22.2 二次函数与一元二次方程 学案（含答案）

22.2二次函数与一元二次方程
基础知识·细解读
知识点一 二次函数与一元二次方程之间的关系
1 二次函数与一元二次方程之间的转化
2 抛物线与x轴的位置关系与一元二次方程根的情况
判别式 二次函数 一元二次方程
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
a>0 二次函数的图象与x轴交于，（）两点，且，此时函数图象与x轴有两个交点 一元二次方程有两个不相等的实数根
a<0
a>0 二次函数的图象与x轴交于点，此时函数图象与x轴有且只有一个交点 一元二次方程有两个相等的实
a<0
a>0 二次函数的图象与x轴无交点 一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）
a<0
【例1】画出二次函数的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）图象与x轴的交点坐标是什么？
（2）当x取何值时y=0？这里x的取值与方程有何关系？
（3）你能从中得到什么启示？
解：二次函数的图象如图22.2-1.
（1）图象与x轴的交点坐标是，.
（2）当x=-1或x=4时，y=0，这里x的取值是方程的两个根.
（3）二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的两个根；一元二次方程的两个根就是二次函数的图象与x轴的交点的横坐标.
知识点二 利用二次函数图象求一元二次方程根的近似值的步骤
示例 解题模板
【例2利用二次函数的图象求一元二次方程的实数根（精确到0.1）.
解：在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图22.2-2所示. ← 步骤1：画出函数的图象
由图象可知，方程的根是抛物线与x轴的交点的横坐标，左边的交点横坐标在-2与-1之间，右边的交点横坐标在3与4之间. ← 步骤2：确定抛物线与x轴交点的个数，看交点的横坐标在哪两个数之间
（1）先求在-2和-1之间的根，利用计算器进行探索： x-1.1-1.2-1.3-1.4-1.5y1.591.160.710.24-0.25
（2）另一个根可以类似地求出： x3.13.23.33.43.5y1.291.160.710.24-0.25
← 步骤3：列表，根据题目实际情况在两个数之间合理取值，并用计算器算出每个x值所对应的函数值y，近似根在对应y值正负交换的地方
由（1），知是方程的一个实数根； 由（2），知是方程的另一个实数根. 故一元二次方程的实数根为，. ← 步骤4：根据精度要求写出方程根的近似值
特别提醒
（1）如果二次函数的图象与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0.因此，是一元二次方程的一个根.
（2）一元二次方程的根的情况和二次函数的图象与x轴的交点的情况密切相关，其中判别式起着重要的作用.
（3）当抛物线的顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个公共点时，一元二次方程有两个相等的实数根，不要将二者混淆，对“数”来说是两个，对“形”来说是一个.
特别提醒
解一元二次方程的实质就是求当二次函数的函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标.
特别提醒
在利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值的步骤4中确定方程根的近似值时，要注意当x由取到，对应的y值出现，（或，）且符合题目近似值要求时，或都可以看作方程根的近似值，如示例中，也可以作为方程根的近似值.
拓展
二次函数与一元二次不等式的关系抛物线在x轴上方的部分的点的纵坐标都是正数，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分的点的纵坐标都是负数，所对应的x的所有值就是不等式的解集.不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号.
应用能力·巧提升
题型一 二次函数图象与一元二次方程的解
【例1】画出适当的函数图象，求一元二次方程的解.
审题关键：一元二次方程的解，利用图象来解释，可看成二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，也可看成抛物线与直线的交点的横坐标.
破题思路：思路1：画出二次函数的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解.
思路2：将一元二次方程变形为，它的解可看作方程组，的解的一部分（仅为x的值），利用方程组的解为抛物线和直线的交点坐标，求出一元二次方程的解.
解：方法1：如图22.2-3，画出函数的图象，由图象可得，它与x轴的交点A，B的横坐标分别是1，3，所以的解是，.
方法2：如图22.2-4，在同一平面直角坐标系内画出函数和的图象，两图象的交点的横坐标分别为1，3，所以的解是，.
解后反思
初探二次函数图象与一元二次方程的解
二次函数的图象与一元二次方程的解之间有着千丝万缕的联系，一元二次方程的问题在二次函数的图象上均有体现，解决与一元二次方程的解有关的问题的常用思路是把方程问题转化为一条抛物线与x轴的交点问题或两个函数图象的交点问题.
