22.1 二次函数的图象和性质 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 22.1 二次函数的图象和性质 学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 7.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-19 20:02:28 | ||
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文档简介
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第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
基础知识·细解读
知识点一 二次函数的概念
1 有关概念
形如（a，b，c是常数，）的函数为二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
2 二次函数的解析式必须满足的三个条件
（1）等号右边是整式；
（2）自变量的最高次数必须是2；
（3）二次项系数不为0.
3 二次函数的结构特征
等号左边是y，等号右边是关于x的二次多项式或二次单项式.
（1）当时，二次函数为；
（2）当时，二次函数为；
（3）当，时，二次函数为.
【例1】下列函数中，哪些是二次函数？
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
解：（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1.
（2）是二次函数，因为符合二次函数的概念.
（3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3.
（4）是二次函数，因为符合二次函数的概念.
（5）不是二次函数，因为原式整理后为.
（6）不是二次函数，因为x一为分式，不是整式.
故（2）（4）是二次函数.
知识点二 列二次函数解析式的一般步骤
示例 解题模板
审 ↓ → 【例2】某商场销售一批衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元.为减少库存，商场决定降价处理，每件衬衫每降价1元，每天多售出2件.请写出商场每天盈利y（单位：元）与每件衬衫降价x（单位：元，x为整数）之间的函数解析式. ← 找出已知量和未知量，分析它们 之间的关系
找 ↓ → 解：降价后，每件衬衫的盈利为元，每天售出件.因为每天的盈利=每件衬衫的盈利×每天售出的件数， ← 找到两个未知量之间的关系，用等式表示
列 ↓ → 所以（，x为整数）. ← 结合已给或设出的未知量的字母，根据等量关系列出函数的解析式，注意自变量的取值范围
特别提醒
（1）注意二次函数与一元二次方程的异同.
（2）在二次函数的概念中，是二次函数概念的一部分，若a为0，则函数就是，这不符合二次函数的概念.
（3）二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项包括它们前面的符号，不要漏掉.
特别提醒
判断是否为二次函数的“三步骤”
形式 ↓ → 看含自变量的代数式是否为整式；
化简 ↓ → 将含自变量的代数式化简；
判断 ↓ → 根据系数、次数的要求判断是否为二次函数.
特别提醒
实际问题中自变量的取值范围的确定
（1）二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.
（2）确定自变量的取值范围时，需正确列出不等式或不等式组.
应用能力·巧提升
题型一 根据二次函数的概念求字母的值
【例1】已知函数是关于x的二次函数，求满足条件的m的值.
审题关键：根据二次函数的概念求字母的值时，一般根据自变量的最高次数等于2列出方程，并要保证二次项系数不能等于0.
破题思路：由二次函数的概念，得，且，求解可得m的值.
解：根据题意可得，，且，解得，
即满足条件的m的值为5.
解后反思
二次函数概念掌握好，待定轻松变确定
要确定二次函数中待定字母的值，需根据二次函数自变量的最高次数是2，二次项系数不为0，列出关于所求字母的方程或不等式（组），解方程或不等式（组），即可确定字母的值.
题型二 列二次函数的解析式
角度1 实际问题中根据数量关系列二次函数的解析式
【例2】某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元出售，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x元，每天销售y个，每天获得利润W元.
（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）求出W与x之间的函数解析式（不必写出x的取值范围）.
审题关键：商品销售问题的解题关键是掌握销售利润、销售量与单位商品的利润之间的关系.
破题思路：（1）利用每天可卖出300个，每降价1元，每天可多卖出20
个，得出y与x之间的函数解析式；
（2）利用销量×每个商品的利润=总利润，得出答案.
解：（1）已知每个降价x元，每天销售y个，
所以y与x之间的函数解析式为.
（2）由题意可得，W与x之间的函数解析式为
.
方法技巧
商品销售问题中三个“威力无穷”的公式
（1）单件利润=单件售价-单件进价；
（2）销售利润=单件利润×销售量；
（3）.
角度2 实际问题中根据几何知识列二次函数的解析式
【例3】某校为绿化校园，在一块长为15m、宽为10m的矩形空地上建造一个矩形花圃，如图22.1.1-1，设计这个花圃的一边靠墙（墙长大于15m），并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路，设小路的宽为xm，花圃面积为y ，求y关于x的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围.
审题关键：解与实际问题有关的几何问题时，一般要通过分析几何图形，借助几何图形的面积或周长公式建立等量关系.
破题思路：由小路的宽为x m，知矩形花圃的长为m，宽为m，根据矩形面积公式即可得到函数解析式，由实际问题求出函数自变量的取值范围.
解：由小路的宽为x m，知矩形花圃的长为m，宽为m，根据题意，得.
由，解得.
故所求的函数解析式为（）.
一题多变
如图22.1.1-2所示，若小路设计成互相垂直的两条，其他条件不变，请写出函数解析式，并求出自变量的取值范围.
方法技巧
数形结合巧妙建立关系
解决此类问题时，一般利用“数形结合”的思想，在具体解题时，常用的建立等量关系的方法有“面积法”“周长法”“勾股法”，利用它们求解就简单多了.
变式训练
1.已知函数是关于x的二次函数，求m的值并指出函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
变式训练
2.某水果批发商销售每箱进价为40元的水果，物价部门规定每箱水果的售价不得高于55元，经市场调查发现，每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高（或降低）1元，平均每天少（或多）销售3箱.
（1）求平均每天销售量y（单位：箱）与售价x（单位：元/箱）之间的函数解析式；
（2）求该批发商每天的销售利润W（单位：元）与售价x（单位：元/箱）之间的函数解析式.
3.如图22.1.1-3，在一面靠墙的空地上，用长为24m的篱笆围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为S.求S与x的函数解析式及自变量x的取值范围.
4.体育课上，老师用绳子围成一个周长为30m的游戏场地，围成的场地是如图22.1.1-4所示的矩形ABCD.设边AB的长为x m，矩形ABCD的面积为S.
（1）求S与x之间的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若矩形ABCD的面积为50，且AB易误易混·精辨析
易错点一 忽视二次函数概念的关键条件
【例1】下列函数中，是二次函数的是________（填序号）.
①；
②；
③（m为任意实数）；
④（a，b，c是常数）；
⑤.
解析：①中，，x的次数是-2，
故不是x的二次函数；②中，等号的右边展开后x的最高次数是2，满足二次函数的概念，故是x的二次函数；③中，由于m为任意实数，故当m=-1时，y=2x，不是x的二次函数；
④中，由于a，b，c为常数，故当a=0时，y=bx+c，不是二次函数；⑤中，因为，所以，即，所以是二次函数.
答案：②⑤
防错警示
确定x的次数是作出判断的前提.
函数的二次项系数含有未知数，不能保证二次项系数一定不为0.
易错点二 混淆自变量的取值范围
【例2】如图22.1.1-5，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，设花园的边BC长为x m，花园的面积为y.
（1）求y与x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）满足条件的花园的面积能达到200吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由.
解：（1）因为边BC为x m，栅栏总长为40m，
所以花园的边，
所以.
（2）不能.理由如下：当时，，解得.
因为根据实际意义，边BC不能大于墙长15m，
所以，且花园的边AB需大于0，
即.
由得.
因为不在此范围内，所以花园的面积不能达到200.
防错警示
实际问题中自变量的取值范围，可能会受到各种制约，在列出二次函数的解析式后，要特别考虑一下自变量的取值情况，防止出错.
真题解密·探源头
中考真题 教材原型
（湖南郴州中考节选·3分）某商店原来平均每天可销售某种水果200kg，每千克可盈利6元.为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，那么每天可多售出20kg.设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数解析式. 解：由题意可知，每千克水果降价x元时，每千克可盈利元，………………1分 此时的销量为kg，…………2分 所以平均每天盈利， 即.………………3分 教材第28页问题2 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 解：这种产品的原产量是20t，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量， 即.
命题人解密：教材中的问题很典型地考查了列二次函数解析式解决增长率问题，中考题也是实际问题中列二次函数解析式的题目，不同的是将增长率问题换成了利润问题. 阅卷人解密：解决此类应用型问题的关键是正确理解题意，弄清数量关系，然后准确地列出二次函数解析式，常见的错误是不能读懂题意，从而无法建立起数量关系，导致失分.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.二次函数的二次项系数与常数项的和是（ ）
A.1 B.-1 C.7 D.-6
3.如果是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A. B.a≠1 C.a≠1，且a≠0 D.无法确定
4.若x是正方形ABCD的周长，y是正方形ABCD的面积，则y是x的二次函数，其函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
5.如果函数是二次函数，那么k的值是________，二次项系数为________.
6.元旦来临之际，某班x名同学都相互送一张贺卡，则该班送贺卡总数y与x的函数解析式为________.
7.已知函数.
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
8.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S（单位：）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化.
（1）请直接写出S与x之间的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当x=30时，求菱形风筝的面积.
【能力提升】
9.某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件
210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件.在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x（x为偶数）元，每天售出服装的利润为y元，则y关于x的函数解析式为（ ）
A.（0B. （0C. （0D. （x≤60，x为偶数）1
10.如图22.1.1-6，△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，∠ABC=∠DEF=90°，AB=4cm，BC与EF在直线l上，开始时点C与点E重合，让△ABC沿直线l向右平移，直到点B与点E重合为止，设△ABC与△DEF的重叠部分（即图中阴影部分）的面积为y，CE的长度为x cm，则y与x之间的函数解析式是________.
11.李伯伯围建一个矩形羊圈.其中一边靠墙，另外三边用长为10m的篱笆围成.已知墙长为8m（如图22.1.1-7所示），设这个羊圈垂直于墙的一边的长为x m.
（1）若平行于墙的一边的长为a m，直接写出a关于x的函数解析式及其自变量x的取值范围；
（2）设羊圈的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指明函数的类型；
（3）当这个羊圈的面积为12时，求x的值.
【拓展创新】
12.如图22.1.1-8，用同样规格颜色不同的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题.
（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，写出y与n（n表示第n个图形）的函数解析式；
（2）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值.
22.1.2 二次函数的图象和性质
22.1.3二次函数的图象和性质
基础知识·细解读
知识点一 二次函数的图象和性质
1 二次函数的图象的画法
画图步骤→ 列表→ 描点→ 连线
↓ 让x取一些代表性的值（正数、负数或0），求出对应的y值，列 出表格 在平面直角坐标系内，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点 用一条光滑曲线顺次连接各点，就得到函数的图象
典例示范 【例1】在同一平面直角坐标系中作出和y的图象.
解：列表如下：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
… -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 …
描点：如图22.1.2-1所示，以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点.
连线：用光滑的曲线顺次连接各点.
总结
画二次函数的图象的三点注意
（1）列表时，自变量应以0为中心，左右两边要对应取值；
（2）画图象时，图象应越过端点，表示为向下或向上无限延伸；
（3）图象在两个象限内画出的曲线是对称的，顶点处不能画成尖形，应该保持平滑.
2 二次函数y=ax2的图象和性质
函数 a的 取值 图象 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 最值
a>0 向上 （0,0） y轴 当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小 当x=0时，
向下 当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大 当x=0时，
【例2】已知函数，不画图象，回答下列各题：
（1）其图象的开口方向：________；（2）其图象的对称轴：________；
（3）其图象的顶点坐标：________；（4）当x>0时，y随x的增大而________；（5）当x ________时，函数y的最值是________.
解析：因为函数，所以其图象是抛物线，又因为，所以抛物线开口方向向下；对称轴是y轴（或直线x=0）；顶点坐标是（0，0）；当x>0时，y随x的增大而减小；当x=0时，y最大，最大值是0.
答案：（1）向下 （2）y轴（或直线x=0） （3）（0，0） （4）减小 （5） 大 0
总结
巧用图形，妙解函数的性质问题
已知二次函数的解析式，函数的性质实际上已经确定了，如果你记不准这么多性质结论，不妨画个草图，它能帮你快速准确地找到问题的答案.
知识点二 二次函数的图象和性质
1 二次函数，，的图象的画法
（1）描点法
列表→描点→连线
（2）平移法
【例3】在同一平面直角坐标系中，画出，，和的图象，并指出后三个图象与的图象之间的关系.
解：（1）列表如下：
x … -2 -1 0 1 2 …
… 4 1 0 1 4 …
… 5 2 1 2 5 …
… 9 4 1 0 1 …
… 10 5 2 1 2 …
（2）描点.
3）连线，如图22.1.2-2所示.
函数的图象是由函数的图象向上平移1个单位长度得到的；
函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位长度得到的；
函数的图象是由函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的.
总结
准确理解抛物线平移规律，正确作图
通过本题易发现抛物线与（）形状相同，只是位置不同，即抛物线是由抛物线先向左（h<0）或向右（h>0），再向上（k>0）或向下（k<0）平移得到的.只要二次项系数（a的值）相同，它们的形状都相同，都可以通过平移得到.
2 二次函数，，的图象和性质
二次 函数 a的 取值 图象 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 最值
a>0 向上 y轴或 直线 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大 当x=0时，
A<0 向下 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小 当x=0时，
续表
二次 函数 a的 取值 图象 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 最值
a>0 向上 直线 x=h 当xh时，y随x的增大而增大 当x=h时，
a<0 向下 当xh时，y随x的增大而减小 当x=h时，
a>0 向上 直线 x=h 当xh时，y随x的增大而增大 当x=h时，
a<0 向下 当xh时，y随x的增大而减小 当x=h时，
【例4】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（1）；（2）；（3）.
解：（1）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为.
（2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为.
（3）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为.
