22.3 实际问题与二次函数 学案（含答案）

22.3 实际问题与二次函数
基础知识·细解读
知识点二 次函数的实际应用
1 用二次函数解决实际问题的基本思路
运用二次函数解决实际问题，实际上是利用问题中的数量关系构造出，或等二次函数模型，再利用二次函数的图象和性质去解决问题.
2 利用二次函数解决实际问题的一般步骤
阅读并理解问题
↓
分析问题中的变量与常量以及它们之间的关系
↓
采用适当的平面直角坐标系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式
↓
借助二次函数的解析式求解
↓
检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍
↓
明确结果，确定答案
【例】一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间具有函数关系，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是________m.
解析：由题意，得t=4时，h=0，所以0=16a+19.6×4，
解得a=-4.9，所以，
所以足球距地面的最大高度是（m）.
答案：19.6
特别提醒
利用二次函数模型解决实际问题的常见类型
（1）求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最优方案、最小周长等）；
（2）抛（投）物体、拱桥等抛物线形问题.
特别提醒
理论结合实际，利用二次函数解决实际应用问题利用二次函数模型解决实际问题在生活中很常见.解决此类问题的关键是正确理解实际问题与模型的对应关系，找到实际问题中的情况对应的模型中自变量或函数值的取值情况.
应用能力·巧提升
题型一 利用二次函数解决最值问题
题型一 利用二次函数解决最值问题
角度1 几何图形中的最值问题
【例1】（浙江绍兴中考改编）例题：有一个窗户形状如图22.3-1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？最大值是多少？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大，约为1.05.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图22.3-2，材料总长仍为6m，利用图22.3-3解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积.
（2）与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明.
审题关键：根据题意列出函数的解析式，利用二次函数求最值.
破题思路：（1）根据矩形和正方形的周长及面积公式进行解答；
（2）设AB为x m，列出二次函数的解析式，利用配方法求最值解决问题.
解：（1）由已知，可得
（m），
所以窗户的透光面积（）.
（2）设，则m.
因为，所以.
设窗户的透光面积为S，由已知，得
.
因为在的范围内，
所以当时，S取得最大值，且，
所以与例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大.
新思路
在（2）中求S的最大值时，也可利用公式法求解.
方法技巧
几何图形中求最值，常用的建立函数关系的方法
几何图形中的最值问题，一般都是利用二次函数的最值求解，根据几何图形建立二次函数的解析式就是解题的关键.
一般在几何图形中建立函数关系有如下常用方法：
（1）面积法：利用几何图形面积公式建立函数关系.
（2）勾股法：利用勾股定理建立函数关系.
（3）和差法：利用所给图形面积的和或差表示所求图形的面积，从而建立函数关系.
角度2 利润最大问题
【例2】（贵州铜仁中考）王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝每个的进价为10元，当每个的售价为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用函数解析式表示蝙蝠型风筝销售量y（单位：个）与售价x（单位：元）之间的函数关系（）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得的利润最大，最大利润是多少？
审题关键：对于利润问题，明确单个利润，销售量和总利润之间的关系，据此建立函数解析式，利用二次函数的性质解决最值问题.
破题思路：（1）根据“当每个的售价为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数解析式；
（2）设王大伯获得的利润为W元.根据“总利润=单个利润×销售量”，即可得出W关于x的函数解析式，代入求出x的值，根据王大伯要“让利给顾客”可得出结论；
（3）利用配方法将W关于x的函数解析式变形为顶点式，根据二次函数的性质求解最值问题.
解：（1）根据题意可知，.
（2）设王大伯获得的利润为W元，则，令W=840，则，解得，.
因为王大伯要让利给顾客，所以x=16.
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元.
（3）.
因为a=-10<0，所以当x=20时，W取得最大值，最大值为1000元.
答：当售价定为20元时，王大伯获得的利润最大，最大利润是1000元.
解后反思
利用二次函数解决利润最大问题的一般策略
（1）明确利润、单价、销售量之间的关系，根据题意列出二次函数的解析式.
（2）讨论最大值时可借助顶点式，然后利用二次函数的性质确定最大值.
（3）在求商品利润最大的问题时，要注意实际问题中自变量的取值范围，有时根据顶点坐标求出的最大值并不一定是函数在实际问题中的最大值，实际问题的最大值应在自变量的取值范围内取得.
