23.3 课题学习 图案设计 学案（含答案）

23.3 课题学习图案设计
基础知识·细解读
知识点一 认识图案的形成过程
1 由基础图形经过平移、轴对称和旋转来进行图案设计.
2 由几种基础图形组合后，通过平移、轴对称和旋转来进行图案设计.
3 图案的组合一般有以下几种形式：（1）先平移后旋转；（2）先旋转后平移；（3）先平移后作轴对称；（4）先旋转后作轴对称；（5）先作轴对称后旋转等.在进行图案的设计时，要注意弄清设计的要求及设计的目的.只有在正确把握设计要求及设计目的的前提下，才能合理地进行图案设计.
【例1】图23.3-1是某印染厂设计的花边图案的一部分，你能运用所学知识分析此图案的设计过程吗？
解：图案可以通过以下方式来设计：
第1步：以为基本图案先进行轴对称变换得到如图23.3-2①所示的图案；
第2步：以得到的图案为基本图案，进行两次平移得到如图23.3-2②所示的图案；
第3步：把得到的图案作为基本图案，以经过它的下边沿的直线为对称轴进行轴对称变换，即得到题干中的图案.
总结
本题图案的变换方式非常灵活，它还可以是轴对称与旋转的组合设计或平移与旋转的组合设计.
知识点二 图案设计的方法步骤
1 整体构思
（1）图案的设计要突出“主题”，即设计图案的意图，要求简洁、自然、别致，具有一定的意义；（2）确定整幅图案的形状（如圆形或正方形）和“基本图形”（不宜太复杂）；（3）构思图案的形成过程：首先构思该图案由哪几部分构成，再构思如何运用平移、旋转、轴对称等变换方法实现由“基本图形”到各部分图案的组合，并作出草图.
2 具体作图
根据草图，运用尺规作图的方法准确地作出图案，有条件的可用几何画板画出满意的图案.
【例2】实践与操作：图23.3-3①是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两条相等的圆弧而成的轴对称图形，图23.3-3②是以图23.3-3①为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形.
（1）请你仿照图23.3-3①，用两条相等圆弧（小于或等于半圆），在图23.3-3③中重新设计一个不同的轴对称图形；
（2）以你在图23.3-3③中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图23.3-3④中拼成一个中心对称图形.
解：（1）在图23.3-3③中设计出符合题目要求的图形，如图23.3-4①.
（2）在图23.3-3④中画出符合题目要求的图形，如图23.3-4②.
总结
此题主要考查了利用轴对称设计图案，仿照已知，利用轴对称图形的定义作出轴对称图形是解题的关键.同时，图案设计是一种开放性题目，答案不唯一.因此，设计时要充分利用所学知识，如平移、轴对称、旋转，使设计出的图案和谐美观.
特别提醒
（1）目前学过的图形变换主要有平移、轴对称、旋转三种方式，而中心对称是旋转的一种特殊情况，这三种变换都有一个共同特征，那就是变换前后图形的形状、大小不发生变化，只有位置发生了变化，它们都属于全等变换.
（2）首先通过仔细观察，分析图案的特征，找出图案的基础图形，然后根据平移、轴对称、旋转的特点进行图案设计.
特别提醒
图案设计的思路
（1）选择“基本图形”：“基本图形”可以是一个图形，也可以是组合图形.
（2）对“基本图形”进行变换：可以只进行一种图形变换，也可以进行两种或多种图形变换.
（3）对所设计的图形进行着色等修饰工作.
应用能力·巧提升
题型一 简单的图案分析
【例1】图23.3-5最左面的图案是由右面五种基本图形中的两种拼接而成的，这两种基本图形是（ ）
A.①⑤ B.②④ C.③⑤ D.②⑤
审题关键：本题考查的是分析简单图案，解题的关键是抓住基本图形的特点，并把简单图案分割成若干个与基本图形大小一样的图形.
解析：先将最左面的图案分割成4个相同的小正方形，再与右面的基本图形相对照，从而得出答案.
答案：D
解后反思
解决此类问题时，应观察各图形的特点，并分析各组成部分的内在联系.
题型二 利用旋转或平移设计图案
【例2】在图23.3-7所示的方格纸上按以下要求作图，不用写作法：
（1）作出“小旗子”向右平移6个格后的图案；
（2）作出“小旗子”绕点O按逆时针方向旋转90°后的图案.
审题关键：本题考查了平移作图与旋转作图，根据作图的步骤作图即可.
破题思路：（1）将各顶点向右平移6个格，顺次连接起来即可得出答案.
（2）将各点绕点O逆时针旋转90°即可得出答案.
解：（1）如图23.3-8①所示.