总结
明晰抛物线的各种形式，解决性质问题抛物线有多种形式，比如当，时，变为；当，时，变为.解决各种形式的抛物线的性质问题的关键是要记准抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
特别提醒
（1）二次函数的图象称为抛物线.
（2）抛物线关于y轴对称，图象与对称轴的交点称为顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.
（3）画二次函数的图象时，一般来说取的点越多，描出的图象就越准确，但取点过多计算量会很大，故一般以y轴为对称轴，左右对称各取三四个点即可.
特别提醒
（1）二次函数的增减性一定要说明是在y轴的左侧或右侧.不能笼统地说当a>0时，y随x的增大而减小（增大）.
（2）决定抛物线的开口大小，越大，抛物线的开口越小.
特别提醒
（1）抛物线是由抛物线上下平移得到的.当k>0时，上移；当k<0时，下移，简记为“上加下减”.
（2）抛物线是由抛物线左右平移得到的.当h>0时，右移；当h<0时，左移，简记为“左加右减”.
（3）对于二次项系数a相同的两个二次函数，它们对应的抛物线的开口方向和大小是一样的，此时可以只通过观察顶点的位置来判断抛物线的平移情况，也可以利用“左加右减，上加下减”的规律来判断.
拓展
（1）因为从二次函数中可以直接看出其对应的抛物线的顶点为，所以通常把叫做二次函数的顶点式.
（2）抛物线与x轴可能有交点，也可能没有交点，但与y轴一定有一个交点.
研究二次函数的图象时，抓住顶点是关键.
应用能力·巧提升
题型一 二次函数的图象和性质
【例1】二次函数：
①；②；③；
④；⑤；⑥.
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=-1的是________（只填序号）；
（2）以上二次函数有最大值的是________（只填序号）.
审题关键：因为二次函数的解析式均已确定，所以可结合二次函数解析式的特征对其性质作出判断.
解析：（1）二次函数的图象的对称轴为直线x=-1，也就是在顶点式中h=-1，故满足条件的函数有②③.
（2）二次函数有最大值，也就是其函数图象的开口向下，即a<0，故满足条件的函数有①③⑤.
答案：（1）②③（2）①③⑤
方法技巧
由二次函数的顶点式推断抛物线性质的方法
（1）a确定抛物线的开口方向，且的大小决定开口的大小，特别地，当两个抛物线形状一样时，两者的是相等的；
（2）h确定抛物线的对称轴，对称轴是直线x=h，千万不要记成x=-h；
（3）k确定抛物线与对称轴交点的纵坐标、h与k共同确定抛物线的顶点坐标.
题型二 根据二次函数图象的平移规律，确定二次函数的解析式
【例2】（四川凉山州中考）将抛物线先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线对应的二次函数解析式为________.
审题关键：利用抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”确定平移后的抛物线对应的二次函数解析式.
解析：将抛物线向下平移2个单位长度后得到抛物线，再向右平移3个单位长度后得到抛物线.
所以平移后所得抛物线对应的二次函数解析式为.
答案：
规律总结
根据平移规律，确定二次函数解析式的策略
抛物线在平移时，a不变，只是h和k发生变化.因此，在解决抛物线平移问题时，可按照“上加下减”“左加右减”的平移规律，确定平移后抛物线对应的二次函数解析式.
题型三 二次函数的性质的应用
角度1 比较函数值的大小
【例3】（河南中考）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________.
审题关键：由于二次函数的解析式及各点的横坐标已知，可求得各点的纵坐标后进行比较，也可利用二次函数的性质，明确各点与对称轴的位置，利用二次函数的性质求解.
解析：方法1：因为点，，在抛物线上，所以将各点坐标代入，可求得，，.
因为，所以.
方法2：设点A，B，C到抛物线对称轴的距离分别为，，.
由题意，得该抛物线的对称轴为直线x=2，
所以，，.因为，且a=1>0，
所以.
答案：
一题多变
已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________.
方法技巧
比较二次函数中函数值大小的三种常用方法
（1）直接代入自变量的值，求得函数值后比较大小.
（2）当自变量的取值在对称轴同侧时，直接根据二次函数的增减性判断.
（3）当自变量的取值在对称轴两侧时，根据自变量的取值到对称轴的距离及二次函数的增减性判断.
角度2 根据二次函数的增减性求字母的取值范围
【例4】若二次函数，当x<2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A.m=2 B.m>2 C. D.
审题关键：由于二次函数的解析式已知且为顶点式，可直接找到对称轴，故可直接利用二次函数性质求m的取值范围.
解析：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=m，当x答案：C
方法技巧
根据二次函数的增减性求字母的取值范围的步骤
第1步：根据二次函数的顶点式，确定抛物线的开口方向和对称轴.
第2步：明确函数在对称轴两侧的增减情况.
第3步：借助图象或性质确定字母的取值范围.
题型四 用顶点式求二次函数的解析式
【例5】已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点，求抛物线对应的函数解析式.
审题关键：已知抛物线的顶点坐标时，可设顶点式，再寻找一个条件即可确定二次函数的解析式.
破题思路：根据顶点坐标设出顶点式，再把点代入可得答案.
解：设抛物线对应的函数解析式为.
因为抛物线的顶点坐标为，
所以.
把代入，得，解得.
所以抛物线对应的函数解析式为.
解后反思
巧设顶点式求二次函数的解析式
已知二次函数图象的顶点坐标，常设顶点式为，然后将一个已知点的坐标代入，便可求得二次函数的解析式.
题型五 /二次函数与一次函数的综合性问题
【例6】如图22.1.2-3，直线l过和两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求该二次函数的解析式.
审题关键：二次函数与一次函数的综合性问题，一要注意确定各自解析式需要的条件，二要注意充分利用函数图象的交点坐标.
破题思路：先利用待定系数法求出直线l的解析式为y=-x+3，则可设，再根据三角形面积公式得到，解出t的值，确定点P的坐标，最后把点P的坐标代入中求出a的值即可.
解：设直线l对应的函数解析式为y=kx+b，把，代入，得，解得所以直线AB对应的函数解析式为y=-x+3.
设点.因为△AOP的面积为3，所以，解得，所以点P的坐标为.把代入，得，所以二次函数的解析式为.
题型六 利用二次函数的图象和性质解决实际问题
【例7】如图22.1.2-5（示意图），一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
（1）建立如图22.1.2-5所示的平面直角坐标系，求抛物线对应的函数解析式；
（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
审题关键：利用二次函数的图象和性质解决实际问题时，要根据题意和函数的图象，正确设出二次函数的解析式，再根据已知条件进行解答.
破题思路：（1）设抛物线对应的函数解析式为，依题意可知图象经过的点的坐标，由此求得a的值后，确定抛物线对应的函数解析式；
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则点在求得的抛物线上，由此求得h.
解：（1）因为当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，
所以抛物线的顶点坐标为，
所以设抛物线对应的函数解析式为.
由题图，知图象过点，
所以，解得，
所以抛物线对应的函数解析式为.
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为h m.
则球出手时，球的高度为.
因为（1）中求得，
所以，
解得.
所以球出手时，他跳离地面的高度为0.2m.
方法技巧
利用二次函数的图象与性质解决实际问题的关键
（1）建立适当的平面直角坐标系确定图象上一个或两个点的坐标，从而确定函数的解析式.
（2）结合图象充分利用抛物线的性质，解题时要注意线段长与点的横、纵坐标的转换.
变式训练
1.（湖南湘潭中考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.分别说出下列抛物线的对称轴、顶点坐标和函数的最值.
（1）；
（2）；
（3）.
变式训练
3.将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得抛物线________.
变式训练
4.已知函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.已知二次函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.若二次函数，
当x>2时，y随x的增大而
增大，则m的取值范围是
A.m=2 B.m>2 C. D.
7.若二次函数，当x>1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是________.
变式训练
8.已知一条抛物线的顶点为坐标原点，且与直线y=x-3的交点的横坐标为1，求该抛物线对应的函数解析式.
变式训练
9.如图22.1.2-4，直线l过，两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为，求该二次函数的解析式.
变式训练
10.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图22.1.2-6所示的平面直角坐标系，其函数解析式为，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A.-20m B.10m C.20m D.-10m
11.某同学在推铅球时，球经过的路线是抛物线的一部分（如图22.1.2-7），出手处A点坐标是，最高点B的坐标是，求此抛物线对应的函数解析式.
易误易混·精辨析
易错点 对二次函数的性质理解不透彻而致错
【例】已知，是抛物线上的两点，试比较，的大小.
解：设是点B关于y轴的对称点，则点C在抛物线上.
因为a=-3<0，所以当x<0时，y随x的增大而增大.
因为-2>-3，所以.
防错警示
二次函数的增减性，只能在抛物线的对称轴的同侧应用，本题易因忽略A，B两点与y轴的关系，而直接套用性质导致错误.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.抛物线，，的共同性质是（ ）
A.开口向上
B.对称轴是y轴
C.都有最高点
D.y随x的增大而增大
2.在下列二次函数中，其图象的对称轴为x=-2的是（ ）
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ）
4.（浙江舟山中考）把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后抛物线对应的函数解析式是________.
5.已知二次函数，当x________时，y随x的增大而减小.
6.已知是二次函数，且当x>0时，y随x的增大而增大.
（1）求k的值；
（2）求函数图象的顶点坐标和对称轴.
7.已知抛物线.
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）完成下表：
x … -7 -5 -3 -1 1 3 0 5 …
y … …
（3）在图22.1.2-8所示的平面直角坐标系中描点画出抛物线.
【能力提升】
8.（浙江宁波中考）抛物线（m是常数）的顶点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于y轴的直线，则关于x的方程的解为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10.已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ ）
11.（湖南衡阳中考）已知函数图象上两点，，其中a>2，则与的大小关系是________.（填“<”“>”或“=”）
12.二次函数的图象如图22.1.2-9所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，求菱形OBAC的面积.
【拓展创新】
13.已知点，，抛物线l：（h为常数）与y轴的交点为C.
（1）l经过点B，求它对应的函数解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
（2）设点C的纵坐标为，求的最大值，此时l上有两点，，其中，比较与的大小.
22.1.4 二次函数的图象和性质
基础知识·细解读
知识点一 二次函数的图象与性质
1 二次函数的图象的顶点坐标和对称轴
顶点坐标为，对称轴为直线
2 二次函数的图象的作法
（1）平移法
步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点坐标 → 步骤2：作出的图象 → 步骤3：平移的图象，使顶点为
↓ ↓ ↓
，顶点坐标为 作的图象 平移的图象， 使顶点为
（2）五点法
步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点、开口方向、对称轴 → ，顶点坐标为，开口向上，对称轴为直线
↓
步骤2：以顶点为中心，左右对称各取两对值，列表 → x-5-4-201y72-227
↓
步骤3：描点，并用平滑的曲线将描出的点顺次连接 →
3 二次函数的图象与性质
抛物线
图象
开口方向 开口向上，并向上无限延 伸开口向下，并向下无限延伸
对称轴 直线
顶点坐标
增减性 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
最值 当时， 当时，
【例1】已知二次函数.
（1）试确定函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）在同一平面直角坐标系内作出函数及的图象；
（3）根据函数的图象写出抛物线与抛物线的关系.
解：（1）因为，所以二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=-6，顶点坐标为.
（2）在同一平面直角坐标系内作出及的图象，如图22.1.4-1所示.
（3）由图象可看出，抛物线可看成由抛物线先向左平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度得到的.两条抛物线的形状和大小都相同，只是位置不同.
总结
求二次函数图象的对称轴、顶点坐标的“两条路径”
（1）公式法：对称轴为直线，顶点坐标为.
（2）配方法：运用配方法将一般式化为顶点式，即，顶点坐标为，对称轴为直线x=h.
知识点二 二次函数的图象
特征与a，b，c符号的关系
系数 符号 图象的特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
b ab>0（a，b同号） 对称轴在y轴左侧
ab<0（a，b异号） 对称轴在y轴右侧
b=0 对称轴为y轴
c c=0 过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
【例2】二次函数的图象如图22.1.4-2所示.
下列结论：①b<0；②c>0；③a+b+c>0；④4a+2b+c<0.其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：二次函数的图象开口向下，a<0，抛物线的对称轴在y轴的右
侧，，由a<0，得b>0，所以结论①错误；抛物线与y轴的交点
在y轴的正半轴上，c>0，所以结论②正确；由图象可知，当x=1时，对应的函数值y>0，所以把x=1代入解析式，得a+b+c>0，所以结论③正确；由图象可知，当x=2时，对应的函数值y<0，所以把x=2代入解析式，得4a+2b+c<0，所以结论④正确.故正确的个数是3.
答案：C
总结
数形结合，妙解二次函数的图象题
已知二次函数的图象，推断a，b，c之间关系的问题，通常会用到下面的思路：
（1）由口诀“上正下负”“左同右异”推断a，b，c的正负.
（2）结合图象，通过给x赋值，判断特殊函数值的正负，如判断“a+b+c”“a-b+c”“4a+2b+c”“4a-2b+c”等式子的正负.
知识点三 用待定系数法求二次函数解析式的步骤
示例 解题模版
【例3】已知抛物线经过点，，，求这条抛物线对应的函数解析式.
解：设抛物线对应的函数解析式为 . 设出二次函数的解析式
由题意，得 把自变量的值与对应的函数值代入函数的解析式中，得到关于待定系数的方程组
解得 解方程组求出待定系数
所以抛物线对应的函数解析 式为. 确定二次函数的解析式
特别提醒
用配方法把二次函数化为顶点式时要注意与一元二次方程配方法的区别：
（1）提取二次项系数使括号内二次项系数为1，是乘法分配律的逆运算，配方法解一元二次方程是方程两边同除以二次项系数.
