23.2 中心对称 学案（含答案）
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文档简介
23.2 中心对称
基础知识·细解读
知识点一 中心对称及其相关概念
1 中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.如图23.2-1，△ABO绕着点O逆时针旋转180°后与△CDO完全重合，则称△CDO和△ABO关于点O对称，点C是点A关于点O的对称点.
2 中心对称与轴对称的比较
中心对称 轴对称
对称中心只有一个点 对称轴至少有一条直线
图形绕中心旋转180° 图形沿对称轴折叠
旋转180°后和另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合
【例1】如图23.2-2，□ABCD的对角线交于点O，点E，F在直线BD上，且BE=DF.问：△AOE和△COF是否成中心对称？若成中心对称，对称中心是什么？并说明理由.
解：△AOE和△COF成中心对称，对称中心是点O.理由如下：
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA=OC，OB=OD.
又因为BE=DF，所以OE=OF，
所以△AOE绕点O旋转180°后与△COF正好重合，
所以△AOE和ACOF关于点O对称.
总结
判断是否成中心对称的两个方法
（1）把其中一个图形绕着某一个点旋转180°，看是否能与另一个图形重合.
（2）看连接两个图形的对应点的线段是否经过同一个点，并且被该点平分.
知识点二 中心对称的性质
1 性质
（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.
（2）中心对称的两个图形是全等图形.
2 确定对称中心的方法
（1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心.
（2）任意连接两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心.
【例2】如图23.2-3，△ABC与△DEF关于点O对称，请你写出两个三角形中的对称点、相等的线段、相等的角.
解：对称点为点A和点D，点B和点E，点C和点F；
相等的线段有AC=DF，AB=DE，BC=EF；
相等的角有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
总结
中心对称的“三个对应”
（1）对应边相等.
（2）对应边平行或在同一条直线上.
（3）对应角相等.
知识点三 作已知图形关于某一点对称的图形
示例 解题模板
【例3】如图23.2-4所示，已知四边形ABCD和点O，画出四边形，使四边形和四边形ABCD关于点O对称.
解：（1）点A，B，C，D为关键点. ← （1）确定关键点：确定已知图形的关键点（线段的两个端点、多边形的各顶点等）.
↓ ↓
（2）如图23.2-5所示，连接AO并延长AO到点，使，得到点A的对称点A'.同样画出点B的对称点，点C的对称点，点D的对称点. ← （2）确定对称点：画出这些关键点关于对称中心的对称点.
↓ ↓
（3）顺次连接，，，，即四边形就是所求作的四边形. ← （3）连线成图：顺次连接所作的对称点.
知识点四 中心对称图形
1 中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形.
2 中心对称图形的性质
（1）中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心所平分，即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点.
（2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形.
3 中心对称与中心对称图形的区别与联系
项目 中心对称 中心对称图形
区别 （1）是针对两个图形而言的； （2）是指两个图形的（位置）关系； （3）对称点在两个图形上； （4）对称中心在两个图形之间 （1）是针对一个图形而言的； （2）是指具有某种性质的一个图形； （3）对称点在一个图形上； （4）对称中心在图形本身内部
联系 （1）都是根据把图形旋转180°后能重合来定义的； （2）两者可以相互转化，如果把成中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”成中心对称
4 中心对称图形与轴对称图形的区别
项目 中心对称图形 轴对称图形
概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形
对称中心——点 对称轴——直线
图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴折叠
区别 旋转后与原图形重合 折叠后直线两旁的部分重合
【例4】（天津中考）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
解析：根据中心对称图形的定义，只有选项B中的图形绕着一点旋转180°后与原图形重合.故选B.
答案：B
总结
判断是否为中心对称图形的两个方法
（1）若一个图形上存在这样的一个点，使整个图形绕着这个点旋转180°后能够与原来的图形重合，则这个图形就是中心对称图形.
（2）若图形中的对应点的连线都经过同一个点，并且被这个点平分，则这个图形就是中心对称图形.
知识点五 关于原点对称的点的坐标
1 如果点P的坐标为，则点P关于原点对称的点的坐标为，即对称点的横、纵坐标均为原来点的横、纵坐标的相反数.例如点关于原点对称的点的坐标是.
2 如果点P的坐标为，点的坐标为，则这两个点关于原点对称.例如点与点关于原点对称.
【例5】（湖南湘西中考）在平面直角坐标系中，点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
解析：把点的横坐标和纵坐标分别换成它的相反数，即可
得到点B的坐标.故选B.
答案：B
总结
关于原点对称的点的坐标特征
如果两个点关于原点对称，那么它们的横、纵坐标分别互为相反数；反过来，如果两个点的横、纵坐标分别互为相反数，那么这两个点关于原点对称.
巧记口诀
中心对称好判断，
两个图形是关键；
旋转角度180°后，
两个图形重合现.
拓展
（1）中心对称是两个图形之间的关系，它可以看成是特殊的旋转，在解决中心对称问题时，可用旋转的一些方法.
（2）成中心对称的两个图形能够重合，即它们全等.
（3）关于某一点对称的两个图形，其中一个图形上的所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上.
特别提醒
（1）成中心对称的两个图形一定是全等的，但是全等的两个图形不一定成中心对称.
（2）如果两个图形上的对应点连成的线段都经过某一个点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这点对称.
（3）常常可以利用中心对称的性质来证明有关的线段相等、平行及三角形全等的问题.
特别提醒
作已知图形关于某一点对称的图形的依据和关键
（1）依据：中心对称的性质.
（2）关键：先确定对称中心，再作出原图形上的关键点关于对称中心的对称点.
拓展
常见轴对称图形和中心对称图形的比较
图形 轴对称图形 中心对称图形
图形 对称轴条数 图形 对称中心
角 1条
等腰三角形 1条
等边三角形 3条
平行四边形 对角线 的交点
矩形 2条 对角线 的交点
菱形 2条 对角线 的交点
正方形 4条 对角线 的交点
圆 无数条 圆心
特别提醒
第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限，坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上.
