B.向量的坐标与点的坐标相同
C.向量与向量的坐标相同
D.向量与向量的坐标相同
7.点在平面内的射影为则____.
8.如图，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是____________.
9.在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为____________.
10.在长方体中，已知，，连接，如图，建立空间直角坐标系.
(1)在图中标出点的位置；
(2)求与的坐标；
(3)求向量在平面上的投影向量的坐标.
答案以及解析
1.答案：C
解析：点的纵坐标为0，所以该点在平面内.
2.答案：A
解析：点与点的横坐标相同，而纵、竖坐标分别互为相反数，所以两点关于x轴对称.
3.答案：A
解析：过点向平面作垂线，垂足为，则就是点与其关于平面对称的点连线的中点.又，所以.
4.答案：A
解析：关于平面对称，则对应的值不变.故选A.
5.答案：B
解析：如图所示，过作，垂足为，在中，由，，，得，.∴，.∴点坐标为，即向量的坐标为.
6.答案：D
解析：因为点不一定为坐标原点，所以选项A，B，C都不正确；因为，所以选项D正确.
7.答案：3
解析：点在平面内的射影为，.
8.答案：
解析：，，
9.答案：
解析：在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是
故答案为：
10.解析：(1)点的位置如图所示：
(2)设分别为方向上的单位向量，
则，
所以
(3)连接，则向量在平面上的投影向量为，
又，
所以.
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