题型二 利用二次函数解决抛物线形的实际问题
【例3】（湖北随州中考）如图22.3-5，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
审题关键：抛（投）物体的实际问题，物体的运动路线为抛物线.如果要研究某些时刻物体运动的性质，需确定抛物线对应的函数解析式，然后根据自变量或函数的取值情况求解.
破题思路：（1）由题意得抛物线上有两个点，，代入函数解析式，求得抛物线对应的函数解析式，由此求出最值；
（2）把x=28代入x=10t，得t=2.8，把t=2.8代入（1）中求出的抛物线对应的函数解析式求得y的值，再与球门的高度2.44m相比较，即可判断能否将球直接射入球门.
解：（1）由题意，得函数的图象经过点，，所以解得所以抛物线对应的函数解析式为.
所以当时，.
答：足球飞行的时间是时，足球离地面最高，最大高度是.
（2）把x=28代入x=10t，得28=10t，所以t=2.8，所以当t=2.8时，
，所以他能将球直接射入球门.
方法技巧
解答抛物线形实际问题的策略
日常生活中抛（投）物体后，物体的运动轨迹问题一般都属于抛物线形的实际问题，解答此类问题的核心是知道物体运动轨迹是抛物线，并将实际情境中的条件转化为二次函数解析式的求解条件，然后运用二次函数的图象及性质来解答.
题型三 建立适当平面直角坐标系构建二次函数模型解决实际问题
【例4】如图22.3-7，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB为18m，一位同学在门内离门脚B点1m远的D处垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形大门上的C处.根据这些条件，请你求出该大门的高h.
审题关键：大门的形状为抛物线形，门最高点即为抛物线的顶点，由此应考虑建立平面直角坐标系后利用二次函数模型求解.
破题思路：建立合适的平面直角坐标系，根据建立的坐标系设出对应的函数解析式，找出点B，C的坐标，用待定系数法求得解析式，进而可得大门的高.
解：方法1：建立如图22.3-8所示的平面直角坐标系.
设抛物线对应的函数解析式为.
由题意，知B，C两点的坐标分别为，，把B，C两点的
坐标代入函数解析式，得
解得
所以抛物线对应的函数解析式为，所以该大门的高h为8.1m.
方法2：建立如图22.3-9所示的平面直角坐标系.设抛物线对应的函数
解析式为，由题意，得B，C两点的坐标分别为，，把B，C两点的坐标代入函数解析式，得解得
所以，该大门的高h为8.1m.
解后反思
适当建坐标系，构造二次函数模型解决实际问题
构造函数模型解决实际问题时，如果没有已知的平面直角坐标系，此时可以根据情况自主建系，建平面直角坐标系的原则是方便函数模型的建立.一般是通过建坐标系构造出二次函数的顶点式模型、交点式模型或模型.
题型四 利用二次函数解决方案设计问题
【例5】某小区有一块长为100m，宽为80m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图22.3-11所示，阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，其宽度不小于50m，不大于60m.预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元.
（1）设其中一块绿化区域的长为x m，写出工程总造价y（单位：元）与x（单位：m）的关系式（写出x的取值范围）；
（2）如果小区投资46.9万元，问：能否完成工程任务？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由.（参考数据：）
审题关键：结合图形，利用割补的方法即可确定y与x的函数解析式，确定方案时，根据条件的要求，逐一验证即可.
破题思路：（1）因为一块绿化区域的长为x m，所以一块绿化区域的宽为，所以绿化区域的总面积为，则活动区域的面积为.利用“单位面积造价×面积=造价”可得函数解析式.
（2）令y=469000，求出x的值，看是否符合实际问题的取值范围即可.
解：（1）由题意，知活动区域的出口宽度为，
所以一块绿化区域的宽为，
所以
.
又因为所以.
所以.
（2）能.理由：令，
解得（负值舍去）.
因为，所以由二次函数的性质，得当时，，
即投资46.9万元能完成工程任务，且符合要求的工程方案有：
方案一：一块矩形绿化区域的长为23m，宽为13m；
方案二：一块矩形绿化区域的长为24m，宽为14m；
方案三：一块矩形绿化区域的长为25m，宽为15m.
解后反思
本题是典型的设计工程方案的问题，解题过程中应理解：
（1）工程总造价包括绿化区域造价和活动区域造价两部分；
（2）首先根据投资额得出方程，然后解方程，最后根据求得的解和已知条件中所规定的取值范围确定不同的方案.
题型五 利用二次函数解决动态几何中的最值问题
【例6】（贵州安顺中考）如图22.3-12，抛物线经过，，三点.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.
