2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册学案：1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第二课时）（含答案）

第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第二课时）
学案
一、学习目标
1. 能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系；
2. 能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理.
二、基础梳理
1. 设分别是直线的方向向量.由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定__________；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也__________.所以，使得__________.
2. 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，，则____.
3. 设分别是平面的法向量，则，使得__________.
三、巩固练习
1.若平面的法向量分别为，则( )
A. B.与相交但不垂直
C. D.或与重合
2.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是( )
A. B. C. D.
3.已知平面内的三点，平面的一个法向量为，且与不重合，则( )
A. B.
C. 与相交但不垂直 D.以上都不对
4.已知直线过点，且平行于向量，平面过直线与点，则平面的法向量不可能是( )
A. B. C. D.
5.已知平面的法向量，平面的法向量，若，则_________.
6.若不同的平面的一个法向量分别为，则与的位置关系为_______.
7.如图，平面，，.求证：平面.
8.如图，已知梯形中， ，，，四边形为矩形，，平面平面.求证：平面.
参考答案
基础梳理
1. 平行；平行；；
2. ；0
3. ；
巩固练习
1.答案：D
解析：∵，∴，∴或与重合.故选D.
2.答案：B
解析：∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.∴.∴.故选B.
3.答案：A
解析：，，∴.∴也为的一个法向量.又与不重合，∴.故选A.
4.答案：D
解析：因为，直线平行于向量，所以若是平面的法向量，则必须满足，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
5.答案：
解析：，
所以存在实数，使得，
，解得，
.
6.答案：平行
解析：.
7.答案：依题意，是平面的法向量，
又，可得，
又因为直线平面，
所以平面.
8.答案：证明：取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
∴，，
设平面的法向量，
∴，不妨设，
又，
∴，
∴，
又∵平面，
∴平面.
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