题型二 二次函数的图象与x轴的交点个数问题
角度1 判断二次函数图象与x轴的交点情况
【例2】（山东滨州中考）抛物线与坐标轴的交点个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
审题关键：与坐标轴的交点个数包括与x轴交点个数和与y轴交点个数.先判断出二次函数与x轴交点的个数，再判断与y轴交点的个数，从而得出与坐标轴交点的个数.
解析：因为，所以抛物线与x轴有一个交点.又因为c=1，所以抛物线与y轴相交于点，故与坐标轴有2个交点.
答案：C
方法技巧
判断抛物线与坐标轴交点个数的方法
（1）抛物线与x轴交点个数的判断方法：
①时，抛物线与x轴有2个交点；
②时，抛物线与x轴有1个交点；
③时，抛物线与x轴没有交点.
（2）抛物线与y轴总有一个交点.
角度2 利用二次函数图象与x轴的交点情况求字母的值或取值范围
【例3】（湖南永州中考）抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A.m<2 B.m>2 C. D.m<-2
审题关键：解题的关键在于掌握抛物线与x轴交点的个数与的关系，从而确定m的取值范围.
解析：，解得m<2.故选A.
答案：A
一题多变
若抛物线与x轴仅有一个交点，则m的值是________.
解后反思
根据抛物线与x轴交点的个数，可以确定出的符号，以此列方程或不等式即可求得字母的值或取值范围.
题型三 直线与抛物线的综合问题
角度1 直线与抛物线的公共点问题
【例4】求当m取何值时，抛物线与直线y=x+m:（1）有公共点；
（2）没有公共点.
审题关键：直线与抛物线的公共点问题，可联立函数解析式得方程组，消去一个未知数后可得到一个一元二次方程，这样即将直线与抛物线的交点情况转化成一元二次方程根的情况.
破题思路：联立方程组，消去y，转化成关于x的一元二次方程，根据一元二次方程根的情况解答.
解：联立解析式，得
消去y，得.
（1）由题意，得，即，解得.
所以当时，抛物线与直线有公共点.
（2）由题意，得，即，解.所以当时，抛物线与直线没有公共点.
方法技巧
巧用方程解决直线与抛物线的公共点问题
求直线与抛物线的公共点的问题可转化成求一元二次方程根的问题.
若直线与抛物线有公共点，则；
若直线与抛物线无公共点，则.
角度2 利用图象解决一次函数与二次函数比较函数值大小的问题
【例5】已知二次函数的图象如图22.2-5所示，在同一直角坐标系中画出一次函数的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值，即.
审题关键：一次函数的值小于二次函数的值可理解为直线在抛物线的下方.
破题思路：首先求出直线上任意两点的坐标，然后画出过这两点的直线即可得到一次函数的图象，最后找出一次函数图象位于抛物线下方部分x的取值范围即可.
解：因为将x=0代入，得，将x=1代入，得y=2，
所以直线经过点，.
直线如图22.2-6所示.
由函数的图象可知，抛物线与直线有两个交点，解方程组得两交点坐标为，.
当或时，一次函数图象在二次函数图象的下方，此时一次函数的值小于二次函数的值，即满足.
方法技巧
巧用图象，解决一次函数与二次函数函数值比较大小问题
函数值比较大小问题实质上也可归结到函数的图象上，解决此类问题首先要明确函数图象的交点，然后利用图象的上下位置关系寻找不等式（组）的解集即可.
变式训练
1.利用函数的图象，求下列一元二次方程的解.
（1）；
（2）.
变式训练
2.二次函数y=m x^{2}+x-2 m（m是非0常数）的图象与x轴的交点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.1或2
3.下列关于二次函数的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A.没有交点
B.只有一个交点，且它位于y轴的右侧
C.有两个交点，且它们均位于y轴的左侧
D.有两个交点，且它们均位于y轴的右侧
4.若二次函数的图象与x轴有两个交点，求k的取值范围.
变式训练
5.直线与抛物线的交点情况为（ ）
A.只有一个 B.恰好有两个 C.可以有一个，也可以有两个 D.无交点
6.求当a取何值时，抛物线与直线y=2x-a：
（1）有公共点；（2）没有公共点.
7.已知抛物线的部分图象如图22.2-7所示，若y>0，则x的取值范围是________.
8.如图22.2-8，二次函数的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B.
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足的x的取值范围.
易误易混·精辨析
易错点 对含字母系数的函数问题考虑不全而致错
【例】当m为何值时，函数的图象与x轴只有一个公共点.
解：当m=0时，函数变形为y=2x-1，其图象与x轴只有一个公共点；当时，该函数是二次函数，所以，解得m=-1.