审题关键：（1）求抛物线对应的函数解析式可利用待定系数法；
（2）PA+PC的最小值问题可转化为“直线上一动点到两定点的距离和最短”问题，利用轴对称求解；
（3）能否构成平行四边形的问题，可先假设存在，利用平行四边形性质求解.
破题思路：（1）设抛物线对应的函数解析式为，再把，，三点代入，求出a，b，c的值即可；
（2）因为点A与点B关于对称轴对称，且点B的坐标为，所以连接BC交对称轴于点P，求出点P的坐标即可；
（3）分点N在x轴下方和上方两种情况进行讨论.
解：（1）设抛物线对应的函数解析式为.
因为，，三点在抛物线上，
所以解得
所以抛物线对应的函数解析式为.
（2）由题意，知点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，如图22.3-13，连接BC交抛物线的对称轴于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小.设直线BC对应的函数解析式为，
所以解得
所以直线BC对应的函数解析式为.
因为抛物线的对称轴是直线x=2，
所以当x=2时，，所以点P的坐标是.
（3）存在.理由如下：
①当点N在x轴的下方时，如图22.3-14所示.因为抛物线的对称轴为直线x=2，，所以，即存在四边形为平行四边形；
②当点N在x轴的上方时，如图22.3-14所示，过点作x轴于点D，在与中，
所以（AAS），
所以，即点的纵坐标为.
所以，解得或，
所以，，即存在四边形，
四边形ACM3N3都为平行四边形.
综上所述，符合条件的点N的坐标为，或.
方法技巧
“化动为静”，解决二次函数中的动态型问题
动态型问题包括动点、动线、动形问题，解决动态问题的关键就是从特殊情形入手，变中求不变，把动态的问题转化为静态的问题来解决.
变式训练
1.（四川内江中考）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30m的篱笆围成.已知墙长为18m（如图22.3-4所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m.
（1）若苗圃园的面积为72，求x.
（2）若平行于墙的一边长不小于8m，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由.
（3）当这个苗圃园的面积不小于100时，直接写出x的取值范围.
2.（湖北咸宁中考）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件.为了促销，该网店决定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价为40元.设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？
变式训练
3.某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，若一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为，则水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（ ）
A.6 s B.4 s C.3 s D.2 s
4.小强在某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线的一部分，如图22.3-6（示意图），若命中篮圈中心，试求他与篮底的距离l.
变式训练
5.某星期天，小明和他的爸爸开着一辆满载西瓜的大卡车首次到某古城销售，来到城门下才发现古城门为抛物线形状（如图22.3-10所示）.小明的爸爸把车停在城门外，仔细观察城门的高和宽以及自己卡车的大小，但还是十分担心卡车是否能够顺利通过.经询问得知，城门底部的宽为6m，最高点距离地面5m.如果卡车的高是4m，顶部宽是2.8m，那么卡车能否顺利通过？（参考数据：）
变式训练
6.某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：若单独投资A种产品，则所获利润（单位：万元）与投资金额x（单位：万元）之间存在正比例函数关系：，并且当投资5万元时，可获利润2万元.
信息二：若单独投资B种产品，则所获利润（单位：万元）与投资金额x（单位：万元）之间存在二次函数关系：，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元.
（1）请分别求出上述的正比例函数的解析式与二次函数的解析式；
（2）如果企业同时对A，B两种产品投资，共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润.
变式训练
7.如图22.3-15，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H.
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值.
8.（安徽中考）如图22.3-16，二次函数的图象经过点与.
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2易误易混·精辨析
易错点 忽视实际问题中自变量的取值范围造成错误
【例】如图22.3-17，五边形ABCDE是一块土地的示意图，四边形AFDE是矩形，AE=130m，ED=100m，BC交AF，FD分别于B，C两点，且BF=FC=10m.现要在此土地上取一块矩形NPME作为安置区，且点P在BC上.设，矩形NPME的面积是y m，求y关于x的函数解析式，并求当x为何值时，安置区面积最大.
解：如图22.3-18，延长MP交AF于点H，则△BHP是等腰直角三角形.
因为，，所以.
由，得.
因为抛物线的对称轴是直线x=110，并且开口向下，在时，y随x的增大而减小，
所以当x=120时，安置区的面积最大.
防错警示
本题易忽略自变量的取值范围，而导致得到x=110的错误答案.因为由题意得x的取值范围是，所以x=110不在x的取值范围内.在利用二次函数的模型解决实际问题时，一定要注意实际问题中自变量的取值范围.