拓展
关于坐标轴对称和关于原点对称的区别
项目 关于坐标轴对称 关于原点对称
关于x轴对称 关于y轴对称
区 别 横坐标相同，纵坐标互为相反数 横坐标互为相反数，纵坐标相同 横坐标、纵坐标分别互为相反数
符号表示 关于x轴的对称点为 关于y轴的对称点为 关于原点的对称点为
应用能力·巧提升
题型一 中心对称图形与轴对称图形的识别
【例1】（湖北黄石中考）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
审题关键：本题考查对轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是理解有关概念，掌握识别轴对称图形和中心对称图形的方法.
解析：A选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；C选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；D选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.故选D.
答案：D
方法技巧
判断图形是否为轴对称图形或中心对称图形的方法
（1）判断一个图形是否为轴对称图形的关键是寻找对称轴，除了直接观察判断外，还可采用折叠法判断，看该图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能否重合.
（2）判断一个图形是否为中心对称图形的关键是寻找对称中心，除了直接观察判断外，还可采用旋转法，看能否找到一点，使该图形绕这一点旋转180°后能与自身重合.
题型二 确定成中心对称的两个图形的对称中心
【例2】如图23.2-6，△ABC与△DEF是关于某点对称的两个图形，确定它们的对称中心.
审题关键：本题考查了对称中心的确定，根据对称中心的定义确定即可.
破题思路：连接一对对称点，取其中点或连接两对对称点，其交点即为对称中心.
解：方法1：（1）连接AD.
（2）取AD的中点O，则点O就是这两个三角形的对称中心，如图23.2-7（作法不唯一，也可以连接BE或CF）.
方法2：分别连接CF，BE，两条线段交于点O，则点O就是这两个三角形的对称中心，如图23.2-7（作法不唯一，也可以连接CF，AD或AD，BE）.
方法技巧
确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法
连接任意一对对称点，取这条线段的中点，这个中点就是对称中心；也可以连接任意两对对称点，两条线段的交点即是对称中心.
题型三 应用中心对称的性质进行有关计算或证明
【例3】如图23.2-9，在四边形ABCD中，E是CD边的中点，将△ADE绕点E旋转180°后得到△FCE，如果CF恰好与BC在一条直线上，试证明：AD∥BC.
审题关键：本题考查了应用中心对称的性质进行有关证明，关键是明确如何利用中心对称的性质.
破题思路：
由△ADE绕点E旋转180°后得到△FCE → △ADE与△FCE关于点E对称 → ∠D=∠FCE → AD∥CE → AD∥BC
证明：因为将△ADE绕点E旋转180°后得到△FCE，
所以△ADE与△FCE关于点E对称.
又由中心对称的性质，知∠D=∠FCE.
根据内错角相等，两直线平行，得AD∥CF.
又因为CF恰好与BC在一条直线上，
所以AD∥BC.
解后反思
利用中心对称的性质证明的关键
利用中心对称的性质证明显然比用全等三角形证明简单.利用中心对称的性质证明时，必须先找准对称中心和对称点，再利用平行线的性质和判定等相关知识进行证明.
题型四 画中心对称图形和轴对称图形
【例4】（浙江宁波中考）下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形.
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形.
（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.（请将三个小题依次作答在图23.2-11①②③中，均只需画出符合条件的一种情形）
审题关键：本题考查了轴对称图形、中心对称图形的画法，解题的关键是能够正确理解轴对称图形与中心对称图形的概念.
破题思路：根据轴对称图形与中心对称图形的概念涂阴影，答案不唯一.
解：（1）如图23.2-12所示，画出其中一种即可.
（2）如图23.2-13所示，画出其中一种即可.
准确理解两种对称图形的特征是解决此类作图问题的关键.
解后反思
解答中心对称图形和轴对称图形的作图问题的关键
（1）轴对称图形在沿某直线折叠后直线两旁的部分能够互相重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合.
（2）中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与自身重合，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转180°，二是与自身重合.
题型五 关于原点中心对称的作图
【例5】（山东聊城中考改编）如图23.2-17，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，，.
（1）若△ABC经过平移后得到，已知点的坐标为，写出顶点，的坐标；
（2）若△ABC和关于原点O成中心对称，写出各顶点的坐标，并画出；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到，写出的各顶点的坐标
审题关键：本题考查了坐标与图形变化：平移与旋转.解题的关键是掌握平移与旋转的作图方法与步骤.
破题思路：（1）首先利用点C和点的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点，的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
（3）首先利用网格和旋转的性质画出，然后写出的各顶点的坐标.
解：（1）因为点平移后的对应点的坐标为，所以将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到.
所以点的坐标为，点的坐标为.
（2）因为△ABC和关于原点O成中心对称，所以点，，，如图23.2-18所示.
（3）如图23.2-18所示，为所作三角形，各顶点坐标分别为，，.
解后反思
图形经过平移或旋转之后，要结合平移的方向与距离或旋转的角度以及图形的特殊性质来求出平移或旋转后的点的坐标.常见的旋转的特殊角度有30°，45°，60°，90°，180°等.
题型六 根据中心对称的性质平分图形面积
【例6】如图23.2-20所示，图①中过圆心的一条直线将圆分成Ⅰ，Ⅱ两部分，图②中过平行四边形中心（对角线交点）任作两条直线形成阴影部分Ⅰ，Ⅱ.
（1）图23.2-20①②中的Ⅰ，Ⅱ两部分的面积均相等吗？
（2）工人师傅需把图23.2-20③所示的一块木板分成面积相等的两部分，你认为应该怎样分？请画出示意图，并作简要说明.
审题关键：本题考查了根据中心对称的性质平分图形的面积，关键是掌握中心对称的性质：过对称中心的任一直线将中心对称图形分成面积相等的两部分.