综上，m=0或m=-1.
防错警示
本题中的函数没有指明是一次函数还是二次函数，易出现只将它看作是二次函数的错误.解答此类题时，要考虑周全，注意分情况讨论.
真题解密·探源头
中考真题 教材原型
（江苏宿迁中考）若二次函数的图象过点，则方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 解析：因为二次函数的图象经过点，所以方程一定有一个解为x=-1.因为抛物线的对称轴为直线x=1，所以二次函数的图象与x轴的另一个交点为.所以方程的解为，. 答案：C 教材第47页习题22.2第4题 抛物线与x轴的公共点是，，求这条抛物线的对称轴. 解：由抛物线的对称性，知抛物线与x轴的交点，关于对称轴对称，所以由，得出对称轴是直线x=1.
命题人解密：教材习题与中考题均考查了二次函数与一元二次方程间的关系及抛物线的对称性，教材习题直接给出了抛物线与x轴的交点坐标，利用对称性求对称轴，而中考题则已知一个交点和对称轴，求另一个交点坐标，虽然命题形式不完全相同，但考查点相同.阅卷人解密：抛物线与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，对于这点的理解要透彻，防止在相互转化过程中出现错误.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.（辽宁阜新中考）二次函数的图象如图22.2-9所示，下列选项中正确的是（ ）
A.a>0
B.b>0
C.c<0
D.关于x的一元二次方程没有实数根
2.如图22.2-10，二次函数的图象与x轴相交于和两点，当函数值y>0时，自变量x的取值范围是（ ）
A.x<-2 B.-20 D.x>4
3.若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于y轴的直线，则关于x的方程的解为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A.0 B.0或2 C.2或-2 D.0，2或-2
5.（山东青岛中考）已知二次函数与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为________.
6.（山东淄博中考）如图22.2-11，抛物线与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点.
（1）求这条抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线AB对应的函数解析式.
【能力提升】
7.（贵州贵阳中考）若m，n（nA.m8.（广西南宁中考）已知二次函数和正比例函数的图象如图22.2-12所示，则方程的两根之和（ ）
A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定
9.（四川广安中考）已知二次函数的图象如图22.2-13所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则下列结论：
①；②abc>0；③a-b+c<0；④m>-2.其中正确的个数有（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
10.（甘肃天水中考）如图22.2-14，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc<0；②；③ac-b+1=0；④.其中正确结论的序号是________.
11.根据下列要求，解答相关问题.
（1）请补全以下求不等式的解集的过程.
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数；并在下面的平面直角坐标系中（见图22.2-15）画出二次函数的图象（只画出图象即可）.
②求得界点，标示所需：当y=0时，求得方程的解为________，并用锯齿线标示出函数图象中的部分.
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为________.
（2）利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式的解集（如图22.2-16）.
①构造函数，画出图象；
②求得界点，标示所需；
③借助图象，写出解集.
（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式的解集.
【拓展创新】
12.二次函数的图象如图22.2-17所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根；
（2）写出不等式的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
本书参考答案
22.2 二次函数与一元二次方程
应用能力·巧提升
1.解：（1）在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，如答图22.2-1，得到它们的交点为，，则方程的解为，.
（2）画出函数的图象，如22.2-2.
由图象可知，它与轴的交点，的横坐标分别是，4，所以的解是，.
2.C 解析：二次函数（是非0常数）的图象与轴的交点个数即为方程的解的个数，因为，所以图象与轴的交点个数为2.
3.D 解析：令，得.因为，所以，所以有两个不相等的实数根.
因为，，所以，所以抛物线的顶点在第四象限.又因为抛物线与轴交于点，且开口向上，所以抛物线与轴的两个交点均位于轴的右侧.
【例3】一题多变
2 解析：，解得.
4.解：由题意，得，且，解得，且.所以当，且时，二次函数图象与轴有两个交点.
5.B 解析：由题意，得，整理，得.因为，所以直线与抛物线有两个交点.
6.解：联立解析式，得消去，得.
（1）由题意，得，即，解得.
（2）由题意，得，即，解得.
7. 解析：点关于直线的对称点是.则当时，的取值范围是.
8解：（1）因为抛物线经过点，所以，所以，所以二次函数的解析式为，所以点的坐标为，对称轴为直线.因为点，关于对称轴对称，所以点的坐标为.
因为一次函数的图象经过点，，所以解得所以一次函数的解析式为.