真题解密·探源头
中考真题 教材原型
（浙江衢州中考）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两面墙隔开（如图22.3-19），已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________. 解析：设这三间长方形种牛饲养室的总占地面积为y，每一间长方形种牛饲养室垂直于墙的一边的长为x m，那么三间长方形种牛饲养室平行于墙的一边的长为m，则根据题意，得，此时，当x=6时，y有最大值144，而当x=6时，48-4x=24<50，符合题意，故答案为144. 答案：144 教材第57页复习题22第7题 如图22.3-20，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m.这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设平行于墙的一边长为x m，则垂直于墙的一边长为m，所以菜园的面积. 因为，所以y有最大值，当时，面积y最大，最大面积为.故当长和宽分别为15m和m时，菜园的面积最大，最大面积为.
命题人解密：教材复习题与中考题均是考查图形面积的最值问题，两题的情景也基本相同，均有一边为固定墙体，不同之处在于中考题在中间设置了两面墙，增加了解题难度. 答阅卷人解密：解决此类问题的关键是理解题意，弄清数量关系，先寻求变量之间的等量关系，并依据题意准确地用含x的代数式表示出另一个未知量，再利用长方形的面积公式，结合二次函数的性质求解.在解此类实际问题时要特别注意自变量的实际意义，防止出现不符合实际意义的解而导致失分.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.有一拱桥的桥拱是抛物线形，以桥拱顶点为原点建立坐标系，其函数解析式是，则当桥下水面宽为12m时，水面到桥拱顶的距离为（ ）
A.3m B. m C. m D.9m
2.如图22.3-21，假设篱笆（虚线部分）的长度是16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（ ）
A.60 B.63 C.64 D.66
3.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若想使利润最大，则每件的售价应为________元.
4.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图22.3-22所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________.
5.如图22.3-23所示的一座拱桥，当水面AB宽为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线.以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线对应的函数解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线对应的函数解析式是________.
6.（湖北黄石中考）小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：
①该蔬菜的销售价格P（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足关系：P=9-x；
②该蔬菜的平均成本y（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足二次函数关系：.已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L（单位：元/千克）最大，并求出最大平均利润.（注：平均利润=销售价格-平均成本）
7.（浙江杭州中考）把一个足球垂直于水平地面向上
踢，时间为t（单位：s）时该足球距离地面的高度
h（单位：m）适用公式.
（1）当t=3时，求足球距离地面的高度；
（2）当足球距离地面的高度为10m时，求t的值；
（3）若存在实数和（），当或时，足球距离地面的高度都为m（单位：m），求m的取值范围.
8.某中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3m，此时距喷水管的水平距离为m，在图22.3-24所示的平面直角坐标系中，这个喷泉的函数解析式是（ ）
A. B.
C. D.
9.（江苏扬州中考）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a>0）.未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件.在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为________.
10.（山东青岛中考）如图22.3-25，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用表示.已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为m，到墙边OA的距离分别为m，m.
（1）求该抛物线（最左边）对应的函数解析式，并求图案最高点到地面的距离；
（2）若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案？
11.（山东潍坊中考）旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（单位：元）是5的倍数.发现每天的运营规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.
（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入-管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
【拓展创新】
12.（浙江丽水中考）如图22.3-26①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线的绳子.
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3m的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图22.3-26②），使左边抛物线的最低点距MN为1m，离地面1.8m，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3m，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为.设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当时，求m的取值范围.
本书参考答案
22.3 实际问题与二次函数
应用能力·巧提升
1解：（1）苗圃园与墙平行的一边长为m.依题意可列方程，即.解得，.
当时，，不合题意，所以.
（2）依题意，得解得.
面积.
所以当时，有最大值，；
当时，有最小值，.
（3）.
2.解：（1）.
（2）设每星期的销售利润为元.
依题意，得.
因为，所以当时，.
即每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6750元.
（3）由题意，令，解得，.
因为抛物线的开口向下，所以当时，每星期销售利润不低于6480元.
因为中，，随的增大而减小.
所以当时，.
即每星期至少要销售该款童装360件.
3.A 解析：水流喷出和回落到地面时高度为0，把代入，得，解得，.水流从喷出至回落到地面所需要的时间是6 s.
4.解：依题意将代入抛物线，得，解得，（舍去），所以 m，所以（m）.