破题思路：（1）因为圆和平行四边形都是中心对称图形，所以图23.2-20①②中的Ⅰ，Ⅱ两部分的面积都相等，其中图23.2-20②可由中心对称的性质证明三角形全等得到结论.
（2）将原图形看成两个矩形，分别取两个矩形的对称中心，作直线即可.
解：（1）相等.
（2）如图23.2-21所示，有三种分法.图23.2-21①②是分别将原木板分成上、下与左、右两个矩形，过两个矩形的对称中心的直线把此图形分成面积相等的两部分.图23.2-21③是将原木板补为大矩形木板，过补上的小矩形与补后的大矩形的对称中心的直线把该图形分成面积相等的两部分.
根据中心对称的性质，找出割补后图形的对称中心很关键.
方法技巧
利用中心对称的性质平分中心对称图形面积的方法
（1）可以把原图形分成两个中心对称图形，再连接两个对称中心.
（2）可以增补一个小中心对称图形，与原图形组成一个大中心对称图形，连接两个对称中心.
变式训练
1.下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
2.下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
变式训练
3.如图23.2-8，线段AB与关于某一点中心对称.
（1）试确定线段AB与的对称中心O；
（2）连接，，试判断线段与的关系，并说明理由.
变式训练
4.如图232-10，四边形ABCD是以点O为对称中心的中心对称图形，过点O作OE⊥AC交BC于点E.如果△ABE的周长是7cm，求四边形ABCD的周长.
变式训练
5.如图23.2-15，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂上阴影，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是________.
6.如图23.2-16，在右边的图形中涂上颜色，使得左、右两个图形连同颜色合起来是一个关于点A对称的中心对称图形
变式训练
7.（宁夏银川中考）如图23.2-19，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，.
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的；
（2）画出关于y轴对称的.
变式训练
8.有一块矩形耕地，其内有一口井（如图23.2-22），现将这块地平分给甲、乙两个承包户种植蔬菜，要求两家共用这口井，以便浇水，请问：应如何分？在图中画出分界线.
9.有一个菱形鱼池，如图23.2-23所示，其内有一片矩形水域用来种植莲藕，现要把这个鱼池一半用于养殖红锦鲤，另一半用来养殖其他鱼种，为使分成的两个鱼池内均有一半的莲藕，应如何分这个鱼池？在图中画出分界线.
易误易混·精辨析
易错点一 不能正确理解中心对称的性质而致错
【例1】已知两个图形关于某点成中心对称，有下列说法：
①这两个图形一定全等；
②对称点的连线一定经过对称中心；
③对称点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；
④一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合.
其中正确的是（ ）
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④
解析：由中心对称的性质，知关于某点对称的两个图形是全等图形，关于某点对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，故①②正确；根据旋转的性质，知③正确；根据关于某点对称的两个图形不一定是关于一条直线对称的轴对称图形，知④错误.
答案：A
防错警示
熟练掌握中心对称的性质是解题的关键.此题容易出错的是④，沿某直线折叠后能互相重合的两个图形成轴对称，但不一定成中心对称，不要混淆了中心对称和轴对称的概念.
易错点二 对中心对称图形识别不清楚导致错误
【例2】如图23.2-24，下列四个图案中，是中心对称图形的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：判断一个图形是否为中心对称图形时，只要找到一点，使这个图形绕此点旋转180°后与自身重合即可，故只有①②是中心对称图形.故选B.
答案：B
防错警示
对中心对称图形的识别很容易误认为旋转后能与自身重合的图形就是中心对称图形，而忽视了必须旋转180°这个前提.本题易错选D.
真题解密·探源头
中考真题 教材原型
（广西贵港中考）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：根据平面内关于原点对称的点的横坐标与纵坐标分别互为相反数，得m=2，且m-n=-3，所以m=2，n=5，所以点在第一象限，故选A. 答案：A 教材第70页习题23.2第4题 已知点与点关于原点对称，求a，b的值. 解：因为关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数， 所以a=-5，b=-1.
命题人解密：教材习题很典型地考查了关于原点对称的点的坐标特征，中考题就是针对这一考点进行设置，不同的是教材习题只考查了关于原点对称的点的坐标特征，中考题还综合考查了各个象限内点的坐标特点，且中考题的背景更丰富. 阅卷人解密：解决此类问题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征.在解答此类题时往往因为把关于原点对称的点的坐标特征记错或象限坐标符号弄错而导致失分.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.下列图形中，除颜色外是中心对称图形的是（ ）
2.（四川泸州中考）已知点与点关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A.5 B.-5 C.3 D.-3
3.（江苏南通中考）下面的几何图形（如图23.2-25）：
其中是轴对称图形但不是中心对称图形的共有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
5.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）
6.图23.2-26是一个中心对称图形，点A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，，则的长为________.
7.如图23.2-27，网格中的每个小正方形的边长均为1.观察图①②中所画的“L”型图形，然后各补画一个小正方形，使图①中所成的图形是轴对称图形，图②中所成的图形是中心对称图形.
8.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图23.2-28，A，B，C三点在格点上.
（1）作出△ABC关于y轴对称的，并写出点的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O对称的，并写出点的坐标.
【能力提升】
9.已知如图23.2-29所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图23.2-30，则旋转的牌是（ ）
10.（浙江杭州中考）在平面直角坐标系中，已知点，，.若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为________.
11.在一次数学探究活动中，小强只用一条直线就把矩形ABCD分割成面积相等的两部分，如图23.2-31所示.
（1）在图23.2-32中的三个矩形中，请你大胆尝试，画出符合上述分割方法的直线.（注：所画直线经过的特殊点必须标注清楚，且一个矩形只画一种）
（2）根据你和小强的分割方法：只用一条直线就能把矩形分割成面积相等的两部分.你认为这样的直线有________条.
