21.3 实际问题与一元二次方程 学案（含答案）

21.3 实际问题与一元二次方程
基础知识·细解读
知识点一 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤
审→读懂题目，审清题意，明确各量之间的关系
↓
设→设出未知数
↓
列→根据题意列关于未知数的方程
↓
解→求出未知数的值
↓
验→检验方程的解是否符合实际情况
↓
答→写出答案
【例1】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵售价为120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
解：设该校共购买了x棵树苗.由题意，得，解得，.
当时，，
所以不合题意，舍去；
当时，，所以符合题意.
答：该校共购买了80棵树苗.
总结
列一元二次方程解决实际问题的四点注意
（1）注意挖掘题目中隐含的等量关系.
（2）注意文字语言与数学语言的转化，能把文字语言表述的条件用式子表示出来，
（3）注意列方程时各量之间的单位要统一.
（4）注意对求出的结果进行检验，看其是否为原方程的解以及是否符合实际.
知识点二 列一元二次方程解决实际问题的常见题型
常见题型 公式
传播问题 若a表示传播之前的人数，x表示每轮每人传播的人数，n表示传播的轮数，b表示最终的总人数，则
平均增长率（降低率）问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则得增长率公式：（降低率公式：
几何图形问题 （1）面积公式：，，，； （2）体积公式：，，，. 另外涉及的计算还有三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理、不规则图形求面积等
数字问题 （1）两位数=十位上的数字×10+个位上的数字； （2）三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字
商品销售利润问题 （1）利润=售价-进价； （2）； （3）售价=进价×（1+利润率）； （4）总利润=每件利润×销售量=总销售额-总成本
注意：列一元二次方程解应用题除了上面几类问题外，还有球队比赛问题、寻求规律问题以及动态几何问题等.
【例2】（四川巴中中考）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率.
解：设该种药品平均每次降价的百分率是x.
由题意，得，
解得（不合题意，舍去），.
答：该种药品平均每次降价的百分率是30%.
总结
本题考查了一元二次方程的应用——降价的百分率问题，解题的关键是结合问题实际，掌握降价百分率问题中的等量关系，注意检验，舍去不符合题意的根
特别提醒
列一元二次方程解决实际问题与列一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题类似，可类比学习.
特别提醒
“审”“验”不写，但很重要
（1）“审”一般不写出来，但它很重要，只有审清题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系，才能准确列出方程.
（2）“验”一般只写出验根后的结果即可，过程可以不必详述，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不合题意的根舍去.
特别提醒
（1）传播问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式，要注意传播的基数、每轮传播的人数以及轮数.
（2）解决平均增长率（降低率）问题的关键是准确理解公式中各个量的含义，分清基本量和变化后的量及变化（增长或降低）的次数.
（3）①当遇到不规则图形时，要想办法把不规则图形分割或补充成规则图形，找出各部分面积或周长之间的关系，再运用规则图形的面积或周长公式列出方程进行求解.
②已知图形的面积列一元二次方程，除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长公式及计算方法外，关键是能用未知数表示相关的长度，从而列方程求解.
（4）数字问题中的数的表示要准确，不能忽略各数位上的数字之间的进制关系，同时要注意未知数所表示的数字与其他数位上数字的关系.
（5）解答与销售利润有关的问题时，要能准确用未知数表示商品的销售量和销售利润，此外，正确理解商品的销售量和销售利润之间的关系是解答此类问题的关键.
应用能力·巧提升
题型一 利用一元二次方程解决传播问题
【例1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一人传染了几人.
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
审题关键：解决本题的关键是明确原来有几人患流感，每轮传染中平均一人传染了几人，经过一轮传染后有几人患流感以及经过两轮传染后又有几人患流感.
破题思路：（1）设第一轮传染了x人，则第二轮传染了人，两
轮以后共有人患流感.（2）第三轮有64x人被传染.
解：（1）设每轮传染中平均一人传染了x人.
由题意，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：每轮传染中平均一人传染了7人.
（2）（人）.
答：第三轮将又有448人被传染.
解后反思
解决传播问题的关键点
传播问题需要找清：
（1）每一轮传播的传播源的数量；
（2）每一个传播源每轮传播的数量.
题型二 利用一元二次方程解决增长率（降低率）问题
【例2】为进一步发展基础教育，自2018年以来，某县加大了教育经费的投入，2018年该县投入教育经费6000万元，2020年投入教育经费8640万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预计2021年该县投入教育经费多少万元.
审题关键：解决本题的关键是由该县2018年至2020年这两年投入教育经费的年平均增长率相同求出年平均增长率.