（2）如图23.3-8②所示.
解后反思
此题主要考查了图形的旋转变换与平移变换，正确得出对应点位置是解题的关键.
题型三 平移、轴对称、旋转的综合应用
【例3】（黑龙江齐齐哈尔中考）如图23.3-10，平面直角坐标系内，小正方
形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为，，.
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到点与点距离之和最小，请直接写出点P的坐标.
审题关键：本题考查了平移变换、旋转变换和轴对称——最短路线问题，关键是掌握平移变换、旋转变换和轴对称变换的作图方法与步骤.
破题思路：（1）分别将点A，B，C先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度，然后顺次连接各点；
（2）根据网格结构找出点A，B，C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接各点即可；
（3）利用最短路径问题解决，首先作点关于x轴的对称点，再连接，与x轴的交点即为所求.
解：（1）如图23.3-11所示，为所求作的三角形.
（2）如图23.3-11所示，为所求作的三角形.
（3）点P的坐标为.提示如下（不作要求）：如图23.3-11，作点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为所求的点P.因为点的坐标为，点关于x轴的对称点的坐标为，
所以所在直线的解析式为y=-5x+16.
令y=0，则，所以点P的坐标为.
变式训练
1.请分析图23.3-6所示的图案的形成过程，并写清具体作了哪些几何变换.
变式训练
2.图23.3-9中的三个图形都可以分别看作由一个“基本图形”经过旋转所形成的，则它们的旋转角可能分别为（ ）
A.90°，72°，120° B.120°，90°，72°
C.120°，60°，90° D.120°，72°，90°
3.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）
变式训练
4.（辽宁丹东中考）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图23.3-12所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的，并直接写出点，的坐标.
易误易混·精辨析
易错点 混淆轴对称图形与中心对称图形
【例】要在一块长方形的空地上修建一个既是轴对称图形又是中心对称图形的花坛，下列图案中不符合要求的是（ ）
解析：轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两侧的图形能够完全重合；中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转180°能够与原图形重合.根据概念，观察四个图形可知，选项B，C，D既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项A是轴对称图形，但不是中心对称图形.
答案：A
防错警示
识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，使图形的两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180°后与自身重合.此类问题常见的错误主要是不能正确找出对称轴或对称中心.
真题解密·探源头
中考真题 教材原型
（广西来宾中考）如图23.3-13①②③所示的3个图形中，能通过旋转得到图23.3-14的有（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解析：如图23.3-15所示，图23.3-13①通过旋转可以得到图23.3-14中的图形；如图23.3-16所示，图23.3-13③通过旋转可以得到图23.3-14中的图形. 教材第72页举例 例如，图23.3-17中的图案就是由经过旋转、轴对称和平移得到的. 以点O为旋转中心将逆时针旋转90°三次作出图23.3-18，然后以l为对称轴作出图23.3-19.平移图23.3-19就可以作出图23.3-17中的图案.
命题人解密：教材中举例很典型地说明了由基本图案经过旋转、轴对称、平移设计图案问题，中考题就是针对这一考点进行设置，不同的是教材设计图案用到了旋转、轴对称、平移变换，中考题只考查了通过旋转一种变换得出图案. 阅卷人解密：解决此类问题的关键是掌握图案设计的方法与步骤，注意抓住“基本图形”.在解答此类问题时往往因为弄错“基本图形”而导致失分.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.下列图形中，不能由“基本图案”（小四边形）只经过平移得到的图形为（ ）
2.下列四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是（ ）
3.下列基础图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到图23.3-20的是（ ）
4.在下列四种图形变换中，图23.3-21中的图案包含的变换是（ ）
A.旋转和轴对称
B.轴对称和平移
C.平移和旋转
D.平移、旋转和轴对称
5.如图23.3-22，它可以看作是由“”通过连续平移________次得到的，也可以看作是由“”绕中心旋转________次，每次旋转________得到的.
6.如图23.3-23所示，这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过________次旋转而得到，每一次旋转的角度为________.
7.以“○○，△△， ”（两个圆、两个三角形、一组平行线）为条件设计出一个独特且有意义的图形，并写上一两句贴切、诙谐的解说词.
例如：如图23.3-24.
8.某地板砖厂要制作一批正六边形的地板砖，如图23.3-25所示.为了适应市场需求多样化，现要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形6等分，请你帮助设计几种图案.
【能力提升】
9.在方格纸中，图23.3-26①中的图形N经过旋转、平移后的位置如图23.3-26②所示，那么下列变换过程叙述正确的是（ ）
A.绕点A顺时针旋转90°，再向下平移3个格
B.绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个格
C.绕点A顺时针旋转90°，再向下平移5个格
D.绕点A逆时针旋转90°，再向下平移5个格
10.（云南昆明中考）如图23.3-27，△ABC三个顶点的坐标分别为，，.