（3）由上述实验操作过程，你发现在矩形中所画的这一条直线满足的条件是________
________________________________________.
（4）你能仿照上述分割方法，将图23.2-33中不规则图形用一条直线分割成面积相等的两部分吗？
【拓展创新】
12.如图23.2-34，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为，，，.
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）如果四边形ABCD绕点C旋转180°，试确定旋转后四边形各个顶点的坐标；
（3）请你重新设计适当的坐标系，使得四边形ABCD四个顶点的纵坐标不变，横坐标乘-1后，所得的图形与原图形重合.
本书参考答案
23.2 中心对称
应用能力·巧提升
1.A 解析：选项A和选项D是轴对称图形；选项B和选项C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；选项D还是中心对称图形.故选A.
2.C 解析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察发现，选项A，B，D都是轴对称图形，只有选项C既是轴对称图形又是中心对称图形，故选C.
3.解：（1）方法1：如答图23.2-1，连接，，交于点，则点即为所求.
方法2：如答图23.2-1，连接（或），取其中点，则点即为所求.
（2），且.理由如下：
由（1）及中心对称的定义，知，，，所以，所以，，所以.
4解：因为四边形是以点为对称中心的中心对称图形，所以，.
所以四边形为平行四边形.
因为，，所以.
因为 cm，所以 cm，即 cm.
又因为四边形为平行四边形，所以四边形的周长是（cm）.
5.② 解析：根据题意，可作出四种图形如答图23.2-2，其中绕着某一点旋转180°与自身能够重合的只有第二个图形，所以将②涂上阴影能构成中心对称图形.
6解：如答图23.2-3所示.
7.解：（1）如答图23.2-4所示.
（2）如答图23.2-4所示.
8.解：如答图23.2-5，线段即为分界线.
9.解：如答图23.2-6，线段即为分界线.
高效训练·速提能
1.A 解析：选项A是中心对称图形，选项B，C，D仅是轴对称图形，不是中心对称图形.故选A.
2.C 解析：由点关于原点的对称点为点，得，，所以.故选C.
3.C 解析：这四个图形都是轴对称图形，但正方形和圆也是中心对称图形，因此本题只有等腰三形和正五边形符合要求，故选C.
4.D 解析：A项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B项不是轴对称图形，是中心对称图形；C项是轴对称图形，不是中心对称图形；D项既是轴对称图形，又是中心对称图形.故选D.
5.B 解析：根据题意可知，和关于点成中心对称，所以选项B符合.
6. 解析：在中，，，所以，所以.
因为点与点关于点对称，所以，所以.
7.解：如答图23.2-7所示.
8.解：（1）如答图23.2-8，点的坐标为.
（2）如答图23.2-8，点的坐标为.
9.A 解析：观察题干中两图，知它们完全相同，所以旋转的其中一个图形是中心对称图形，只有选项A是中心对称图形，旋转180°后与自身重合.故选A.
10. 解析：如答图23.2-9所示.因为，，，线段与互相平分，所以点坐标为，所以点关于坐标原点的对称点的坐标为.
11.解：（1）如答图23.2-10（答案不唯一）.
（2）无数（3）直线经过矩形的对称中心
（4）如答图23.2-11所示.
12.解：（1）由题图，知四边形的对角线互相垂直，并且长都是6，所以面积为.
（2）旋转后，，，的对应点分别为，，，.
（3）以原坐标系中的点为原点，原坐标系轴为横轴，四边形中垂直于轴的对角线为纵轴建立坐标系.
教材参考答案
23.2中心对称
练习（第66页）
1解：如答图23.2-1①②所示.
2解：图略（任意连接两组对应点，则它们的交点即为两个四边形的对称中心）
练习（第67页）
1.解：能例如，平行四边形、圆、正六边形等都是中心对称图形
2解：第2个图案是中心对称图形.举例略.
探究（第68页）
图略设点A，B，C，D，E关于原点O对称的点分别为点，，，，E'，则，，，，.这些点的横、纵坐标和已知点的横、纵坐标分别互为相反数.
练习（第69页）
1.解：点C（2，-1）与点F（-2，1）关于原点对称.
2解：因为关于原点对称的点的横、纵坐标分别互为相反数，所以，，，.
3.解：因为四边形ABCD是菱形，且对角线交于坐标原点O，
所以点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称.
因为，，所以，.
习题23.2（第69页）
1解：如答图23.2-2①②所示.
2.解：第1个是，对称中心是圆心；第2个是，对称中心是叶柄的交点；第3个不是；第4个是，对称中心是正方形对角线的交点；第5个是，对称中心是相对顶点连线的交点；第6个不是.
3.解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，A，B，C，D四点关于原点对称的点的坐标分别是，，，.如答图23.2-3所示，四边形即为所求作的图形.
4.解：，.
5.解：是中心对称图形.对称中心是线段的中点.
6.解：能，如答图23.2-4所示，以BC边的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°后得到，即可得以AC，AB为邻边的平行四边形.
7.解：能第一个图形以点C为旋转中心，顺时针旋转90°后得到△DEC；第二个图形先以AC为轴作出△ABC的轴对称图形，再将以点C为旋转中心，逆时针旋转90°后得到△DEC.
8.解：全等理由如下：
因为菱形是中心对称图形，所以过对称中心的直线将菱形分成的两个梯形关于对称中心对称所以这两个梯形是全等的.
9.解：不一定当上、下底的和等于其中一腰的长时，
才可以拼成一个菱形
10.解：因为，△ADE和△CBF均为等边三角形，
所以△ADE≌△CBF，所以.
连接AC，BD交于点O（图略）
因为四边形ABCD为平行四边形，所以，OB=OD.
连接BE，DF，因为AD∥BC，所以.
因为.
所以，
即，所以DE∥BF.
所以四边形EDFB为平行四边形.
连接EF，则EF经过点O，且，又，
综上可知△CBF是由△ADE绕点O逆（顺）时针旋转180°得到的，故△ADE和△CBF成中心对称.