（2）注意“一加一减”：提取完二次项系数后，括号里要加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，这里的一次项系数是提取了二次项系数之后的一次项系数.
（3）要注意把这里的“”与一元二次方程求根公式中的“”区分开.
特别提醒
用五点法画二次函数的图象时，一般先用配方法把二次函数化成的形式，再由a确定抛物线的开口方向，由顶点式确定对称轴及顶点坐标，最后利用对称性描点画图.
特别提醒
二次函数的
图象是对称轴与y轴平行（或重合）的抛物线.对于几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同.
拓展
（1）a+b+c（或a-b+c）可以看成当x=1（或x=-1）时，二次函数的函数值.
（2）若点和点关于直线对称，则，.
巧记口诀
“上正下负”“左同右异”
（1）“上正下负”：
①抛物线的开口方向可确定a的符号：
图象开口向上，则a>0（为正数）；图象开口向下，则a<0（为负数）.简记为“上正下负”.
②抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号：
抛物线与y轴交于原点，c=0；抛物线与y轴交于x轴上方，c为正；抛物线与y轴交于x轴下方，c为负.简记为“上正下负”.
（2）“左同右异”：
对称轴在y轴左侧，a，b同号；对称轴在y轴右侧，a，b异号.简记为“左同右异”
拓展
用待定系数法求二次函数的解析式时，要根据不同的已知条件，灵活选用解析式的形式，一般有如下三种：
（1）若已知抛物线上三个点的坐标，则设一般式；
（2）若已知抛物线的顶点坐标，则设顶点式；
（3）若已知抛物线与x轴两个交点的坐标，，则设交点式.
应用能力·巧提升
题型一 确定二次函数的最值及其图象的对称轴、顶点坐标
【例1】求二次函数的最值及其图象的对称轴、顶点坐标.
审题关键：确定二次函数的最值及其图象的对称轴、顶点坐标可用配方法或公式法.
破题思路：思路1：配方，先把二次函数化为顶点式，再写出抛物线的对称轴、顶点坐标及函数的最值；
思路2：先写出a，b，c的值，直接代入二次函数的顶点坐标计算，再写出抛物线的对称轴、顶点坐标及函数的最值.
解：方法1（配方法）：
，
所以二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为.
因为，所以二次函数有最大值，.
方法2（公式法）：因为a=-2，b=4，c=-6，
所以，
，
所以二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为.
因为a=-2<0，所以二次函数有最大值，.
解后反思
研究二次函数性质的两个思路
（1）配方.将一般式转化为顶点式.
（2）利用公式.用这种方法时，首先要保证二次函数的解析式为一般式，其次要注意找准a，b，c的值.
题型二 二次函数图象的平移
【例2】在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，再作关于x轴的对称图象，得到抛物线，则原抛物线对应的函数解析式为
A. B.
C. D.
审题关键：解决抛物线的平移问题，关键是抓住顶点坐标和开口方向两个要素.
解析：，顶点坐标为，先将其关于x轴对称后，顶点坐标变为，开口方向向下，抛物线的形状没有发生变化，因此，函数的解析式为，再将其向下平移3个单位长度，函数的解析式变为.
答案：A
找准顶点，牢记平移规律，解决二次函数图象的平移问题就简单多了！
方法技巧
根据抛物线的平移确定函数解析式的策略
抛物线在平移过程中，抛物线的开口方向和
大小都是不会变化的，因而找准平移后的顶点就是解决问题的关键.然后根据平移的规律“左加右减、上加下减”确定平移后抛物线对应的函数解析式.
题型三 比较二次函数值的大小
【例3】若点，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
审题关键：比较二次函数函数值的大小，可用代入法，亦可根据函数的增减性进行比较.
解析：方法1（代入法）：分别将，，代入，得，，，所以.
方法2（增减性比较法）：二次函数的对称轴为直线.
由抛物线的对称性可知，x=1与x=-5对应的函数值相等.因为a=1>0，当x<-2时，y随x的增大而减小，所以.
答案：B
解后反思
比较二次函数值大小的策略
（1）代入法：直接根据自变量的值，求出对应的函数值，然后进行比较.
（2）增减性比较法：这种方法是利用二次函数的性质比较大小，主要的依据是利用抛物线在对称轴的同侧具有增减性.使用这种方法时，一定要先判断自变量是否在对称轴的同侧，如果不在同侧时，可以先利用抛物线的对称性转化到同侧，再比较大小.
题型四 利用待定系数法求二次函数的解析式
【例4】已知抛物线过点，，，求此抛物线对应的函数解析式.
审题关键：求二次函数解析式的问题，一般是利用待定系数法求解.设二次函数的解析式时，要结合条件灵活选用合适的形式.
破题思路：思路1：由于已知三点的坐标，所以可设一般式，利用待定系数法求解.
思路2：由于点，的纵坐标为0，故此两点为抛物线与x轴的交点，所以可设交点式，利用待定系数法求解.
思路3：由于点，为抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性，可求得顶点的横坐标，所以可先设顶点式，再利用待定系数法求解.
解：方法1：设所求二次函数的解析式为.
因为抛物线过点，，，
所以解得
所以此抛物线对应的函数解析式为.
方法2：因为抛物线与x轴交于点，，
所以设所求二次函数解析式为，
把点代入，得
，解得.
所以此抛物线对应的函数解析式为，
即.
方法3：因为抛物线与x轴交于点，，
所以抛物线的对称轴是直线.
设所求二次函数解析式为.
因为二次函数的图象过点和，
所以解得
所以此抛物线对应的函数解析式为，
即.
规律总结
选对函数解析式形式，求二次函数更简单
（1）已知任意三点，设一般式.
（2）已知点中有两点的纵坐标都为0时，设交点式.
（3）已知顶点的坐标，设顶点式.
（4）已知点中有两点的纵坐标相等，此时可利用抛物线的对称性求得顶点的横坐标，设顶点式.
题型五 二次函数与一次函数的综合性问题
【例5】如图22.1.4-5，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点，，都在抛物线上，M为抛物线的顶点.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线CM对应的函数解析式；
（3）求△MCB的面积.
审题关键：解答二次函数与一次函数的综合性问题，要充分利用两图象交点的坐标，此外坐标系中的求面积问题，往往是利用割或补的方法进行转化，此时要重点寻找那些有边在坐标轴上（或与坐标轴平行）的图形.
破题思路：（1）把点，，代入，得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值即可得到抛物线对应的函数解析式；
（2）先把抛物线对应的函数解析式变形成顶点式，则可确定点M的坐标，再利用待定系数法确定直线CM对应的函数解析式；
（3）先确定直线CM与x轴的交点E的坐标和抛物线与x轴的交点B的坐标，再利用进行计算.
解：（1）根据题意，得，解得
所以抛物线对应的函数解析式为.
（2），则点M的坐标为.
设直线CM对应的函数解析式为y=mx+n，
把点和代入，得解得
所以直线CM对应的函数解析式为y=2x+5.
两个函数图象的交点坐标同时满足这两个函数的解析式，这点很重要.
（3）把y=0代入y=2x+5，得2x+5=0，解得，则点E的坐标为.把y=0代入，得，解得，，所以，
所以.
规律总结
探索常见的二次函数与一次函数综合问题及解题思路
（1）双图象问题：此类问题常见的形式为在同一平面直角坐标系中提供两个含有相同字母系数的函数的图象，据图作出正确判断.解答此类问题常利用排除法，即通过图象分析出两个函数解析式中各字母系数满足的条件，若一致，则正确；若不一致，则排除.
（2）与图象交点有关的问题：解答此类综合问题，要注意两函数图象的公共点，一般是借助某个函数的解析式先求出公共点的坐标，再求出另一个函数的解析式.
题型六 二次函数的探究性问题
【例6】（湖北黄冈中考节选）如图22.1.4-6，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点.设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求BD所在直线对应的函数解析式；
（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形.
审题关键：解决探究性问题的一般思路是假设探究的结论成立，由此结论出发，寻找使结论成立的条件，从而得解.
破题思路：（1）直接根据点A，B，C在图象上的特殊位置求其坐标；
（2）先根据点D和点C之间的关系求点D的坐标，再用待定系数法求出BD所在直线对应的函数解析式；
（3）因为CD∥QM，要使四边形CQMD是平行四边形，则必须CD=QM.用含m的代数式表示出点Q和点M的坐标，然后表示出QM的长度，利用QM=CD，列出以m为未知数的方程求解.
解：（1）当x=0时，y=2，所以.
当y=0时，，解得，.
所以，.
（2）因为点D与点C关于x轴对称，所以.
设BD所在直线对应的函数解析式为y=kx+b.
则解得所以.
（3）因为CD∥QM，所以要使四边形CQMD是平行四边形，只需使CD=QM.
因为，，，
所以，
所以，解得，.
因为当m=0时，QM与CD重合，所以m=2.
解后反思
二次函数的探究性问题的难度一般是比较大的，但此类问题也多是由几个简单问题组合成的，求解时要按部就班，各个突破.解题中碰到求线段长度的问题时，可以利用线段两端点的坐标来求解，这体现了数形结合的思想.
变式训练
1.（湖南怀化中考）二次函数的图象的开口方
向、顶点坐标分别是（
A.开口向上，顶点坐标为
B.开口向下，顶点坐标为
C.开口向上，顶点坐标为
D.开口向下，顶点坐标为
2.求二次函数的最值及其图象的对称轴、顶点坐标.
变式训练
3.（黑龙江牡丹江中考）将抛物线向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（ ）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
4.如果将抛物线向上平移，使它经过点，那么所得新抛物线对应的函数解析式是________.
变式训练
5.（甘肃兰州中考）若点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.设点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
变式训练
7.已知如图22.1.4-3所示的抛物线，求此抛物线对应的函数解析式.
8.如图22.1.4-4，二次函数的图象过A，B，C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴的正半轴上，且AB=OC.
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式.
变式训练
9.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
10.已知抛物线经过直线与两坐标轴的交点，且过点，求抛物线对应的函数解析式.
变式训练
11.（四川广安中考节选）如图
22.1.4-7，抛物线与直线交于A，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为，点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.
易误易混·精辨析
易错点 对配方、图象平移理解不透彻而致错
【例】抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的抛物线对应的函数解析式是什么？
解：因为，所以抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的抛物线对应的函数解析式是，即.
防错警示
在这类问题的求解中，的配方过程易出错，图象的平移方向易出错.要避免以上错误，应对配方、平移的方法熟练掌握.配方可类比一元二次方程的配方法，抛物线的平移可以看作抛物线顶点的移动，所以一般先将解析式配方化成的形式，再按“左加右减，上加下减”的规律求函数的解析式.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.已知二次函数的图象以为顶点，且过点，则该函数的解析式是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（浙江衢州中考）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -3 -2 -3 -6 -11 …
则该函数图象的对称轴是（ ）
A.直线x=-3 B.直线x=-2 C.直线x=-1 D.直线x=0
3.在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数的图象可能是（ ）
4.已知二次函数，当x>1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A.m=-1 B.m=3 C. D.
5.（甘肃兰州中考）二次函数的最小值为________.
6.（河南中考）已知，是抛物线上两点，则该抛物线的顶点坐标是________.
7.已知抛物线.
（1）该抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________.
（2）选取适当的数据填入下表，并在如图22.1.4-8所示的直角坐标系内描点画出该抛物线；
x … …
y … …
（3）若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较与的大小.
【能力提升】
8.（山东临沂中考）已知二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 …
y … 4 0 -2 -2 0 4 …
则下列说法正确的是（ ）
A.该函数图象的开口向下
B.当x>-3时，y随x的增大而增大
C.二次函数的最小值是-2
D.该函数图象的对称轴是直线
9.（天津中考）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3
10.如图22.1.4-9，已知抛物线经过，，三点，直线l是抛物线的对称轴.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标.
【拓展创新】
11.如图22.1.4-10，已知抛物线经过，两点，与y轴交于点C.
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）该抛物线在直线AC上方的一段上是否存在
一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由.
参考答案
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
应用能力·巧提升
1.解：由二次函数的概念，得
由①，得.由②，得.所以，所以函数解析式为.所以二次项系数为4，一次项系数为2，常数项为0.
2.解：（1）由题意，得.
化简，得，所以所求的函数解析式是.
（2），所以所求的函数解析式是.
【例3】一题多变
解：由小路的宽为 m，知空白矩形的长为 m，宽为 m，所以.
3.解：因为为 m，篱笆长为24 m，所以为 m.
所以.
4.解：（1）根据题意，得m，所以.
（2）当时，，整理，得，解得，.
当m时， m；
当 m时， m.
因为，所以 m
所以当矩形的面积为50 ，且时，的长为5 m.
高效训练·速提能
1.C 解析：是一次函数，故选项A不符合题意；，当时，不是二次函数，故选项B不符合题意；是二次函数，故选项C符合题意；不是整式，故选项D不符合题意.
2.B 解析：二次项系数为3，常数项为，两个数的和为.
3.B 解析：根据二次函数的概念，得，解得.
4.D 解析：因为是正方形的周长，所以正方形的边长等于，故其面积.
5.0 解析：根据二次函数的概念，得解得.所以二次项系数为.
6. 解析：每一名同学需要送贺卡张，则名同学共送贺卡张，所以.
7.解：（1）根据一次函数的概念，得，且，解得，所以当时，这个函数是一次函数.
（2）根据二次函数的概念，得，解得，且.
所以当，且时，这个函数是二次函数.
8.解：（1）.
（2）当时，，即菱形风筝的面积是450.