（2）由题图可知，满足的的取值范围为或.
高效训练·速提能
1.B 解析：因为开口向下，所以，选项A错误；由对称轴在轴的右侧和，可知，选项B正确；抛物线与轴交于正半轴，，选项C错误；因为与轴有两个交点，所以关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，选项D错误.故选B.
2.B 解析：由题图可知，当函数值时，即对应图象在轴上方部分，自变量的取值范围是.故选B.
3.D 解析：由题意，得二次函数图象的对称轴为直线，所以由对称轴公式，得，即，代入一元二次方程，得，.故选D.
4.D 解析：由题意，得当时，，解得或；当时，原函数是一次函数，其图象与轴也有一个交点，所以当，2或时，其图象与轴只有一个交点.
5. 解析：因为二次函数与正比例函数的图象只有一个交点，所以一元二次方程，即有两个相等的实数根，即，解得.
6.解：（1）因为抛物线与轴仅有一个公共点，所以，且.解得.
所以抛物线对应的函数解析式为.
（2）因为，所以顶点的坐标为.
因为点是线段的中点，即点与点关于点对称，所以点的横坐标为1.
当时，，所以点的坐标为.
设直线对应的函数解析式为，把，的坐标代入，得解得所以直线对应的函数解析式为.
7.D解析：如答图22.2-3，抛物线与轴交于点，，抛物线与直线的交点为，，由图象可知，.故选D.
8.A 解析：设的两根为，，由题图可知，，，所以.
设方程的两根为，，则，因为，所以.又因为，所以.故选A.
9.B 解析：因为抛物线与轴有两个交点，所以，故①错误，因为抛物线开口向上，所以.因为抛物线的对称轴在轴右侧，所以.因为，所以.因为抛物线与轴的交点在轴负半轴，所以.所以，故②正确.根据题图可知，当时，，所以，故③错误.根据题图，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则直线与抛物线有两个不同的交点，从而可得，故④正确.故选择B.
10.①③④ 解析：观察题图，分别根据其开口方向向下，对称轴在轴的右侧及与轴交于正半轴，知，，，所以，故结论①正确；
因为抛物线与轴有两个交点，所以，而，则，故结论②错误；
在中，令，得，所以.因为，所以，所以点的坐标是，将它代入，得，又因为，所以在两边同时除以，得，故结论③正确；
设，，，则，是关于的方程的两个根.根据根与系数的关系，得，所以，故结论④正确.
综上，正确的结论是①③④.
11.解：（1）①如答图22.2-4所示.
②，（标示略）
③
（2）①构造二次函数，并画出图象（如答图22.2-5）.
②当时，求得方程的解为，（标示略）.
③借助图象，直接写出不等式的解集为.
（3）①当时，解集为或.
②当时，解集为（或亦可）.
③当时，解集为全体实数.
12.解：（1）由二次函数的图象可知，抛物线与轴交于，两点，即，是方程的两个根.
（2）求不等式的解集，就是求的解集，由题图可得解集为.
（3）因为，故在对称轴的右侧，随的增大而减小，即当时，随的增大而减小，即当时，随的增大而减小.
（4）关于的方程有两个不相等的实数根，即函数的图象与平行于轴的直线有两个不同的交点，观察图象可知，当时，满足条件.
教材参考答案
22.2 二次函数与一元二次方程
问题（第43页）
小球飞行1s时的高度为15m，是指它处于上升阶段的高度；小球飞行3s时的高度为15m，是指它处于回落阶段的高度.
问题（第44页）
20m是小球的最大高度，它只在一个时间达到最大高度.
习题22.2（第47页）
1.解：（1）用描点法作图，图象如答图22.2-1所示.
（2）由图象，知当或时，函数值为0.
2.解：（1）由答图22.2-2①，知的解是，.
（2）由答图22.2-2②，知的解是.
3.解：（1）函数图象如答图22.2-3所示.
（2）由（1）中的图象可知，铅球推出的距离是10m.
4.解：由抛物线的对称性，知抛物线与x轴的交点，关于对称轴对称，所以由，得出对称轴是直线.
5.解：函数的图象如答图22.2-4所示.
由图象可以看出：
（1）方程的解是，.
（2）当x<-1或x>3时，函数值大于0.
（3）当-16.解：如果a>0，（1）顶点在x轴下方；（2）顶点在x轴上；（3）顶点在x轴上方.
如果a<0，（1）顶点在x轴上方；（2）顶点在x轴上；（3）顶点在x轴下方.