基础知识·细解读
知识点一 中心对称及其相关概念
1 中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.如图23.2-1，△ABO绕着点O逆时针旋转180°后与△CDO完全重合，则称△CDO和△ABO关于点O对称，点C是点A关于点O的对称点.
2 中心对称与轴对称的比较
中心对称 轴对称
对称中心只有一个点 对称轴至少有一条直线
图形绕中心旋转180° 图形沿对称轴折叠
旋转180°后和另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合
【例1】如图23.2-2，□ABCD的对角线交于点O，点E，F在直线BD上，且BE=DF.问：△AOE和△COF是否成中心对称？若成中心对称，对称中心是什么？并说明理由.
解：△AOE和△COF成中心对称，对称中心是点O.理由如下：
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA=OC，OB=OD.
又因为BE=DF，所以OE=OF，
所以△AOE绕点O旋转180°后与△COF正好重合，
所以△AOE和ACOF关于点O对称.
总结
判断是否成中心对称的两个方法
（1）把其中一个图形绕着某一个点旋转180°，看是否能与另一个图形重合.
（2）看连接两个图形的对应点的线段是否经过同一个点，并且被该点平分.
知识点二 中心对称的性质
1 性质
（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.
（2）中心对称的两个图形是全等图形.
2 确定对称中心的方法
（1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心.
（2）任意连接两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心.
【例2】如图23.2-3，△ABC与△DEF关于点O对称，请你写出两个三角形中的对称点、相等的线段、相等的角.
解：对称点为点A和点D，点B和点E，点C和点F；
相等的线段有AC=DF，AB=DE，BC=EF；
相等的角有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
总结
中心对称的“三个对应”
（1）对应边相等.
（2）对应边平行或在同一条直线上.
（3）对应角相等.
知识点三 作已知图形关于某一点对称的图形
示例 解题模板
【例3】如图23.2-4所示，已知四边形ABCD和点O，画出四边形，使四边形和四边形ABCD关于点O对称.
解：（1）点A，B，C，D为关键点. ← （1）确定关键点：确定已知图形的关键点（线段的两个端点、多边形的各顶点等）.
↓ ↓
（2）如图23.2-5所示，连接AO并延长AO到点，使，得到点A的对称点A'.同样画出点B的对称点，点C的对称点，点D的对称点. ← （2）确定对称点：画出这些关键点关于对称中心的对称点.
↓ ↓
（3）顺次连接，，，，即四边形就是所求作的四边形. ← （3）连线成图：顺次连接所作的对称点.
知识点四 中心对称图形
1 中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形.
2 中心对称图形的性质
（1）中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心所平分，即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点.
（2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形.
3 中心对称与中心对称图形的区别与联系
项目 中心对称 中心对称图形
区别 （1）是针对两个图形而言的； （2）是指两个图形的（位置）关系； （3）对称点在两个图形上； （4）对称中心在两个图形之间 （1）是针对一个图形而言的； （2）是指具有某种性质的一个图形； （3）对称点在一个图形上； （4）对称中心在图形本身内部
联系 （1）都是根据把图形旋转180°后能重合来定义的； （2）两者可以相互转化，如果把成中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”成中心对称
4 中心对称图形与轴对称图形的区别
项目 中心对称图形 轴对称图形
概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形
对称中心——点 对称轴——直线
图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴折叠
区别 旋转后与原图形重合 折叠后直线两旁的部分重合
【例4】（天津中考）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
解析：根据中心对称图形的定义，只有选项B中的图形绕着一点旋转180°后与原图形重合.故选B.
答案：B
总结
判断是否为中心对称图形的两个方法
（1）若一个图形上存在这样的一个点，使整个图形绕着这个点旋转180°后能够与原来的图形重合，则这个图形就是中心对称图形.
（2）若图形中的对应点的连线都经过同一个点，并且被这个点平分，则这个图形就是中心对称图形.
知识点五 关于原点对称的点的坐标
1 如果点P的坐标为，则点P关于原点对称的点的坐标为，即对称点的横、纵坐标均为原来点的横、纵坐标的相反数.例如点关于原点对称的点的坐标是.
2 如果点P的坐标为，点的坐标为，则这两个点关于原点对称.例如点与点关于原点对称.
【例5】（湖南湘西中考）在平面直角坐标系中，点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
解析：把点的横坐标和纵坐标分别换成它的相反数，即可
得到点B的坐标.故选B.
答案：B
总结
关于原点对称的点的坐标特征
如果两个点关于原点对称，那么它们的横、纵坐标分别互为相反数；反过来，如果两个点的横、纵坐标分别互为相反数，那么这两个点关于原点对称.
巧记口诀
中心对称好判断，
两个图形是关键；
旋转角度180°后，
两个图形重合现.
拓展
（1）中心对称是两个图形之间的关系，它可以看成是特殊的旋转，在解决中心对称问题时，可用旋转的一些方法.
（2）成中心对称的两个图形能够重合，即它们全等.
（3）关于某一点对称的两个图形，其中一个图形上的所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上.
特别提醒
（1）成中心对称的两个图形一定是全等的，但是全等的两个图形不一定成中心对称.
（2）如果两个图形上的对应点连成的线段都经过某一个点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这点对称.
（3）常常可以利用中心对称的性质来证明有关的线段相等、平行及三角形全等的问题.
特别提醒
作已知图形关于某一点对称的图形的依据和关键
（1）依据：中心对称的性质.
（2）关键：先确定对称中心，再作出原图形上的关键点关于对称中心的对称点.
拓展
常见轴对称图形和中心对称图形的比较
图形 轴对称图形 中心对称图形
图形 对称轴条数 图形 对称中心
角 1条
等腰三角形 1条
等边三角形 3条
平行四边形 对角线 的交点
矩形 2条 对角线 的交点
菱形 2条 对角线 的交点
正方形 4条 对角线 的交点
圆 无数条 圆心
特别提醒
第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限，坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上.