5.解：建立如答图22.3-1所示的平面直角坐标系，则，，顶点的坐标为，可设二次函数解析式为，把点的坐标代入，得，，所以二次函数解析式为.设卡车顶部刚好与这条线同高，则点，的纵坐标都是4.当时，，，，从而，所以卡车不能通过城门.
6.解：（1）因为当时，，即，得，所以.
因为当时，，当时，，所以解得
所以.
（2）设投资种产品万元，则投资种产品万元，设获得利润万元.根据题意可得
.
故当投资种产品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，此时投资种产品（万元）.
综上，当投资种产品7万元，种产品3万元时，该企业可以获得最大利润5.8万元.
7.解：（1）由题意，知解得所以抛物线对应的函数解析式为.
（2）因为的周长，又因为是定值，所以当最小时，的周长最小.
因为点，关于直线对称，所以连接交于点（图略），则点即为所求的点.
因为，所以当的周长最小时，的周长.
因为，，，所以，.
所以周长的最小值是.
8.解：（1）将与代入，得解得
（2）如答图22.3-2，过点作轴的垂线，垂足为，连接，过点作于点，轴于点.
，
，
.
则，所以关于的函数解析式为.
因为，所以当时，四边形的面积取得最大值，最大值为16.
高效训练·速提能
12
1.D 解析：当时，.所以水面到桥拱顶的距离为9 m.
2.C 解析：设m，则m，设矩形面积为，根据题意，得，当时，，所以所围成矩形的最大面积是.故选C.
3.25 解析：设最大利润为元，则.
因为，所以当时，二次函数有最大值25.
4.75 解析：设垂直于墙的一边长为 m，则平行于墙的一边长为m，则总面积，故饲养室的最大面积为75.
5. 解析：由题意，知以点为坐标原点的抛物线的顶点是，所以可设抛物线对应的函数解析式是，将代入，得，解得，所以选取点为坐标原点时的抛物线对应的函数解析式是.
6.解：（1）将，和，代入，得解得所以.
（2）由题意，知，整理，得（，且为整数），所以当时，取得最大值，最大值为3.
答：4月份的平均利润最大，最大平均利润是3元/千克.
7.解：（1）当时，（m）
所以当时，足球距离地面的高度为15 m.
（2）当时，，，解得，所以当足球距离地面的高度为10 m时，的值为.
（3）因为，所以抛物线的顶点坐标为.因为存在实数和，当或时，足球距离地面的高度都为m，所以的取值范围是.
8.C 解析：根据题意，知抛物线的顶点坐标为.设抛物线对应的函数解析式为，因为抛物线经过点，所以代入可求得，所以抛物线对应的函数解析式为.
9. 解析：根据题意，设每天缴纳电商平台推广费用后的利润为元，则每件获得的利润为元，而件数为，因此，对称轴为直线.因为随的增大而增大，所以，所以，故答案为.
10.解：（1）将，分别代，得，解得所以该抛物线对应的函数解析式为.
因为，所以该抛物线的顶点坐标为，即图案最高到地面的距离为1 m.
（2）当时，即时，解得，.
所以，（如答图22.3-3所示）.
因为墙长10 m，所以最多可以连续绘制抛物线形图案的数量为（个）.
11.解：（1）由题意，知若观光车能全部租出，则，由，解得.
又因为是5的倍数，所以每辆车的日租金至少应为25元.
（2）设每天的净收入为元，当时，，因为随的增大而增大，所以当时，的最大值为；
当时，.
当时，的最大值是5025.
因为.
所以当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多.
12.解：（1）因为，所以抛物线的顶点为最低点.
因为，所以绳子最低点离地面的距离为 m.
（2）由（1）可知， m，令，得，所以，.
由题意，得抛物线对应的函数解析式为.
将代入，得，解得，所以抛物线对应的函数解析式为.
当时，，所以的长度为2.1 m.
（3）因为 m，所以根据抛物线的对称性可知抛物线的顶点在的垂直平分线上，所以抛物线的顶点坐标为，所以抛物线对应的函数解析式为.
把代入，得，所以.
所以，所以是关于的二次函数.
又因为，所以随的增大而增大.
当，即时，解得，（不符合题意，舍去）.
当，即时，解得，（不符合题意，舍去）.
所以的取值范围是.
教材参考答案
22.3 实际问题与二次函数
探究2（第50页）
（1）5 5 65 6250元
（2）设每件降价t元时，每星期售出商品的利润为w元，由题意，得
即，其中0≤t≤20
因为，
所以当时，y最大，即在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
综合以上两种情况可知，当涨价5元时能使利润最大.