9.A 解析：由题意，得（，为偶数）.
10. 解析：由题意，得重合的部分为等腰直角三角形，所以与之间的函数解析式是，且自变量的取值范围是.
11.解：（1）.
（2），是的二次函数.
（3）把代入函数解析式，得，解得，.
又因为，所以或.
12.解：（1）在第个图形中，每一行有块瓷砖，每一列有块瓷砖，所以瓷砖总块数，整理，得.
（2）由，得，整理，得，解得或（舍去），所以的值为20.
22.1.2 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数的图象和性质
应用能力·巧提升
1.A 解析：由的顶点坐标是，知的顶点坐标是.选A.
2.解：（1）抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，当时，函数有最大值，.
（2）抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，当时，函数有最小值，.
（3）抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，当时，函数有最大值，.
3. 解析：将抛物线先左平移2个单位长度后得抛物线，再向下平移2个单位长度后得抛物线.
【例3】一题多变
解析：由题意，得该抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上.因为，所以点，，都在对称轴的左侧，所以由二次函数的性质可得，.
4.B 解析：点，，在的图象上，把代入中，得；
把代入中，得；
把代入中，得.
所以.
5.D 解析：因为，所以抛物线开口向上.
因为抛物线的对称轴为直线.
所以当时，随的增大而增大.
因为，，，所以.
又因为，所以点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，所以，所以.故选D.
6.D 解析：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，又因为当时，随的增大而增大，所以直线应在对称轴的右侧或与对称轴重合，故.
7. 解析：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，又因为当时，随的增大而减小，所以直线应在对称轴的右侧或对称轴重合，故.
8.解：因为该抛物线的顶点为坐标原点，所以可设该抛物线对应的函数解析式为.
把代入，得，所以抛物线与直线的交点坐标为.
所以，即.
所以该抛物线对应的函数解析式为.
9.解：设直线对应的函数解析式为，过点作轴的垂线，交轴于点，如答图22.1.2-1.
把，代入，得解得所以直线对应的函数解析式为.因为，所以.
因为的面积为，所以，所以.
把代入，解得，所以点坐标为.
因为点在抛物线上，所以，所以，所以该二次函数的解析式为.
10.C 解析：由已知水面离桥拱顶的高度是4 m，知点的纵坐标为，把代入，得，解得，即 m，所以这时水面宽度为20 m.故选C.
11.解：因为抛物线最高点的坐标是，所以设抛物线对应的函数解析式为，把代入，得，解得，所以此抛物线对应的函数解析式为.
高效训练·速提能
1.B 解析：三条抛物线的开口方向分别是向上、向下、向上，故选项A错误；三条抛物线的对称轴均为轴，故选项B正确；三条抛物线分别有最低点、最高点、最低点，故选项C错误；任意二次函数在对称轴两侧的增减性都是相反的，故选项D错误.
2.A 解析：可化成的形式，因此它的图象的对称轴为直线，故选项A正确.
3.D 解析：二次函数的图象的顶点坐标为，它的顶点坐标在轴上.故选D.
4. 解析：抛物线先向右平移2个单位长度，得；再将抛物线向上平移3个单位长度，得.
5. 解析：对于二次函数，其中二次项系数，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，随的增大而减小，即当时满足.
6.解：（1）因为函数是二次函数，所以，解得，.又因为当时，随的增大而增大，所以图象开口向上，从而二次项系数为正数，即，所以.
（2）当时，可化为，顶点坐标为，且对称轴为轴.
7.解：（1）抛物线的对称轴为直线.
（2）表格填写如下：
… 1 3 5 …
… 0 …
（3）抛物线如答图22.1.2-2所示.
8.A 解析：因为，所以顶点坐标为.因为，，所以顶点在第一象限.故选A.
9.D 解析：由题意，知此抛物线的对称轴是直线，故，得方程为，解得，.
10.C 解析：当时，函数的图象必过第一、三象限，函数的图象开口向上，当时，函数的图象必过第二、四象限，函数的图象开口向下，显然，选项B，D均不符合；当和时，两个函数值相等，即两个图象在和处相交，所以选项A不符合，故选C.
11.> 解析：由题意可知该二次函数图象的对称轴是直线，开口向下，则在对称轴右侧，随的增大而减小.
由两点坐标可知，点，均在对称轴右侧.
又因为，所以，即.
12.解：连接交于点，如答图22.1.2-3.
因为四边形为菱形，所以.
因为，所以，，所以.
在中，由勾股定理可得.
设，则，所以.
把代入，得，解得（舍去），，所以，，所以，，所以菱形的面积.
13.解：（1）把点的横、纵坐标代入，得，所以抛物线对应的函数解析式为，的对称轴为直线，顶点坐标为.
（2）因为点的横坐标为0，所以，所以当时，有最大值1.
此时，抛物线对应的函数解析式为，对称轴为轴，当时，随着的增大而减小，所以当时，.
22.1.4 二次函数的图象和性质
应用能力·巧提升
1.A 解析：二次函数的二次项系数，所以其图象开口向上；将二次函数的解析式转化为顶点式为，所以其图象的顶点坐标为.故选A.
2解：.
因为，，，所以对称轴为直线.
又因为，所以顶点坐标为.
因为，所以函数有最小值，.
3.D 解析：将抛物线向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线为.
当该抛物线与直线相交时，，解得，，则交点坐标为或.故选D.
4. 解析：设将抛物线向上平移后，得，把代入，得，解得，所以所得新抛物线对应的函数解析式为.
5.D 解析：当时，；当时，；当时，.因为，所以.故选D.
6.A 解析：把，，三点的坐标分别代入，得，，，所以.故选A.
7解：根据题图可知，该抛物线的顶点坐标为，且过原点，所以设其对应的函数解析式为.把代入，得，所以抛物线对应的函数解析式为，即.
8.解：（1）因为，，所以，，.因为，所以，即点的坐标为.
（2）设图象经过，，三点的二次函数的解析式为，由该函数图象过点，得.又由于图象过点，，故解得所以所求的函数解析式为.
9.C 解析：选项A，由抛物线可知，，由直线可知，，故A项错误；选项B，由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故B项错误；选项C，由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故C项正确；选项D，由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故D项错误.
10.解：设所求函数解析式为.
直线与轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为.
根据题意，得解得所以所求抛物线对应的函数解析式为.
11.解：（1）因为抛物线与直线交于，两点，其中点在轴上，所以.又因为，所以解得所以抛物线对应的函数解析式为.
（2）存在理由如下：
设，所以，所以.
因为，所以当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，所以.
①当时，解得，（舍去），所以，所以点.
②当时，解得，.
当时，，所以；
当时，，所以.
所以点的坐标为或或.
高效训练·速提能
1.B 解析：设所求函数的解析式为，将点代入，得，所以.
2.B 解析：因为和时的函数值都是，所以二次函数的图象的对称轴为直线.故选B.
3.C 解析：A选项，由抛物线可知，，，由线可知，，，故A项错误；B选项，由抛物线可知，，，由直线可知，，，故B项错误；C选项，由抛物线可知，，，由直线可知，，，且交轴于同一点，故C项正确；D选项，由抛物线可知，，，由直线可知，，，故D项错误.故选C.
4.D 解析：由于抛物线的对称轴为直线，，故在抛物线对称轴的右侧，随的增大而增大，因此直线在对称轴的右边或与之重合，所以，解得.
5. 解析：因为，抛物线开口向上，当时，.
6. 解析：把和代入，得解得所以抛物线对应的函数解析式为，所以顶点坐标为.
7.解：（1）直线
（2）填表如下.
… 0 1 2 3 …
… 2 3 2 …
抛物线如答图22.1.4-1.
（3）因为在对称轴右侧，随的增大而减小，且，所以.
8.D 解析：由题干表格可知，当和时，，所以该函数图象的对称轴为直线.故选D.
9.B 解析：由解析式可知该函数在时取得最小值1，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.根据时，函数的最小值为5可分如下两种情况：若，则当时的值最小，即，解得或（舍去）；若，则当时的值最小，即，解得或（舍去），所以的值为或5.故选B.
10.解：（1）由题意，得解得所以抛物线对应的函数解析式为.
（2）因为，所以抛物线的对称轴为直线.
如答图22.1.4-2，连接，交对称轴于点.
因为点与点关于直线对称，所以点为所求的点.
设直线对应的函数解析式为，将，代入，得解得所以.
因为点在对称轴上，所以点的横坐标是1.
当时，，所以点的坐标是.
11.解：（1）把，代入抛物线对应的函数解析式，得解得所以抛物线对应的函数解析式为.
（2）存在，理由如下：
设点的横坐标为，则点的纵坐标为.过点作轴的平行线交于点，连接，，如答图22.1.4-3所示.
由题意可求得直线的函数解析式为，所以点的坐标为，所以，所以的面积.
当时，，此时点的坐标为，面积的最大值为4.
教材参考答案
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
思考（第29页）
函数①②③的共同特点：它们都是用自变量的二次式表示的函数，都可以表示为（a，b，c是常数，）的形式
练习（第29页）
1.解：.
2解：，即.
思考（第31页）
（1）函数，的图象与函数的图象相比，共同点：对称轴都是y轴，顶点都是原点，开口都向上；不同点：函数的图象的开口比函数的图象的开口大，函数的图象的开口比函数的图象的开口小.
（2）当时，二次函数的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是图象的最低点，a越大图象的开口越小.
探究（第31页）
（1）画图象略抛物线，，的共同点：对称轴都是y轴，顶点都是原点，开口都向下；不同点：函数的图象的开口比函数的图象的开口大，函数的图象的开口比函数的图象的开口小.
（2）当时，二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是图象的最高点，a越小，图象的开口越小.
练习（第32页）
解：（1）抛物线的开口向上，对称轴是y轴顶点是（0，0）.
（2）抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点是（0，0）.
（3）抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是（0，0）.
（4）抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点是（0，0）.
思考（第33页）
（1）抛物线，的开口方向都向上，对称轴都是y轴，它们的顶点分别是（0，1），（0，-1）.
（2）抛物线，与抛物线的关系：它们的开口方向相同，开口大小相同，对称轴都是y轴，把抛物线向下平移1个单位长度，把抛物线向上平移1个单位长度，都能得到抛物线.
思考（第33页）
当时，把抛物线向下平移k个单位长度，得到抛物线；
当时，把抛物线向上平移-k个单位长度，得到抛物线.
练习（第33页）
解：图象如答图22.1-1所示，三条抛物线开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0），（0，2），（0，-2）.抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是（0，k）它是由抛物线沿y轴向上（k>0）或向下（k<0）平移个单位长度得到的.
思考（第35页）
当h>0时，把抛物线向左平移h个单位长度，得到抛物线；
当h<0时，把抛物线向右平移-h个单位长度，得到抛物线.
练习（第35页）
解：图象如答图22.1-2所示，三条抛物线开口都向上，对称轴依次是y轴、直线、直线x=2，顶点坐标依次是（0，0），（-2，0），（2，0）.
问题（第35页）
其他平移方法是：把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到抛物线.
练习（第37页）
解：（1）开口向上，对称轴是直线，顶点是.
（2）开口向下，对称轴是直线，顶点.
（3）开口向上，对称轴是直线，顶点是.
（4）开口向下，对称轴是直线，顶点是.
问题（第37页）
其他平移方法是把抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，就得到抛物.
探究（第38页）
因为，
所以把抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线.抛物线的对称轴是直线，顶点是（-1，3），在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降，即当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.
练习（第39页）
解：（1）开口向上，对称轴是直线，顶点是.
（2）开口向下，对称轴是直线，顶点是（-1，1）.
（3）开口向下，对称轴是直线，顶点是（2，0）.
（4）开口向上，对称轴是直线，顶点是（4，-5）.
练习（第40页）
1.解：设所求二次函数的解析式为.由题意，知函数图象经过（0，-1），（-2，0），三点，得关于a，b，c的三元一次方程组，解这个方程组，得，所以这个二次函数的解析式为.
2.解：设所求二次函数的解析式为
由题意，知函数图象经过（0，0），（-1，-1），（1，9）三点，得关于a，b，c的三元一次方程组，解这个方程组，得，
所以这个二次函数的解析式是.
习题22.1（第41页）
1.解：设该矩形的宽为x，面积为y，则它的长为2x，故.
2.解：由题意，知，其中.
3.解：图象如答图22.1-3所示.
4.解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点是原点；抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点是原点.
5解：（1）图象如答图22.1-4，抛物线与的对称轴都是y轴，顶点分别是（0，3），（0，-2）.
（2）图象如答图21-5，抛物线的对称轴是直线，顶点是（-2，0）；抛物线的对称轴是直线，顶点是（1，0）.
（3）图象如答图221-6，抛物线的对称轴为直线，顶点是（-2，-2）；抛物线的对称轴是直线，顶点是（1，2）.
6解：（1）开口向下，对称轴是直线，顶点是（2，9），图象如答图22.1-7所示.
（2）开口向上，对称轴是直线，顶点是，图象如答图22.1-8所示.
（3）开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（-2，-14），图象如答图221-9所示.
（4）开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（2，-3），图象如答图22.1-10所示.
7.（1）-1 -1（2）
解析：对于（2），因为.所以抛物线的对称轴为直线.
因为，所以抛物线的开口向下所以当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.
8.解：△PBQ的面积S随出发时间t先变大再变小，如答图22.1-11所示.
.因为，，所以.
9.解：当时，；当时，，
解得,（舍去）
所以经过12s汽车行驶了180m，行驶380m需要20s.
*10.解：（1）.
（2）.
（3）.