拓展
关于坐标轴对称和关于原点对称的区别
项目 关于坐标轴对称 关于原点对称
关于x轴对称 关于y轴对称
区 别 横坐标相同，纵坐标互为相反数 横坐标互为相反数，纵坐标相同 横坐标、纵坐标分别互为相反数
符号表示 关于x轴的对称点为 关于y轴的对称点为 关于原点的对称点为
应用能力·巧提升
题型一 中心对称图形与轴对称图形的识别
【例1】（湖北黄石中考）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
审题关键：本题考查对轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是理解有关概念，掌握识别轴对称图形和中心对称图形的方法.
解析：A选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；C选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；D选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.故选D.
答案：D
方法技巧
判断图形是否为轴对称图形或中心对称图形的方法
（1）判断一个图形是否为轴对称图形的关键是寻找对称轴，除了直接观察判断外，还可采用折叠法判断，看该图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能否重合.
（2）判断一个图形是否为中心对称图形的关键是寻找对称中心，除了直接观察判断外，还可采用旋转法，看能否找到一点，使该图形绕这一点旋转180°后能与自身重合.
题型二 确定成中心对称的两个图形的对称中心
【例2】如图23.2-6，△ABC与△DEF是关于某点对称的两个图形，确定它们的对称中心.
审题关键：本题考查了对称中心的确定，根据对称中心的定义确定即可.
破题思路：连接一对对称点，取其中点或连接两对对称点，其交点即为对称中心.
解：方法1：（1）连接AD.
（2）取AD的中点O，则点O就是这两个三角形的对称中心，如图23.2-7（作法不唯一，也可以连接BE或CF）.
方法2：分别连接CF，BE，两条线段交于点O，则点O就是这两个三角形的对称中心，如图23.2-7（作法不唯一，也可以连接CF，AD或AD，BE）.
方法技巧
确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法
连接任意一对对称点，取这条线段的中点，这个中点就是对称中心；也可以连接任意两对对称点，两条线段的交点即是对称中心.
题型三 应用中心对称的性质进行有关计算或证明
【例3】如图23.2-9，在四边形ABCD中，E是CD边的中点，将△ADE绕点E旋转180°后得到△FCE，如果CF恰好与BC在一条直线上，试证明：AD∥BC.
审题关键：本题考查了应用中心对称的性质进行有关证明，关键是明确如何利用中心对称的性质.
破题思路：
由△ADE绕点E旋转180°后得到△FCE → △ADE与△FCE关于点E对称 → ∠D=∠FCE → AD∥CE → AD∥BC
证明：因为将△ADE绕点E旋转180°后得到△FCE，
所以△ADE与△FCE关于点E对称.
又由中心对称的性质，知∠D=∠FCE.
根据内错角相等，两直线平行，得AD∥CF.
又因为CF恰好与BC在一条直线上，
所以AD∥BC.
解后反思
利用中心对称的性质证明的关键
利用中心对称的性质证明显然比用全等三角形证明简单.利用中心对称的性质证明时，必须先找准对称中心和对称点，再利用平行线的性质和判定等相关知识进行证明.
题型四 画中心对称图形和轴对称图形
【例4】（浙江宁波中考）下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形.
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形.
（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.（请将三个小题依次作答在图23.2-11①②③中，均只需画出符合条件的一种情形）
审题关键：本题考查了轴对称图形、中心对称图形的画法，解题的关键是能够正确理解轴对称图形与中心对称图形的概念.
破题思路：根据轴对称图形与中心对称图形的概念涂阴影，答案不唯一.
解：（1）如图23.2-12所示，画出其中一种即可.
（2）如图23.2-13所示，画出其中一种即可.
准确理解两种对称图形的特征是解决此类作图问题的关键.
解后反思
解答中心对称图形和轴对称图形的作图问题的关键
（1）轴对称图形在沿某直线折叠后直线两旁的部分能够互相重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合.
（2）中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与自身重合，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转180°，二是与自身重合.
题型五 关于原点中心对称的作图
【例5】（山东聊城中考改编）如图23.2-17，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，，.
（1）若△ABC经过平移后得到，已知点的坐标为，写出顶点，的坐标；
（2）若△ABC和关于原点O成中心对称，写出各顶点的坐标，并画出；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到，写出的各顶点的坐标
审题关键：本题考查了坐标与图形变化：平移与旋转.解题的关键是掌握平移与旋转的作图方法与步骤.
破题思路：（1）首先利用点C和点的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点，的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
（3）首先利用网格和旋转的性质画出，然后写出的各顶点的坐标.
解：（1）因为点平移后的对应点的坐标为，所以将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到.
所以点的坐标为，点的坐标为.
（2）因为△ABC和关于原点O成中心对称，所以点，，，如图23.2-18所示.
（3）如图23.2-18所示，为所作三角形，各顶点坐标分别为，，.
解后反思
图形经过平移或旋转之后，要结合平移的方向与距离或旋转的角度以及图形的特殊性质来求出平移或旋转后的点的坐标.常见的旋转的特殊角度有30°，45°，60°，90°，180°等.
题型六 根据中心对称的性质平分图形面积
【例6】如图23.2-20所示，图①中过圆心的一条直线将圆分成Ⅰ，Ⅱ两部分，图②中过平行四边形中心（对角线交点）任作两条直线形成阴影部分Ⅰ，Ⅱ.
（1）图23.2-20①②中的Ⅰ，Ⅱ两部分的面积均相等吗？
（2）工人师傅需把图23.2-20③所示的一块木板分成面积相等的两部分，你认为应该怎样分？请画出示意图，并作简要说明.
审题关键：本题考查了根据中心对称的性质平分图形的面积，关键是掌握中心对称的性质：过对称中心的任一直线将中心对称图形分成面积相等的两部分.