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形；
（2）请画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标.
【拓展创新】
11.为创建绿色校园，学校决定在一块正方形的空地上种植花草，现向学生征集设计创意.图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形.种植花草部分用阴影表示.请你在图23.3-28③④⑤中画出三种不同的设计图案.
提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图23.3-28①②只能算一种.
本书参考答案
23.3 课题学习图案设计
应用能力·巧提升
1.解：①确定整个图案的基本图形，如答图23.3-1所示；
②将基本图形绕直角顶点逆时针旋转90°三次；
③将旋转后所得的图形作平移（或轴对称）变换.
2.D 解析：①旋转角为；②旋转角为；③旋转角为或.故选D.
3.A 解析：根据旋转的性质，结合图形的特征，观察发现选项以所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后能与原图形完全重合.
4.解：（1）如答图23.3-2，即为所求.
（2）如答图23.3-2，即为所求，点，.
高效训练·速提能
1.D 解析：观察可知，选项A，B，C都可以由“基本图案”（小四边形）只经过平移得到，选项D是由“基本图案”（小四边形）经过旋转得到的，不能由“基本图案”（小四边形）只经过平移得到.故选D.
2.C 解析：A，B，C，D四个选项中的图形都可以看成是由图形的一半旋转180°得到的.若一个图形可以通过某一个“基本图形”平移得到，则这个图形可以分成几个相同的“基本图形”，且“基本图形”之间对应点的连线应该是平行的，故A，B，D不能由平移得到，只有C选项的图形，可看成是由通过平移得到，故选C.
3.C 解析：C项经过平移、旋转或轴对称变换后，都不能得到题图，故选C.
4.A 解析：由图形特征知可通过轴对称和旋转变换得到，故选A.
5.3 3 90° 解析：由题图可知，“”通过连续平移3次即可得出图形因为此图形是中心对称图形，所以也可以看作是“”绕中心旋转3次，每次旋转90°得到的.
6.4 72° 解析：，因此题图中的五角星可以由一个基本图形（题图中的阴影部分）绕中心至少经过4次旋转而得到，每一次旋转72°.
7.解：如答图23.3-3（答案不唯一）.
8.解：答案不唯一.如答图23.3-4所示.
9.A 解析：若由题图①中的图形变换到题图②中的图形，要旋转90°，则肯定是顺时针旋转，故可排除B，D；绕点顺时针旋转90°后，再向下平移3个格即可得到，故选A.
10.解：（1）如答图23.3-5所示.
（2）如答图23.3-6所示.
（3）如答图23.3-7所示，找出点关于轴的对称点，连接，与轴交点即为点，点坐标为.
11.解：答案不唯一，如答图23.3-8所示.
教材参考答案
23.3 课题学习 图案设计
数学活动（第74页）
活动1
已知在平面直角坐标系中一点A（-3，2），作点A关于x轴的对称点，得到点B（-3，-2），作点B关于y轴的对称点，得到点C（3，-2），则点A与点C关于原点对称
事实上，在平面直角坐标系中任选一点A（x，y），作点A关于x轴的对称点，得到点B（x，-y），作点B关于y轴的对称点，得到点C（-x，-y），则点A与点C关于原点对称
活动2
顺时针：（y，-x）（-x，-y）（-y，x）（x，y）
逆时针：（-y，x）（-x，-y）（y，-x）（x，y）
复习题23（第76页）
1解：如答图23-1所示.
2.解：这个图案是由一个直角三角形绕固定点（小正方形对角线的交点）顺（或逆）时针旋转90°，180°，270°得到的.
3.解：题图中后三个图形是中心对称图形，其对称中心为点O，如答图23-2.
4.解：如答图23-3所示.
5.解：△EBC可以看作是由△DAC绕点C逆时针旋转60°后得到的.
6.解：先将右边倾斜的树以其根部为旋转中心，旋转一定的角度使其直立，再以两树底端所在线段的垂直平分线为对称轴作轴对称变换就可得到左边直立的树.
7.解：分别画出矩形FABE和菱形EBCD的对角线的交点和，作直线（图略），则直线将这个纸片分成面积相等的两部分.
理由：矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过该点任作一条直线均把矩形分成面积相等的两部分.
菱形也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过该点任作一条直线均把菱形分成面积相等的两部分.
故过这两对角线的交点的直线可把这张纸片分成面积相等的两部分.
8.解：（1）中梯形是底角为60°且腰与上底长度相等的等腰梯形时，可以经过旋转和轴对称形成（2）中的图案.