（4）
*11.解：抛物线为，它的开口向下，对称轴为直线，顶点为（3，10）
12.解：（1）由题意，得
所以滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式为.
（2）当s=3时，，解得,.（舍去）
所以当斜面的长是3m时，钢球从斜面顶端滚到底端需用2s.
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第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
基础知识·细解读
知识点一 二次函数的概念
1 有关概念
形如（a，b，c是常数，）的函数为二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
2 二次函数的解析式必须满足的三个条件
（1）等号右边是整式；
（2）自变量的最高次数必须是2；
（3）二次项系数不为0.
3 二次函数的结构特征
等号左边是y，等号右边是关于x的二次多项式或二次单项式.
（1）当时，二次函数为；
（2）当时，二次函数为；
（3）当，时，二次函数为.
【例1】下列函数中，哪些是二次函数？
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
解：（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1.
（2）是二次函数，因为符合二次函数的概念.
（3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3.
（4）是二次函数，因为符合二次函数的概念.
（5）不是二次函数，因为原式整理后为.
（6）不是二次函数，因为x一为分式，不是整式.
故（2）（4）是二次函数.
知识点二 列二次函数解析式的一般步骤
示例 解题模板
审 ↓ → 【例2】某商场销售一批衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元.为减少库存，商场决定降价处理，每件衬衫每降价1元，每天多售出2件.请写出商场每天盈利y（单位：元）与每件衬衫降价x（单位：元，x为整数）之间的函数解析式. ← 找出已知量和未知量，分析它们 之间的关系
找 ↓ → 解：降价后，每件衬衫的盈利为元，每天售出件.因为每天的盈利=每件衬衫的盈利×每天售出的件数， ← 找到两个未知量之间的关系，用等式表示
列 ↓ → 所以（，x为整数）. ← 结合已给或设出的未知量的字母，根据等量关系列出函数的解析式，注意自变量的取值范围
特别提醒
（1）注意二次函数与一元二次方程的异同.
（2）在二次函数的概念中，是二次函数概念的一部分，若a为0，则函数就是，这不符合二次函数的概念.
（3）二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项包括它们前面的符号，不要漏掉.
特别提醒
判断是否为二次函数的“三步骤”
形式 ↓ → 看含自变量的代数式是否为整式；
化简 ↓ → 将含自变量的代数式化简；
判断 ↓ → 根据系数、次数的要求判断是否为二次函数.
特别提醒
实际问题中自变量的取值范围的确定
（1）二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.
（2）确定自变量的取值范围时，需正确列出不等式或不等式组.
应用能力·巧提升
题型一 根据二次函数的概念求字母的值
【例1】已知函数是关于x的二次函数，求满足条件的m的值.
审题关键：根据二次函数的概念求字母的值时，一般根据自变量的最高次数等于2列出方程，并要保证二次项系数不能等于0.
破题思路：由二次函数的概念，得，且，求解可得m的值.
解：根据题意可得，，且，解得，
即满足条件的m的值为5.
解后反思
二次函数概念掌握好，待定轻松变确定
要确定二次函数中待定字母的值，需根据二次函数自变量的最高次数是2，二次项系数不为0，列出关于所求字母的方程或不等式（组），解方程或不等式（组），即可确定字母的值.
题型二 列二次函数的解析式
角度1 实际问题中根据数量关系列二次函数的解析式
【例2】某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元出售，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x元，每天销售y个，每天获得利润W元.
（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）求出W与x之间的函数解析式（不必写出x的取值范围）.
审题关键：商品销售问题的解题关键是掌握销售利润、销售量与单位商品的利润之间的关系.
破题思路：（1）利用每天可卖出300个，每降价1元，每天可多卖出20
个，得出y与x之间的函数解析式；
（2）利用销量×每个商品的利润=总利润，得出答案.
解：（1）已知每个降价x元，每天销售y个，
所以y与x之间的函数解析式为.
（2）由题意可得，W与x之间的函数解析式为
.
方法技巧
商品销售问题中三个“威力无穷”的公式
（1）单件利润=单件售价-单件进价；
（2）销售利润=单件利润×销售量；
（3）.
角度2 实际问题中根据几何知识列二次函数的解析式
【例3】某校为绿化校园，在一块长为15m、宽为10m的矩形空地上建造一个矩形花圃，如图22.1.1-1，设计这个花圃的一边靠墙（墙长大于15m），并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路，设小路的宽为xm，花圃面积为y ，求y关于x的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围.
审题关键：解与实际问题有关的几何问题时，一般要通过分析几何图形，借助几何图形的面积或周长公式建立等量关系.
破题思路：由小路的宽为x m，知矩形花圃的长为m，宽为m，根据矩形面积公式即可得到函数解析式，由实际问题求出函数自变量的取值范围.
解：由小路的宽为x m，知矩形花圃的长为m，宽为m，根据题意，得.
由，解得.
故所求的函数解析式为（）.
一题多变
如图22.1.1-2所示，若小路设计成互相垂直的两条，其他条件不变，请写出函数解析式，并求出自变量的取值范围.
方法技巧
数形结合巧妙建立关系
解决此类问题时，一般利用“数形结合”的思想，在具体解题时，常用的建立等量关系的方法有“面积法”“周长法”“勾股法”，利用它们求解就简单多了.
变式训练
1.已知函数是关于x的二次函数，求m的值并指出函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
变式训练
2.某水果批发商销售每箱进价为40元的水果，物价部门规定每箱水果的售价不得高于55元，经市场调查发现，每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高（或降低）1元，平均每天少（或多）销售3箱.
（1）求平均每天销售量y（单位：箱）与售价x（单位：元/箱）之间的函数解析式；
（2）求该批发商每天的销售利润W（单位：元）与售价x（单位：元/箱）之间的函数解析式.
3.如图22.1.1-3，在一面靠墙的空地上，用长为24m的篱笆围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为S.求S与x的函数解析式及自变量x的取值范围.
4.体育课上，老师用绳子围成一个周长为30m的游戏场地，围成的场地是如图22.1.1-4所示的矩形ABCD.设边AB的长为x m，矩形ABCD的面积为S.
（1）求S与x之间的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若矩形ABCD的面积为50，且AB
易错点一 忽视二次函数概念的关键条件
【例1】下列函数中，是二次函数的是________（填序号）.
①；
②；
③（m为任意实数）；
④（a，b，c是常数）；
⑤.
解析：①中，，x的次数是-2，
故不是x的二次函数；②中，等号的右边展开后x的最高次数是2，满足二次函数的概念，故是x的二次函数；③中，由于m为任意实数，故当m=-1时，y=2x，不是x的二次函数；
④中，由于a，b，c为常数，故当a=0时，y=bx+c，不是二次函数；⑤中，因为，所以，即，所以是二次函数.
答案：②⑤
防错警示
确定x的次数是作出判断的前提.
函数的二次项系数含有未知数，不能保证二次项系数一定不为0.
易错点二 混淆自变量的取值范围
【例2】如图22.1.1-5，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，设花园的边BC长为x m，花园的面积为y.
（1）求y与x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）满足条件的花园的面积能达到200吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由.
解：（1）因为边BC为x m，栅栏总长为40m，
所以花园的边，
所以.
（2）不能.理由如下：当时，，解得.
因为根据实际意义，边BC不能大于墙长15m，
所以，且花园的边AB需大于0，
即.
由得.
因为不在此范围内，所以花园的面积不能达到200.
防错警示
实际问题中自变量的取值范围，可能会受到各种制约，在列出二次函数的解析式后，要特别考虑一下自变量的取值情况，防止出错.
真题解密·探源头
中考真题 教材原型
（湖南郴州中考节选·3分）某商店原来平均每天可销售某种水果200kg，每千克可盈利6元.为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，那么每天可多售出20kg.设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数解析式. 解：由题意可知，每千克水果降价x元时，每千克可盈利元，………………1分 此时的销量为kg，…………2分 所以平均每天盈利， 即.………………3分 教材第28页问题2 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 解：这种产品的原产量是20t，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量， 即.
命题人解密：教材中的问题很典型地考查了列二次函数解析式解决增长率问题，中考题也是实际问题中列二次函数解析式的题目，不同的是将增长率问题换成了利润问题. 阅卷人解密：解决此类应用型问题的关键是正确理解题意，弄清数量关系，然后准确地列出二次函数解析式，常见的错误是不能读懂题意，从而无法建立起数量关系，导致失分.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.二次函数的二次项系数与常数项的和是（ ）
A.1 B.-1 C.7 D.-6
3.如果是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A. B.a≠1 C.a≠1，且a≠0 D.无法确定
4.若x是正方形ABCD的周长，y是正方形ABCD的面积，则y是x的二次函数，其函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
5.如果函数是二次函数，那么k的值是________，二次项系数为________.
6.元旦来临之际，某班x名同学都相互送一张贺卡，则该班送贺卡总数y与x的函数解析式为________.
7.已知函数.
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
8.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S（单位：）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化.
（1）请直接写出S与x之间的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当x=30时，求菱形风筝的面积.
【能力提升】
9.某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件
210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件.在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x（x为偶数）元，每天售出服装的利润为y元，则y关于x的函数解析式为（ ）
A.（0
10.如图22.1.1-6，△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，∠ABC=∠DEF=90°，AB=4cm，BC与EF在直线l上，开始时点C与点E重合，让△ABC沿直线l向右平移，直到点B与点E重合为止，设△ABC与△DEF的重叠部分（即图中阴影部分）的面积为y，CE的长度为x cm，则y与x之间的函数解析式是________.
11.李伯伯围建一个矩形羊圈.其中一边靠墙，另外三边用长为10m的篱笆围成.已知墙长为8m（如图22.1.1-7所示），设这个羊圈垂直于墙的一边的长为x m.
（1）若平行于墙的一边的长为a m，直接写出a关于x的函数解析式及其自变量x的取值范围；
（2）设羊圈的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指明函数的类型；
（3）当这个羊圈的面积为12时，求x的值.
【拓展创新】
12.如图22.1.1-8，用同样规格颜色不同的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题.
（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，写出y与n（n表示第n个图形）的函数解析式；
（2）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值.
22.1.2 二次函数的图象和性质
22.1.3二次函数的图象和性质
基础知识·细解读
知识点一 二次函数的图象和性质
1 二次函数的图象的画法
画图步骤→ 列表→ 描点→ 连线
↓ 让x取一些代表性的值（正数、负数或0），求出对应的y值，列 出表格 在平面直角坐标系内，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点 用一条光滑曲线顺次连接各点，就得到函数的图象
典例示范 【例1】在同一平面直角坐标系中作出和y的图象.
解：列表如下：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
… -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 …
描点：如图22.1.2-1所示，以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点.
连线：用光滑的曲线顺次连接各点.
总结
画二次函数的图象的三点注意
（1）列表时，自变量应以0为中心，左右两边要对应取值；
（2）画图象时，图象应越过端点，表示为向下或向上无限延伸；
（3）图象在两个象限内画出的曲线是对称的，顶点处不能画成尖形，应该保持平滑.
2 二次函数y=ax2的图象和性质
函数 a的 取值 图象 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 最值
a>0 向上 （0,0） y轴 当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小 当x=0时，
向下 当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大 当x=0时，
【例2】已知函数，不画图象，回答下列各题：
（1）其图象的开口方向：________；（2）其图象的对称轴：________；
（3）其图象的顶点坐标：________；（4）当x>0时，y随x的增大而________；（5）当x ________时，函数y的最值是________.
解析：因为函数，所以其图象是抛物线，又因为，所以抛物线开口方向向下；对称轴是y轴（或直线x=0）；顶点坐标是（0，0）；当x>0时，y随x的增大而减小；当x=0时，y最大，最大值是0.
答案：（1）向下 （2）y轴（或直线x=0） （3）（0，0） （4）减小 （5） 大 0
总结
巧用图形，妙解函数的性质问题
已知二次函数的解析式，函数的性质实际上已经确定了，如果你记不准这么多性质结论，不妨画个草图，它能帮你快速准确地找到问题的答案.
知识点二 二次函数的图象和性质
1 二次函数，，的图象的画法
（1）描点法
列表→描点→连线
（2）平移法
【例3】在同一平面直角坐标系中，画出，，和的图象，并指出后三个图象与的图象之间的关系.
解：（1）列表如下：
x … -2 -1 0 1 2 …
… 4 1 0 1 4 …
… 5 2 1 2 5 …
… 9 4 1 0 1 …
… 10 5 2 1 2 …
（2）描点.
3）连线，如图22.1.2-2所示.
函数的图象是由函数的图象向上平移1个单位长度得到的；
函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位长度得到的；
函数的图象是由函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的.
总结
准确理解抛物线平移规律，正确作图
通过本题易发现抛物线与（）形状相同，只是位置不同，即抛物线是由抛物线先向左（h<0）或向右（h>0），再向上（k>0）或向下（k<0）平移得到的.只要二次项系数（a的值）相同，它们的形状都相同，都可以通过平移得到.
2 二次函数，，的图象和性质
二次 函数 a的 取值 图象 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 最值
a>0 向上 y轴或 直线 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大 当x=0时，
A<0 向下 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小 当x=0时，
续表
二次 函数 a的 取值 图象 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 最值
a>0 向上 直线 x=h 当x
a<0 向下 当x
a>0 向上 直线 x=h 当x
a<0 向下 当x
【例4】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（1）；（2）；（3）.
解：（1）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为.
（2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为.
（3）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为.
总结
明晰抛物线的各种形式，解决性质问题抛物线有多种形式，比如当，时，变为；当，时，变为.解决各种形式的抛物线的性质问题的关键是要记准抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
特别提醒
（1）二次函数的图象称为抛物线.