破题思路：（1）因为圆和平行四边形都是中心对称图形，所以图23.2-20①②中的Ⅰ，Ⅱ两部分的面积都相等，其中图23.2-20②可由中心对称的性质证明三角形全等得到结论.
（2）将原图形看成两个矩形，分别取两个矩形的对称中心，作直线即可.
解：（1）相等.
（2）如图23.2-21所示，有三种分法.图23.2-21①②是分别将原木板分成上、下与左、右两个矩形，过两个矩形的对称中心的直线把此图形分成面积相等的两部分.图23.2-21③是将原木板补为大矩形木板，过补上的小矩形与补后的大矩形的对称中心的直线把该图形分成面积相等的两部分.
根据中心对称的性质，找出割补后图形的对称中心很关键.
方法技巧
利用中心对称的性质平分中心对称图形面积的方法
（1）可以把原图形分成两个中心对称图形，再连接两个对称中心.
（2）可以增补一个小中心对称图形，与原图形组成一个大中心对称图形，连接两个对称中心.
变式训练
1.下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
2.下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
变式训练
3.如图23.2-8，线段AB与关于某一点中心对称.
（1）试确定线段AB与的对称中心O；
（2）连接，，试判断线段与的关系，并说明理由.
变式训练
4.如图232-10，四边形ABCD是以点O为对称中心的中心对称图形，过点O作OE⊥AC交BC于点E.如果△ABE的周长是7cm，求四边形ABCD的周长.
变式训练
5.如图23.2-15，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂上阴影，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是________.
6.如图23.2-16，在右边的图形中涂上颜色，使得左、右两个图形连同颜色合起来是一个关于点A对称的中心对称图形
变式训练
7.（宁夏银川中考）如图23.2-19，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，.
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的；
（2）画出关于y轴对称的.
变式训练
8.有一块矩形耕地，其内有一口井（如图23.2-22），现将这块地平分给甲、乙两个承包户种植蔬菜，要求两家共用这口井，以便浇水，请问：应如何分？在图中画出分界线.
9.有一个菱形鱼池，如图23.2-23所示，其内有一片矩形水域用来种植莲藕，现要把这个鱼池一半用于养殖红锦鲤，另一半用来养殖其他鱼种，为使分成的两个鱼池内均有一半的莲藕，应如何分这个鱼池？在图中画出分界线.
易误易混·精辨析
易错点一 不能正确理解中心对称的性质而致错
【例1】已知两个图形关于某点成中心对称，有下列说法：
①这两个图形一定全等；
②对称点的连线一定经过对称中心；
③对称点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；
④一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合.
其中正确的是（ ）
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④
解析：由中心对称的性质，知关于某点对称的两个图形是全等图形，关于某点对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，故①②正确；根据旋转的性质，知③正确；根据关于某点对称的两个图形不一定是关于一条直线对称的轴对称图形，知④错误.
答案：A
防错警示
熟练掌握中心对称的性质是解题的关键.此题容易出错的是④，沿某直线折叠后能互相重合的两个图形成轴对称，但不一定成中心对称，不要混淆了中心对称和轴对称的概念.
易错点二 对中心对称图形识别不清楚导致错误
【例2】如图23.2-24，下列四个图案中，是中心对称图形的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：判断一个图形是否为中心对称图形时，只要找到一点，使这个图形绕此点旋转180°后与自身重合即可，故只有①②是中心对称图形.故选B.
答案：B
防错警示
对中心对称图形的识别很容易误认为旋转后能与自身重合的图形就是中心对称图形，而忽视了必须旋转180°这个前提.本题易错选D.
真题解密·探源头
中考真题 教材原型
（广西贵港中考）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：根据平面内关于原点对称的点的横坐标与纵坐标分别互为相反数，得m=2，且m-n=-3，所以m=2，n=5，所以点在第一象限，故选A. 答案：A 教材第70页习题23.2第4题 已知点与点关于原点对称，求a，b的值. 解：因为关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数， 所以a=-5，b=-1.
命题人解密：教材习题很典型地考查了关于原点对称的点的坐标特征，中考题就是针对这一考点进行设置，不同的是教材习题只考查了关于原点对称的点的坐标特征，中考题还综合考查了各个象限内点的坐标特点，且中考题的背景更丰富. 阅卷人解密：解决此类问题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征.在解答此类题时往往因为把关于原点对称的点的坐标特征记错或象限坐标符号弄错而导致失分.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.下列图形中，除颜色外是中心对称图形的是（ ）
2.（四川泸州中考）已知点与点关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A.5 B.-5 C.3 D.-3
3.（江苏南通中考）下面的几何图形（如图23.2-25）：
其中是轴对称图形但不是中心对称图形的共有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
5.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）
6.图23.2-26是一个中心对称图形，点A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，，则的长为________.
7.如图23.2-27，网格中的每个小正方形的边长均为1.观察图①②中所画的“L”型图形，然后各补画一个小正方形，使图①中所成的图形是轴对称图形，图②中所成的图形是中心对称图形.
8.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图23.2-28，A，B，C三点在格点上.
（1）作出△ABC关于y轴对称的，并写出点的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O对称的，并写出点的坐标.
【能力提升】
9.已知如图23.2-29所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图23.2-30，则旋转的牌是（ ）
10.（浙江杭州中考）在平面直角坐标系中，已知点，，.若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为________.
11.在一次数学探究活动中，小强只用一条直线就把矩形ABCD分割成面积相等的两部分，如图23.2-31所示.
（1）在图23.2-32中的三个矩形中，请你大胆尝试，画出符合上述分割方法的直线.（注：所画直线经过的特殊点必须标注清楚，且一个矩形只画一种）
（2）根据你和小强的分割方法：只用一条直线就能把矩形分割成面积相等的两部分.你认为这样的直线有________条.