问题（第50页）
由题意，得，解得0≤x≤30.
探究3（第51页）
习题22.3（第51页）
1.解：（1）因为，所以抛物线有最高点.
因为，，
所以最高点的坐标是.
（2）因为，所以抛物线有最低点.
因为，，
所以最低点的坐标是.
2.解：设获得的利润为y元，由题意，得
（30≤x≤100）
所以当时，y有最大值，即当售价定为65元时才能使利润最大
3.解：整理函数解析式，
得.
所以当时，飞机停下来，即飞机着陆后滑行600m才能停下来
4解：设一条直角边为x，则另一条直角边为（8-x）设面
积为S，则.
故当，即两直角边都是4时，这个三角形的面积最大，最大值是8.
5.解：设AC的长为x，则BD的长为（10-x），设四边形ABCD的面积为S，
则.
故当时，S有最大值，即当AC，BD的长都是5时，四边形ABCD的面积最大
6.解：设，因为，所以，.
因为，所以，，所以.
设矩形CDEF的面积为y，由题意，得.
所以当，即时，矩形CDEF的面积最大.
所以点E应选在AB的中点处.
7.解：设，，正方形EFGH的面积为S，则，，
则，所以当时，S有最小值，
即当点E为AB的中点时，正方形EFGH的面积最小.
8.解：设房价增加10x元时，利润为y元，则有
.
因为，所以y有最大值
所以当，即房价定为（元）时，宾馆利润最大.
9.解：围成圆的面积比围成矩形的面积大理由如下：
若围成矩形，设一边长为x，则另一边长为，面积.
.
若围成圆，设半径为R，由，得，
面积.
因为
所以.
所以围成圆的面积大.
活动1
（1）95×95最大.（2）950×950最大
对于（1），设两个数分别为90+n，100-n（n为1，2，3，4，5，6，7，8，9），设两个数的积为y，则.
由二次函数的性质，知当，即两个数均为95时，积最大.
对于（2），同理可证明950×950的值最大.
活动2
（1）图略，曲线L为抛物线.
（2）.由题意，，.
因为，所以，即.
所以曲线L为抛物线.
复习题22（第56页）
1.解：由已知条件，知，，则
2.解：由题意，得第1年销售5000台，第2年销售5000（1+x）台，第3年销售台，得函数解析式为.
3.D 解析：将给出的点的横坐标代入函数解析式，求出y的值，与这个点的纵坐标比较，即可确定这个点是否在这条抛物线上.
4解：（1）开口方向向上，对称轴是直线，顶点是（-1，-4）.
（2）开口方向向下，对称轴是直线，顶点是（3，10）.
（3）开口方向向上，对称轴是直线，顶点是（-2，-1）.
（4）开口方向向下，对称轴是直线，顶点是（2，-3）.
它们的图象如答图22-1所示.
5.解：因为，所以当时，，即汽车刹车后到停下来前进了m.
*6.解：（1）因为抛物线过点（-3，2）（-1，-1），（1，3），
所以，解得，所以二次函数的解析式为.
（2）设二次函数的解析式为.
因为抛物线与y轴交点的纵坐标为-5，
所以，
所以，
所以.
所以二次函数的解析式为.
7.解：设平行于墙的一边长为x m，则垂直于墙的一边长为，所以菜园的面积（0因为，所以y有最大值.
当时，面积y最大，最大面积为.
故当长和宽分别为15m和时，菜园的面积最大，最大面积为.
8.解：设矩形的一边长为xcm，则另一边长为（18-x）cm，设圆柱的侧面积为，则，因为-2π<0，所以当时，y有最大值.
故另一边长为，即矩形的长、宽都为9cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大.
9.（1）证明：如答图22-2.
答图22-2
因为四边形ABCD是菱形，
所以.因为，所以.
因为，所以△AEH≌△CFG（SAS），
所以.同理，
所以四边形EFGH是平行四边形.
因为AB∥CD，所以.
因为，，
所以，
所以，
因为，，所以.
所以.
所以平行四边形EFGH是矩形.
（2）解：如答图22-2，连接BD，交EF于点M.
因为，，所以.
因为AD∥BC，所以，所以.
因为，所以，
所以，所以.
设，则，，所以.
在Rt△BEM中，.
因为，所以.
所以.
所以当时，，即当时，矩形EFGH的面积最大.
10.解：设，
则
因为n>0，所以y有最小值，
即当时，
最小.x所取的这个值是这n个测量结果的平均数.