（2）抛物线关于y轴对称，图象与对称轴的交点称为顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.
（3）画二次函数的图象时，一般来说取的点越多，描出的图象就越准确，但取点过多计算量会很大，故一般以y轴为对称轴，左右对称各取三四个点即可.
特别提醒
（1）二次函数的增减性一定要说明是在y轴的左侧或右侧.不能笼统地说当a>0时，y随x的增大而减小（增大）.
（2）决定抛物线的开口大小，越大，抛物线的开口越小.
特别提醒
（1）抛物线是由抛物线上下平移得到的.当k>0时，上移；当k<0时，下移，简记为“上加下减”.
（2）抛物线是由抛物线左右平移得到的.当h>0时，右移；当h<0时，左移，简记为“左加右减”.
（3）对于二次项系数a相同的两个二次函数，它们对应的抛物线的开口方向和大小是一样的，此时可以只通过观察顶点的位置来判断抛物线的平移情况，也可以利用“左加右减，上加下减”的规律来判断.
拓展
（1）因为从二次函数中可以直接看出其对应的抛物线的顶点为，所以通常把叫做二次函数的顶点式.
（2）抛物线与x轴可能有交点，也可能没有交点，但与y轴一定有一个交点.
研究二次函数的图象时，抓住顶点是关键.
应用能力·巧提升
题型一 二次函数的图象和性质
【例1】二次函数：
①；②；③；
④；⑤；⑥.
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=-1的是________（只填序号）；
（2）以上二次函数有最大值的是________（只填序号）.
审题关键：因为二次函数的解析式均已确定，所以可结合二次函数解析式的特征对其性质作出判断.
解析：（1）二次函数的图象的对称轴为直线x=-1，也就是在顶点式中h=-1，故满足条件的函数有②③.
（2）二次函数有最大值，也就是其函数图象的开口向下，即a<0，故满足条件的函数有①③⑤.
答案：（1）②③（2）①③⑤
方法技巧
由二次函数的顶点式推断抛物线性质的方法
（1）a确定抛物线的开口方向，且的大小决定开口的大小，特别地，当两个抛物线形状一样时，两者的是相等的；
（2）h确定抛物线的对称轴，对称轴是直线x=h，千万不要记成x=-h；
（3）k确定抛物线与对称轴交点的纵坐标、h与k共同确定抛物线的顶点坐标.
题型二 根据二次函数图象的平移规律，确定二次函数的解析式
【例2】（四川凉山州中考）将抛物线先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线对应的二次函数解析式为________.
审题关键：利用抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”确定平移后的抛物线对应的二次函数解析式.
解析：将抛物线向下平移2个单位长度后得到抛物线，再向右平移3个单位长度后得到抛物线.
所以平移后所得抛物线对应的二次函数解析式为.
答案：
规律总结
根据平移规律，确定二次函数解析式的策略
抛物线在平移时，a不变，只是h和k发生变化.因此，在解决抛物线平移问题时，可按照“上加下减”“左加右减”的平移规律，确定平移后抛物线对应的二次函数解析式.
题型三 二次函数的性质的应用
角度1 比较函数值的大小
【例3】（河南中考）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________.
审题关键：由于二次函数的解析式及各点的横坐标已知，可求得各点的纵坐标后进行比较，也可利用二次函数的性质，明确各点与对称轴的位置，利用二次函数的性质求解.
解析：方法1：因为点，，在抛物线上，所以将各点坐标代入，可求得，，.
因为，所以.
方法2：设点A，B，C到抛物线对称轴的距离分别为，，.
由题意，得该抛物线的对称轴为直线x=2，
所以，，.因为，且a=1>0，
所以.
答案：
一题多变
已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________.
方法技巧
比较二次函数中函数值大小的三种常用方法
（1）直接代入自变量的值，求得函数值后比较大小.
（2）当自变量的取值在对称轴同侧时，直接根据二次函数的增减性判断.
（3）当自变量的取值在对称轴两侧时，根据自变量的取值到对称轴的距离及二次函数的增减性判断.
角度2 根据二次函数的增减性求字母的取值范围
【例4】若二次函数，当x<2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A.m=2 B.m>2 C. D.
审题关键：由于二次函数的解析式已知且为顶点式，可直接找到对称轴，故可直接利用二次函数性质求m的取值范围.
解析：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=m，当x
方法技巧
根据二次函数的增减性求字母的取值范围的步骤
第1步：根据二次函数的顶点式，确定抛物线的开口方向和对称轴.
第2步：明确函数在对称轴两侧的增减情况.
第3步：借助图象或性质确定字母的取值范围.
题型四 用顶点式求二次函数的解析式
【例5】已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点，求抛物线对应的函数解析式.
审题关键：已知抛物线的顶点坐标时，可设顶点式，再寻找一个条件即可确定二次函数的解析式.
破题思路：根据顶点坐标设出顶点式，再把点代入可得答案.
解：设抛物线对应的函数解析式为.
因为抛物线的顶点坐标为，
所以.
把代入，得，解得.
所以抛物线对应的函数解析式为.
解后反思
巧设顶点式求二次函数的解析式
已知二次函数图象的顶点坐标，常设顶点式为，然后将一个已知点的坐标代入，便可求得二次函数的解析式.
题型五 /二次函数与一次函数的综合性问题
【例6】如图22.1.2-3，直线l过和两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求该二次函数的解析式.
审题关键：二次函数与一次函数的综合性问题，一要注意确定各自解析式需要的条件，二要注意充分利用函数图象的交点坐标.
破题思路：先利用待定系数法求出直线l的解析式为y=-x+3，则可设，再根据三角形面积公式得到，解出t的值，确定点P的坐标，最后把点P的坐标代入中求出a的值即可.
解：设直线l对应的函数解析式为y=kx+b，把，代入，得，解得所以直线AB对应的函数解析式为y=-x+3.
设点.因为△AOP的面积为3，所以，解得，所以点P的坐标为.把代入，得，所以二次函数的解析式为.
题型六 利用二次函数的图象和性质解决实际问题
【例7】如图22.1.2-5（示意图），一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
（1）建立如图22.1.2-5所示的平面直角坐标系，求抛物线对应的函数解析式；
（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
审题关键：利用二次函数的图象和性质解决实际问题时，要根据题意和函数的图象，正确设出二次函数的解析式，再根据已知条件进行解答.
破题思路：（1）设抛物线对应的函数解析式为，依题意可知图象经过的点的坐标，由此求得a的值后，确定抛物线对应的函数解析式；
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则点在求得的抛物线上，由此求得h.
解：（1）因为当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，
所以抛物线的顶点坐标为，
所以设抛物线对应的函数解析式为.
由题图，知图象过点，
所以，解得，
所以抛物线对应的函数解析式为.
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为h m.
则球出手时，球的高度为.
因为（1）中求得，
所以，
解得.
所以球出手时，他跳离地面的高度为0.2m.
方法技巧
利用二次函数的图象与性质解决实际问题的关键
（1）建立适当的平面直角坐标系确定图象上一个或两个点的坐标，从而确定函数的解析式.
（2）结合图象充分利用抛物线的性质，解题时要注意线段长与点的横、纵坐标的转换.
变式训练
1.（湖南湘潭中考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.分别说出下列抛物线的对称轴、顶点坐标和函数的最值.
（1）；
（2）；
（3）.
变式训练
3.将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得抛物线________.
变式训练
4.已知函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.已知二次函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.若二次函数，
当x>2时，y随x的增大而
增大，则m的取值范围是
A.m=2 B.m>2 C. D.
7.若二次函数，当x>1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是________.
变式训练
8.已知一条抛物线的顶点为坐标原点，且与直线y=x-3的交点的横坐标为1，求该抛物线对应的函数解析式.
变式训练
9.如图22.1.2-4，直线l过，两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为，求该二次函数的解析式.
变式训练
10.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图22.1.2-6所示的平面直角坐标系，其函数解析式为，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A.-20m B.10m C.20m D.-10m
11.某同学在推铅球时，球经过的路线是抛物线的一部分（如图22.1.2-7），出手处A点坐标是，最高点B的坐标是，求此抛物线对应的函数解析式.
易误易混·精辨析
易错点 对二次函数的性质理解不透彻而致错
【例】已知，是抛物线上的两点，试比较，的大小.
解：设是点B关于y轴的对称点，则点C在抛物线上.
因为a=-3<0，所以当x<0时，y随x的增大而增大.
因为-2>-3，所以.
防错警示
二次函数的增减性，只能在抛物线的对称轴的同侧应用，本题易因忽略A，B两点与y轴的关系，而直接套用性质导致错误.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.抛物线，，的共同性质是（ ）
A.开口向上
B.对称轴是y轴
C.都有最高点
D.y随x的增大而增大
2.在下列二次函数中，其图象的对称轴为x=-2的是（ ）
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ）
4.（浙江舟山中考）把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后抛物线对应的函数解析式是________.
5.已知二次函数，当x________时，y随x的增大而减小.
6.已知是二次函数，且当x>0时，y随x的增大而增大.
（1）求k的值；
（2）求函数图象的顶点坐标和对称轴.
7.已知抛物线.
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）完成下表：
x … -7 -5 -3 -1 1 3 0 5 …
y … …
（3）在图22.1.2-8所示的平面直角坐标系中描点画出抛物线.
【能力提升】
8.（浙江宁波中考）抛物线（m是常数）的顶点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于y轴的直线，则关于x的方程的解为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10.已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ ）
11.（湖南衡阳中考）已知函数图象上两点，，其中a>2，则与的大小关系是________.（填“<”“>”或“=”）
12.二次函数的图象如图22.1.2-9所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，求菱形OBAC的面积.
【拓展创新】
13.已知点，，抛物线l：（h为常数）与y轴的交点为C.
（1）l经过点B，求它对应的函数解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
（2）设点C的纵坐标为，求的最大值，此时l上有两点，，其中，比较与的大小.
22.1.4 二次函数的图象和性质
基础知识·细解读
知识点一 二次函数的图象与性质
1 二次函数的图象的顶点坐标和对称轴
顶点坐标为，对称轴为直线
2 二次函数的图象的作法
（1）平移法
步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点坐标 → 步骤2：作出的图象 → 步骤3：平移的图象，使顶点为
↓ ↓ ↓
，顶点坐标为 作的图象 平移的图象， 使顶点为
（2）五点法
步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点、开口方向、对称轴 → ，顶点坐标为，开口向上，对称轴为直线
↓
步骤2：以顶点为中心，左右对称各取两对值，列表 → x-5-4-201y72-227
↓
步骤3：描点，并用平滑的曲线将描出的点顺次连接 →
3 二次函数的图象与性质
抛物线
图象
开口方向 开口向上，并向上无限延 伸开口向下，并向下无限延伸
对称轴 直线
顶点坐标
增减性 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
最值 当时， 当时，
【例1】已知二次函数.
（1）试确定函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）在同一平面直角坐标系内作出函数及的图象；
（3）根据函数的图象写出抛物线与抛物线的关系.
解：（1）因为，所以二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=-6，顶点坐标为.
（2）在同一平面直角坐标系内作出及的图象，如图22.1.4-1所示.
（3）由图象可看出，抛物线可看成由抛物线先向左平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度得到的.两条抛物线的形状和大小都相同，只是位置不同.
总结
求二次函数图象的对称轴、顶点坐标的“两条路径”
（1）公式法：对称轴为直线，顶点坐标为.
（2）配方法：运用配方法将一般式化为顶点式，即，顶点坐标为，对称轴为直线x=h.
知识点二 二次函数的图象
特征与a，b，c符号的关系
系数 符号 图象的特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
b ab>0（a，b同号） 对称轴在y轴左侧
ab<0（a，b异号） 对称轴在y轴右侧
b=0 对称轴为y轴
c c=0 过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
【例2】二次函数的图象如图22.1.4-2所示.
下列结论：①b<0；②c>0；③a+b+c>0；④4a+2b+c<0.其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：二次函数的图象开口向下，a<0，抛物线的对称轴在y轴的右
侧，，由a<0，得b>0，所以结论①错误；抛物线与y轴的交点
在y轴的正半轴上，c>0，所以结论②正确；由图象可知，当x=1时，对应的函数值y>0，所以把x=1代入解析式，得a+b+c>0，所以结论③正确；由图象可知，当x=2时，对应的函数值y<0，所以把x=2代入解析式，得4a+2b+c<0，所以结论④正确.故正确的个数是3.
答案：C
总结
数形结合，妙解二次函数的图象题
已知二次函数的图象，推断a，b，c之间关系的问题，通常会用到下面的思路：
（1）由口诀“上正下负”“左同右异”推断a，b，c的正负.
（2）结合图象，通过给x赋值，判断特殊函数值的正负，如判断“a+b+c”“a-b+c”“4a+2b+c”“4a-2b+c”等式子的正负.
知识点三 用待定系数法求二次函数解析式的步骤
示例 解题模版
【例3】已知抛物线经过点，，，求这条抛物线对应的函数解析式.
解：设抛物线对应的函数解析式为 . 设出二次函数的解析式
由题意，得 把自变量的值与对应的函数值代入函数的解析式中，得到关于待定系数的方程组
解得 解方程组求出待定系数
所以抛物线对应的函数解析 式为. 确定二次函数的解析式
特别提醒
用配方法把二次函数化为顶点式时要注意与一元二次方程配方法的区别：
（1）提取二次项系数使括号内二次项系数为1，是乘法分配律的逆运算，配方法解一元二次方程是方程两边同除以二次项系数.
（2）注意“一加一减”：提取完二次项系数后，括号里要加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，这里的一次项系数是提取了二次项系数之后的一次项系数.