（3）由上述实验操作过程，你发现在矩形中所画的这一条直线满足的条件是________
________________________________________.
（4）你能仿照上述分割方法，将图23.2-33中不规则图形用一条直线分割成面积相等的两部分吗？
【拓展创新】
12.如图23.2-34，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为，，，.
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）如果四边形ABCD绕点C旋转180°，试确定旋转后四边形各个顶点的坐标；
（3）请你重新设计适当的坐标系，使得四边形ABCD四个顶点的纵坐标不变，横坐标乘-1后，所得的图形与原图形重合.
本书参考答案
23.2 中心对称
应用能力·巧提升
1.A 解析：选项A和选项D是轴对称图形；选项B和选项C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；选项D还是中心对称图形.故选A.
2.C 解析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察发现，选项A，B，D都是轴对称图形，只有选项C既是轴对称图形又是中心对称图形，故选C.
3.解：（1）方法1：如答图23.2-1，连接，，交于点，则点即为所求.
方法2：如答图23.2-1，连接（或），取其中点，则点即为所求.
（2），且.理由如下：
由（1）及中心对称的定义，知，，，所以，所以，，所以.
4解：因为四边形是以点为对称中心的中心对称图形，所以，.
所以四边形为平行四边形.
因为，，所以.
因为 cm，所以 cm，即 cm.
又因为四边形为平行四边形，所以四边形的周长是（cm）.
5.② 解析：根据题意，可作出四种图形如答图23.2-2，其中绕着某一点旋转180°与自身能够重合的只有第二个图形，所以将②涂上阴影能构成中心对称图形.
6解：如答图23.2-3所示.
7.解：（1）如答图23.2-4所示.
（2）如答图23.2-4所示.
8.解：如答图23.2-5，线段即为分界线.
9.解：如答图23.2-6，线段即为分界线.
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1.A 解析：选项A是中心对称图形，选项B，C，D仅是轴对称图形，不是中心对称图形.故选A.
2.C 解析：由点关于原点的对称点为点，得，，所以.故选C.
3.C 解析：这四个图形都是轴对称图形，但正方形和圆也是中心对称图形，因此本题只有等腰三形和正五边形符合要求，故选C.
4.D 解析：A项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B项不是轴对称图形，是中心对称图形；C项是轴对称图形，不是中心对称图形；D项既是轴对称图形，又是中心对称图形.故选D.
5.B 解析：根据题意可知，和关于点成中心对称，所以选项B符合.
6. 解析：在中，，，所以，所以.
因为点与点关于点对称，所以，所以.
7.解：如答图23.2-7所示.
8.解：（1）如答图23.2-8，点的坐标为.
（2）如答图23.2-8，点的坐标为.
9.A 解析：观察题干中两图，知它们完全相同，所以旋转的其中一个图形是中心对称图形，只有选项A是中心对称图形，旋转180°后与自身重合.故选A.
10. 解析：如答图23.2-9所示.因为，，，线段与互相平分，所以点坐标为，所以点关于坐标原点的对称点的坐标为.
11.解：（1）如答图23.2-10（答案不唯一）.
（2）无数（3）直线经过矩形的对称中心
（4）如答图23.2-11所示.
12.解：（1）由题图，知四边形的对角线互相垂直，并且长都是6，所以面积为.
（2）旋转后，，，的对应点分别为，，，.
（3）以原坐标系中的点为原点，原坐标系轴为横轴，四边形中垂直于轴的对角线为纵轴建立坐标系.
教材参考答案
23.2中心对称
练习（第66页）
1解：如答图23.2-1①②所示.
2解：图略（任意连接两组对应点，则它们的交点即为两个四边形的对称中心）
练习（第67页）
1.解：能例如，平行四边形、圆、正六边形等都是中心对称图形
2解：第2个图案是中心对称图形.举例略.
探究（第68页）
图略设点A，B，C，D，E关于原点O对称的点分别为点，，，，E'，则，，，，.这些点的横、纵坐标和已知点的横、纵坐标分别互为相反数.
练习（第69页）
1.解：点C（2，-1）与点F（-2，1）关于原点对称.
2解：因为关于原点对称的点的横、纵坐标分别互为相反数，所以，，，.
3.解：因为四边形ABCD是菱形，且对角线交于坐标原点O，
所以点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称.
因为，，所以，.
习题23.2（第69页）
1解：如答图23.2-2①②所示.
2.解：第1个是，对称中心是圆心；第2个是，对称中心是叶柄的交点；第3个不是；第4个是，对称中心是正方形对角线的交点；第5个是，对称中心是相对顶点连线的交点；第6个不是.
3.解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，A，B，C，D四点关于原点对称的点的坐标分别是，，，.如答图23.2-3所示，四边形即为所求作的图形.
4.解：，.
5.解：是中心对称图形.对称中心是线段的中点.
6.解：能，如答图23.2-4所示，以BC边的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°后得到，即可得以AC，AB为邻边的平行四边形.
7.解：能第一个图形以点C为旋转中心，顺时针旋转90°后得到△DEC；第二个图形先以AC为轴作出△ABC的轴对称图形，再将以点C为旋转中心，逆时针旋转90°后得到△DEC.
8.解：全等理由如下：
因为菱形是中心对称图形，所以过对称中心的直线将菱形分成的两个梯形关于对称中心对称所以这两个梯形是全等的.
9.解：不一定当上、下底的和等于其中一腰的长时，
才可以拼成一个菱形
10.解：因为，△ADE和△CBF均为等边三角形，
所以△ADE≌△CBF，所以.
连接AC，BD交于点O（图略）
因为四边形ABCD为平行四边形，所以，OB=OD.
连接BE，DF，因为AD∥BC，所以.
因为.
所以，
即，所以DE∥BF.
所以四边形EDFB为平行四边形.
连接EF，则EF经过点O，且，又，
综上可知△CBF是由△ADE绕点O逆（顺）时针旋转180°得到的，故△ADE和△CBF成中心对称.
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