（3）要注意把这里的“”与一元二次方程求根公式中的“”区分开.
特别提醒
用五点法画二次函数的图象时，一般先用配方法把二次函数化成的形式，再由a确定抛物线的开口方向，由顶点式确定对称轴及顶点坐标，最后利用对称性描点画图.
特别提醒
二次函数的
图象是对称轴与y轴平行（或重合）的抛物线.对于几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同.
拓展
（1）a+b+c（或a-b+c）可以看成当x=1（或x=-1）时，二次函数的函数值.
（2）若点和点关于直线对称，则，.
巧记口诀
“上正下负”“左同右异”
（1）“上正下负”：
①抛物线的开口方向可确定a的符号：
图象开口向上，则a>0（为正数）；图象开口向下，则a<0（为负数）.简记为“上正下负”.
②抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号：
抛物线与y轴交于原点，c=0；抛物线与y轴交于x轴上方，c为正；抛物线与y轴交于x轴下方，c为负.简记为“上正下负”.
（2）“左同右异”：
对称轴在y轴左侧，a，b同号；对称轴在y轴右侧，a，b异号.简记为“左同右异”
拓展
用待定系数法求二次函数的解析式时，要根据不同的已知条件，灵活选用解析式的形式，一般有如下三种：
（1）若已知抛物线上三个点的坐标，则设一般式；
（2）若已知抛物线的顶点坐标，则设顶点式；
（3）若已知抛物线与x轴两个交点的坐标，，则设交点式.
应用能力·巧提升
题型一 确定二次函数的最值及其图象的对称轴、顶点坐标
【例1】求二次函数的最值及其图象的对称轴、顶点坐标.
审题关键：确定二次函数的最值及其图象的对称轴、顶点坐标可用配方法或公式法.
破题思路：思路1：配方，先把二次函数化为顶点式，再写出抛物线的对称轴、顶点坐标及函数的最值；
思路2：先写出a，b，c的值，直接代入二次函数的顶点坐标计算，再写出抛物线的对称轴、顶点坐标及函数的最值.
解：方法1（配方法）：
，
所以二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为.
因为，所以二次函数有最大值，.
方法2（公式法）：因为a=-2，b=4，c=-6，
所以，
，
所以二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为.
因为a=-2<0，所以二次函数有最大值，.
解后反思
研究二次函数性质的两个思路
（1）配方.将一般式转化为顶点式.
（2）利用公式.用这种方法时，首先要保证二次函数的解析式为一般式，其次要注意找准a，b，c的值.
题型二 二次函数图象的平移
【例2】在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，再作关于x轴的对称图象，得到抛物线，则原抛物线对应的函数解析式为
A. B.
C. D.
审题关键：解决抛物线的平移问题，关键是抓住顶点坐标和开口方向两个要素.
解析：，顶点坐标为，先将其关于x轴对称后，顶点坐标变为，开口方向向下，抛物线的形状没有发生变化，因此，函数的解析式为，再将其向下平移3个单位长度，函数的解析式变为.
答案：A
找准顶点，牢记平移规律，解决二次函数图象的平移问题就简单多了！
方法技巧
根据抛物线的平移确定函数解析式的策略
抛物线在平移过程中，抛物线的开口方向和
大小都是不会变化的，因而找准平移后的顶点就是解决问题的关键.然后根据平移的规律“左加右减、上加下减”确定平移后抛物线对应的函数解析式.
题型三 比较二次函数值的大小
【例3】若点，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
审题关键：比较二次函数函数值的大小，可用代入法，亦可根据函数的增减性进行比较.
解析：方法1（代入法）：分别将，，代入，得，，，所以.
方法2（增减性比较法）：二次函数的对称轴为直线.
由抛物线的对称性可知，x=1与x=-5对应的函数值相等.因为a=1>0，当x<-2时，y随x的增大而减小，所以.
答案：B
解后反思
比较二次函数值大小的策略
（1）代入法：直接根据自变量的值，求出对应的函数值，然后进行比较.
（2）增减性比较法：这种方法是利用二次函数的性质比较大小，主要的依据是利用抛物线在对称轴的同侧具有增减性.使用这种方法时，一定要先判断自变量是否在对称轴的同侧，如果不在同侧时，可以先利用抛物线的对称性转化到同侧，再比较大小.
题型四 利用待定系数法求二次函数的解析式
【例4】已知抛物线过点，，，求此抛物线对应的函数解析式.
审题关键：求二次函数解析式的问题，一般是利用待定系数法求解.设二次函数的解析式时，要结合条件灵活选用合适的形式.
破题思路：思路1：由于已知三点的坐标，所以可设一般式，利用待定系数法求解.
思路2：由于点，的纵坐标为0，故此两点为抛物线与x轴的交点，所以可设交点式，利用待定系数法求解.
思路3：由于点，为抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性，可求得顶点的横坐标，所以可先设顶点式，再利用待定系数法求解.
解：方法1：设所求二次函数的解析式为.
因为抛物线过点，，，
所以解得
所以此抛物线对应的函数解析式为.
方法2：因为抛物线与x轴交于点，，
所以设所求二次函数解析式为，
把点代入，得
，解得.
所以此抛物线对应的函数解析式为，
即.
方法3：因为抛物线与x轴交于点，，
所以抛物线的对称轴是直线.
设所求二次函数解析式为.
因为二次函数的图象过点和，
所以解得
所以此抛物线对应的函数解析式为，
即.
规律总结
选对函数解析式形式，求二次函数更简单
（1）已知任意三点，设一般式.
（2）已知点中有两点的纵坐标都为0时，设交点式.
（3）已知顶点的坐标，设顶点式.
（4）已知点中有两点的纵坐标相等，此时可利用抛物线的对称性求得顶点的横坐标，设顶点式.
题型五 二次函数与一次函数的综合性问题
【例5】如图22.1.4-5，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点，，都在抛物线上，M为抛物线的顶点.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线CM对应的函数解析式；
（3）求△MCB的面积.
审题关键：解答二次函数与一次函数的综合性问题，要充分利用两图象交点的坐标，此外坐标系中的求面积问题，往往是利用割或补的方法进行转化，此时要重点寻找那些有边在坐标轴上（或与坐标轴平行）的图形.
破题思路：（1）把点，，代入，得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值即可得到抛物线对应的函数解析式；
（2）先把抛物线对应的函数解析式变形成顶点式，则可确定点M的坐标，再利用待定系数法确定直线CM对应的函数解析式；
（3）先确定直线CM与x轴的交点E的坐标和抛物线与x轴的交点B的坐标，再利用进行计算.
解：（1）根据题意，得，解得
所以抛物线对应的函数解析式为.
（2），则点M的坐标为.
设直线CM对应的函数解析式为y=mx+n，
把点和代入，得解得
所以直线CM对应的函数解析式为y=2x+5.
两个函数图象的交点坐标同时满足这两个函数的解析式，这点很重要.
（3）把y=0代入y=2x+5，得2x+5=0，解得，则点E的坐标为.把y=0代入，得，解得，，所以，
所以.
规律总结
探索常见的二次函数与一次函数综合问题及解题思路
（1）双图象问题：此类问题常见的形式为在同一平面直角坐标系中提供两个含有相同字母系数的函数的图象，据图作出正确判断.解答此类问题常利用排除法，即通过图象分析出两个函数解析式中各字母系数满足的条件，若一致，则正确；若不一致，则排除.
（2）与图象交点有关的问题：解答此类综合问题，要注意两函数图象的公共点，一般是借助某个函数的解析式先求出公共点的坐标，再求出另一个函数的解析式.
题型六 二次函数的探究性问题
【例6】（湖北黄冈中考节选）如图22.1.4-6，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点.设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求BD所在直线对应的函数解析式；
（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形.
审题关键：解决探究性问题的一般思路是假设探究的结论成立，由此结论出发，寻找使结论成立的条件，从而得解.
破题思路：（1）直接根据点A，B，C在图象上的特殊位置求其坐标；
（2）先根据点D和点C之间的关系求点D的坐标，再用待定系数法求出BD所在直线对应的函数解析式；
（3）因为CD∥QM，要使四边形CQMD是平行四边形，则必须CD=QM.用含m的代数式表示出点Q和点M的坐标，然后表示出QM的长度，利用QM=CD，列出以m为未知数的方程求解.
解：（1）当x=0时，y=2，所以.
当y=0时，，解得，.
所以，.
（2）因为点D与点C关于x轴对称，所以.
设BD所在直线对应的函数解析式为y=kx+b.
则解得所以.
（3）因为CD∥QM，所以要使四边形CQMD是平行四边形，只需使CD=QM.
因为，，，
所以，
所以，解得，.
因为当m=0时，QM与CD重合，所以m=2.
解后反思
二次函数的探究性问题的难度一般是比较大的，但此类问题也多是由几个简单问题组合成的，求解时要按部就班，各个突破.解题中碰到求线段长度的问题时，可以利用线段两端点的坐标来求解，这体现了数形结合的思想.
变式训练
1.（湖南怀化中考）二次函数的图象的开口方
向、顶点坐标分别是（
A.开口向上，顶点坐标为
B.开口向下，顶点坐标为
C.开口向上，顶点坐标为
D.开口向下，顶点坐标为
2.求二次函数的最值及其图象的对称轴、顶点坐标.
变式训练
3.（黑龙江牡丹江中考）将抛物线向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（ ）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
4.如果将抛物线向上平移，使它经过点，那么所得新抛物线对应的函数解析式是________.
变式训练
5.（甘肃兰州中考）若点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.设点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
变式训练
7.已知如图22.1.4-3所示的抛物线，求此抛物线对应的函数解析式.
8.如图22.1.4-4，二次函数的图象过A，B，C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴的正半轴上，且AB=OC.
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式.
变式训练
9.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
10.已知抛物线经过直线与两坐标轴的交点，且过点，求抛物线对应的函数解析式.
变式训练
11.（四川广安中考节选）如图
22.1.4-7，抛物线与直线交于A，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为，点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.
易误易混·精辨析
易错点 对配方、图象平移理解不透彻而致错
【例】抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的抛物线对应的函数解析式是什么？
解：因为，所以抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的抛物线对应的函数解析式是，即.
防错警示
在这类问题的求解中，的配方过程易出错，图象的平移方向易出错.要避免以上错误，应对配方、平移的方法熟练掌握.配方可类比一元二次方程的配方法，抛物线的平移可以看作抛物线顶点的移动，所以一般先将解析式配方化成的形式，再按“左加右减，上加下减”的规律求函数的解析式.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.已知二次函数的图象以为顶点，且过点，则该函数的解析式是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（浙江衢州中考）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -3 -2 -3 -6 -11 …
则该函数图象的对称轴是（ ）
A.直线x=-3 B.直线x=-2 C.直线x=-1 D.直线x=0
3.在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数的图象可能是（ ）
4.已知二次函数，当x>1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A.m=-1 B.m=3 C. D.
5.（甘肃兰州中考）二次函数的最小值为________.
6.（河南中考）已知，是抛物线上两点，则该抛物线的顶点坐标是________.
7.已知抛物线.
（1）该抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________.
（2）选取适当的数据填入下表，并在如图22.1.4-8所示的直角坐标系内描点画出该抛物线；
x … …
y … …
（3）若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较与的大小.
【能力提升】
8.（山东临沂中考）已知二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 …
y … 4 0 -2 -2 0 4 …
则下列说法正确的是（ ）
A.该函数图象的开口向下
B.当x>-3时，y随x的增大而增大
C.二次函数的最小值是-2
D.该函数图象的对称轴是直线
9.（天津中考）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3
10.如图22.1.4-9，已知抛物线经过，，三点，直线l是抛物线的对称轴.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标.
【拓展创新】
11.如图22.1.4-10，已知抛物线经过，两点，与y轴交于点C.
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）该抛物线在直线AC上方的一段上是否存在
一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由.
参考答案
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
应用能力·巧提升
1.解：由二次函数的概念，得
由①，得.由②，得.所以，所以函数解析式为.所以二次项系数为4，一次项系数为2，常数项为0.
2.解：（1）由题意，得.
化简，得，所以所求的函数解析式是.
（2），所以所求的函数解析式是.
【例3】一题多变
解：由小路的宽为 m，知空白矩形的长为 m，宽为 m，所以.
3.解：因为为 m，篱笆长为24 m，所以为 m.
所以.
4.解：（1）根据题意，得m，所以.
（2）当时，，整理，得，解得，.
当m时， m；
当 m时， m.
因为，所以 m
所以当矩形的面积为50 ，且时，的长为5 m.
高效训练·速提能
1.C 解析：是一次函数，故选项A不符合题意；，当时，不是二次函数，故选项B不符合题意；是二次函数，故选项C符合题意；不是整式，故选项D不符合题意.
2.B 解析：二次项系数为3，常数项为，两个数的和为.
3.B 解析：根据二次函数的概念，得，解得.
4.D 解析：因为是正方形的周长，所以正方形的边长等于，故其面积.
5.0 解析：根据二次函数的概念，得解得.所以二次项系数为.
6. 解析：每一名同学需要送贺卡张，则名同学共送贺卡张，所以.
7.解：（1）根据一次函数的概念，得，且，解得，所以当时，这个函数是一次函数.
（2）根据二次函数的概念，得，解得，且.
所以当，且时，这个函数是二次函数.
8.解：（1）.
（2）当时，，即菱形风筝的面积是450.
9.A 解析：由题意，得（，为偶数）.
10. 解析：由题意，得重合的部分为等腰直角三角形，所以与之间的函数解析式是，且自变量的取值范围是.
11.解：（1）.
（2），是的二次函数.
（3）把代入函数解析式，得，解得，.
又因为，所以或.
12.解：（1）在第个图形中，每一行有块瓷砖，每一列有块瓷砖，所以瓷砖总块数，整理，得.
（2）由，得，整理，得，解得或（舍去），所以的值为20.
22.1.2 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数的图象和性质
应用能力·巧提升
1.A 解析：由的顶点坐标是，知的顶点坐标是.选A.
2.解：（1）抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，当时，函数有最大值，.
（2）抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，当时，函数有最小值，.
（3）抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，当时，函数有最大值，.
3. 解析：将抛物线先左平移2个单位长度后得抛物线，再向下平移2个单位长度后得抛物线.
【例3】一题多变
解析：由题意，得该抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上.因为，所以点，，都在对称轴的左侧，所以由二次函数的性质可得，.
4.B 解析：点，，在的图象上，把代入中，得；
把代入中，得；
把代入中，得.
所以.
5.D 解析：因为，所以抛物线开口向上.
因为抛物线的对称轴为直线.
所以当时，随的增大而增大.
因为，，，所以.
又因为，所以点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，所以，所以.故选D.
6.D 解析：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，又因为当时，随的增大而增大，所以直线应在对称轴的右侧或与对称轴重合，故.
7. 解析：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，又因为当时，随的增大而减小，所以直线应在对称轴的右侧或对称轴重合，故.
8.解：因为该抛物线的顶点为坐标原点，所以可设该抛物线对应的函数解析式为.
把代入，得，所以抛物线与直线的交点坐标为.
所以，即.
所以该抛物线对应的函数解析式为.
9.解：设直线对应的函数解析式为，过点作轴的垂线，交轴于点，如答图22.1.2-1.
把，代入，得解得所以直线对应的函数解析式为.因为，所以.
因为的面积为，所以，所以.
把代入，解得，所以点坐标为.
因为点在抛物线上，所以，所以，所以该二次函数的解析式为.
10.C 解析：由已知水面离桥拱顶的高度是4 m，知点的纵坐标为，把代入，得，解得，即 m，所以这时水面宽度为20 m.故选C.
11.解：因为抛物线最高点的坐标是，所以设抛物线对应的函数解析式为，把代入，得，解得，所以此抛物线对应的函数解析式为.
高效训练·速提能
1.B 解析：三条抛物线的开口方向分别是向上、向下、向上，故选项A错误；三条抛物线的对称轴均为轴，故选项B正确；三条抛物线分别有最低点、最高点、最低点，故选项C错误；任意二次函数在对称轴两侧的增减性都是相反的，故选项D错误.
2.A 解析：可化成的形式，因此它的图象的对称轴为直线，故选项A正确.
3.D 解析：二次函数的图象的顶点坐标为，它的顶点坐标在轴上.故选D.
4. 解析：抛物线先向右平移2个单位长度，得；再将抛物线向上平移3个单位长度，得.
5. 解析：对于二次函数，其中二次项系数，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，随的增大而减小，即当时满足.
6.解：（1）因为函数是二次函数，所以，解得，.又因为当时，随的增大而增大，所以图象开口向上，从而二次项系数为正数，即，所以.
（2）当时，可化为，顶点坐标为，且对称轴为轴.
7.解：（1）抛物线的对称轴为直线.
（2）表格填写如下：
… 1 3 5 …
… 0 …
（3）抛物线如答图22.1.2-2所示.
8.A 解析：因为，所以顶点坐标为.因为，，所以顶点在第一象限.故选A.
9.D 解析：由题意，知此抛物线的对称轴是直线，故，得方程为，解得，.
10.C 解析：当时，函数的图象必过第一、三象限，函数的图象开口向上，当时，函数的图象必过第二、四象限，函数的图象开口向下，显然，选项B，D均不符合；当和时，两个函数值相等，即两个图象在和处相交，所以选项A不符合，故选C.
11.> 解析：由题意可知该二次函数图象的对称轴是直线，开口向下，则在对称轴右侧，随的增大而减小.
由两点坐标可知，点，均在对称轴右侧.
又因为，所以，即.
12.解：连接交于点，如答图22.1.2-3.
因为四边形为菱形，所以.
因为，所以，，所以.
在中，由勾股定理可得.
设，则，所以.
把代入，得，解得（舍去），，所以，，所以，，所以菱形的面积.
13.解：（1）把点的横、纵坐标代入，得，所以抛物线对应的函数解析式为，的对称轴为直线，顶点坐标为.
（2）因为点的横坐标为0，所以，所以当时，有最大值1.
此时，抛物线对应的函数解析式为，对称轴为轴，当时，随着的增大而减小，所以当时，.
22.1.4 二次函数的图象和性质
应用能力·巧提升
1.A 解析：二次函数的二次项系数，所以其图象开口向上；将二次函数的解析式转化为顶点式为，所以其图象的顶点坐标为.故选A.
2解：.
因为，，，所以对称轴为直线.
又因为，所以顶点坐标为.
因为，所以函数有最小值，.
3.D 解析：将抛物线向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线为.
当该抛物线与直线相交时，，解得，，则交点坐标为或.故选D.
4. 解析：设将抛物线向上平移后，得，把代入，得，解得，所以所得新抛物线对应的函数解析式为.
5.D 解析：当时，；当时，；当时，.因为，所以.故选D.
6.A 解析：把，，三点的坐标分别代入，得，，，所以.故选A.
7解：根据题图可知，该抛物线的顶点坐标为，且过原点，所以设其对应的函数解析式为.把代入，得，所以抛物线对应的函数解析式为，即.
8.解：（1）因为，，所以，，.因为，所以，即点的坐标为.
（2）设图象经过，，三点的二次函数的解析式为，由该函数图象过点，得.又由于图象过点，，故解得所以所求的函数解析式为.
9.C 解析：选项A，由抛物线可知，，由直线可知，，故A项错误；选项B，由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故B项错误；选项C，由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故C项正确；选项D，由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故D项错误.
10.解：设所求函数解析式为.
直线与轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为.
根据题意，得解得所以所求抛物线对应的函数解析式为.
11.解：（1）因为抛物线与直线交于，两点，其中点在轴上，所以.又因为，所以解得所以抛物线对应的函数解析式为.
（2）存在理由如下：
设，所以，所以.
因为，所以当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，所以.
①当时，解得，（舍去），所以，所以点.
②当时，解得，.
当时，，所以；
当时，，所以.
所以点的坐标为或或.
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1.B 解析：设所求函数的解析式为，将点代入，得，所以.
2.B 解析：因为和时的函数值都是，所以二次函数的图象的对称轴为直线.故选B.
3.C 解析：A选项，由抛物线可知，，，由线可知，，，故A项错误；B选项，由抛物线可知，，，由直线可知，，，故B项错误；C选项，由抛物线可知，，，由直线可知，，，且交轴于同一点，故C项正确；D选项，由抛物线可知，，，由直线可知，，，故D项错误.故选C.
4.D 解析：由于抛物线的对称轴为直线，，故在抛物线对称轴的右侧，随的增大而增大，因此直线在对称轴的右边或与之重合，所以，解得.
5. 解析：因为，抛物线开口向上，当时，.
6. 解析：把和代入，得解得所以抛物线对应的函数解析式为，所以顶点坐标为.
7.解：（1）直线
（2）填表如下.
… 0 1 2 3 …
… 2 3 2 …
抛物线如答图22.1.4-1.
（3）因为在对称轴右侧，随的增大而减小，且，所以.
8.D 解析：由题干表格可知，当和时，，所以该函数图象的对称轴为直线.故选D.
9.B 解析：由解析式可知该函数在时取得最小值1，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.根据时，函数的最小值为5可分如下两种情况：若，则当时的值最小，即，解得或（舍去）；若，则当时的值最小，即，解得或（舍去），所以的值为或5.故选B.
10.解：（1）由题意，得解得所以抛物线对应的函数解析式为.
（2）因为，所以抛物线的对称轴为直线.
如答图22.1.4-2，连接，交对称轴于点.
因为点与点关于直线对称，所以点为所求的点.
设直线对应的函数解析式为，将，代入，得解得所以.
因为点在对称轴上，所以点的横坐标是1.
当时，，所以点的坐标是.
11.解：（1）把，代入抛物线对应的函数解析式，得解得所以抛物线对应的函数解析式为.
（2）存在，理由如下：
设点的横坐标为，则点的纵坐标为.过点作轴的平行线交于点，连接，，如答图22.1.4-3所示.
由题意可求得直线的函数解析式为，所以点的坐标为，所以，所以的面积.
当时，，此时点的坐标为，面积的最大值为4.
教材参考答案
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
思考（第29页）
函数①②③的共同特点：它们都是用自变量的二次式表示的函数，都可以表示为（a，b，c是常数，）的形式
练习（第29页）
1.解：.
2解：，即.
思考（第31页）
（1）函数，的图象与函数的图象相比，共同点：对称轴都是y轴，顶点都是原点，开口都向上；不同点：函数的图象的开口比函数的图象的开口大，函数的图象的开口比函数的图象的开口小.
（2）当时，二次函数的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是图象的最低点，a越大图象的开口越小.
探究（第31页）
（1）画图象略抛物线，，的共同点：对称轴都是y轴，顶点都是原点，开口都向下；不同点：函数的图象的开口比函数的图象的开口大，函数的图象的开口比函数的图象的开口小.
（2）当时，二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是图象的最高点，a越小，图象的开口越小.
练习（第32页）
解：（1）抛物线的开口向上，对称轴是y轴顶点是（0，0）.
（2）抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点是（0，0）.
（3）抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是（0，0）.
（4）抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点是（0，0）.
思考（第33页）
（1）抛物线，的开口方向都向上，对称轴都是y轴，它们的顶点分别是（0，1），（0，-1）.
（2）抛物线，与抛物线的关系：它们的开口方向相同，开口大小相同，对称轴都是y轴，把抛物线向下平移1个单位长度，把抛物线向上平移1个单位长度，都能得到抛物线.
思考（第33页）
当时，把抛物线向下平移k个单位长度，得到抛物线；
当时，把抛物线向上平移-k个单位长度，得到抛物线.
练习（第33页）
解：图象如答图22.1-1所示，三条抛物线开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0），（0，2），（0，-2）.抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是（0，k）它是由抛物线沿y轴向上（k>0）或向下（k<0）平移个单位长度得到的.
思考（第35页）
当h>0时，把抛物线向左平移h个单位长度，得到抛物线；
当h<0时，把抛物线向右平移-h个单位长度，得到抛物线.
练习（第35页）
解：图象如答图22.1-2所示，三条抛物线开口都向上，对称轴依次是y轴、直线、直线x=2，顶点坐标依次是（0，0），（-2，0），（2，0）.
问题（第35页）
其他平移方法是：把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到抛物线.
练习（第37页）
解：（1）开口向上，对称轴是直线，顶点是.
（2）开口向下，对称轴是直线，顶点.
（3）开口向上，对称轴是直线，顶点是.
（4）开口向下，对称轴是直线，顶点是.
问题（第37页）
其他平移方法是把抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，就得到抛物.
探究（第38页）
因为，
所以把抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线.抛物线的对称轴是直线，顶点是（-1，3），在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降，即当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.
练习（第39页）
解：（1）开口向上，对称轴是直线，顶点是.
（2）开口向下，对称轴是直线，顶点是（-1，1）.
（3）开口向下，对称轴是直线，顶点是（2，0）.
（4）开口向上，对称轴是直线，顶点是（4，-5）.
练习（第40页）
1.解：设所求二次函数的解析式为.由题意，知函数图象经过（0，-1），（-2，0），三点，得关于a，b，c的三元一次方程组，解这个方程组，得，所以这个二次函数的解析式为.
2.解：设所求二次函数的解析式为
由题意，知函数图象经过（0，0），（-1，-1），（1，9）三点，得关于a，b，c的三元一次方程组，解这个方程组，得，
所以这个二次函数的解析式是.
习题22.1（第41页）
1.解：设该矩形的宽为x，面积为y，则它的长为2x，故.
2.解：由题意，知，其中.
3.解：图象如答图22.1-3所示.
4.解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点是原点；抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点是原点.
5解：（1）图象如答图22.1-4，抛物线与的对称轴都是y轴，顶点分别是（0，3），（0，-2）.
（2）图象如答图21-5，抛物线的对称轴是直线，顶点是（-2，0）；抛物线的对称轴是直线，顶点是（1，0）.
（3）图象如答图221-6，抛物线的对称轴为直线，顶点是（-2，-2）；抛物线的对称轴是直线，顶点是（1，2）.
6解：（1）开口向下，对称轴是直线，顶点是（2，9），图象如答图22.1-7所示.
（2）开口向上，对称轴是直线，顶点是，图象如答图22.1-8所示.
（3）开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（-2，-14），图象如答图221-9所示.
（4）开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（2，-3），图象如答图22.1-10所示.
7.（1）-1 -1（2）
解析：对于（2），因为.所以抛物线的对称轴为直线.
因为，所以抛物线的开口向下所以当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.
8.解：△PBQ的面积S随出发时间t先变大再变小，如答图22.1-11所示.
.因为，，所以.
9.解：当时，；当时，，
解得,（舍去）
所以经过12s汽车行驶了180m，行驶380m需要20s.
*10.解：（1）.
（2）.
（3）.
（4）
*11.解：抛物线为，它的开口向下，对称轴为直线，顶点为（3，10）
12.解：（1）由题意，得
所以滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式为.
（2）当s=3时，，解得,.（舍去）
所以当斜面的长是3m时，钢球从斜面顶端滚到底端需用2s.
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