破题思路：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2018年该县投入教育经费6000万元和2020年投入教育经费8640万元列出方程，求解即可.
（2）根据2020年该县投入的教育经费和每年的增长率，直接得出2021年该县投入的教育经费.
解：（1）设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x.
根据题意，得，解得（负值舍去）.
答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%.
（2）因为2020年该县投入教育经费8640万元，且年平均增长率为20%，所以2021年该县投入的教育经费为（万元）.
答：预计2021年该县投入教育经费10368万元.
解后反思
熟记增长率（降低率）公式，列出方程不犯愁
求平均增长率（降低率）问题：一般列方程.其中a为原始数据，b为增长（降低）后的数据，n为变化次数，x为增长率（降低率）.
题型三 利用一元二次方程解决图形面积问题
角度1 利用平移法构建特殊图形解决有关面积的问题
【例3】（四川巴中中考）如图21.3-1，某农场有一块长为40m、宽为32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路.要使种植面积为1140，求小路的宽.
审题关键：本题考查了一元二次方程的应用——与面积有关的问题，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系.
破题思路：思路1：将小路分别平移到大矩形的两边，种植面积不变.由题意设小路的宽为x m，则矩形种植面积的长为，宽为.根据矩形的面积公式列方程求解即可.
思路2：要求种植面积，可用大矩形面积减去小路总面积.
解：方法1：设小路的宽为x m.如图21.3-2，将小路平移到矩形边上时，种植面积是不变的，所以.解得，（不合题意，舍去）.所以小路的宽为2m.
答：小路的宽为2m.
方法2：设小路的宽为x m，可列方程，得.整理，得，解得，（不合题意，舍去）.
答：小路的宽为2m.
方法技巧
巧妙平移，转化图形
通过平移将图形进行转化是列一元二次方程解决面积类应用题常用的方法，其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则的图形，根据规则图形面积公式列一元二次方程求解.
角度2 直接利用矩形面积公式解决有关面积的问题
【例4】（四川自贡中考）如图21.3-4，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200的矩形场地，求矩形的长和宽.
审题关键：根据矩形的面积公式直接列方程进行解答.
破题思路：设垂直于墙的一边长为x m，用含x的式子表示出平行于墙的一边长，利用矩形的面积公式列方程即可.
解：设垂直于墙的一边长为xm.根据题意，得，解得，，所以平行于墙的一边长为8m或50m.
答：当矩形长为25m时，宽为8m；当矩形长为50m时，宽为4m.
方法技巧
矩形面积需记牢，表示长和宽是关键
利用一元二次方程解决与矩形面积有关的问题时，关键是根据题意和图形正确表示出矩形的长与宽，寻找相等关系建立方程求解，注意已知中所隐藏的长和宽对结果的影响.
题型四 利用一元二次方程解决球队比赛问题
【例5】（新疆中考）某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
审题关键：本题考查了应用一元二次方程解决球队比赛问题，解答本题的关键是弄清楚单循环赛的形式，即每两队之间都赛一场.
破题思路：设应邀请x支球队参赛，用代数式表示比赛总场数，根据题意列出方程求解即可.
解：设应邀请x支球队参赛，比赛总场数为.
根据题意，可列出方程.整理，得，
解这个方程，得，（不合题意，舍去）.
答：应邀请8支球队参加比赛.
解后反思
单循环与主客场比赛问题
（1）单循环赛类似于相互握手，x支球队的单循环赛场数.
（2）主客场赛类似于相互寄送贺卡，x支球队的主客场赛场数.
题型五 利用一元二次方程解决数字问题
【例6】有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，把十位数字与个位数字调换位置后所得的两位数乘原来的两位数得1855，求原来的两位数.
审题关键：解答此类题的关键是搞清多位数与数位上的数字的关系，正确表示数.
破题思路：本题关键是正确表示出原两位数和调换位置后的新两位数.设原两位数的十位数字为x，则个位数字为.根据等量关系列出方程求解.
解：设原来的两位数的十位数字为x，则个位数字是.
由题意，得.
化简，得，解得，.
经检验，，都符合题意.
答：原来的两位数是35或53.
过程释疑：
求两位数时，一般不直接设两位数，而是设两位数中的十位数字或
个位数字为未知数.
根据等量关系“原两位数×新两位数”列方程.
方法技巧
数字问题不算难，巧妙设元是关键
正确而巧妙地设出未知数，一般采用如下的间接设元法：
（1）若十位、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为，三位数等以此类推.
（2）三个连续整数的表示：
一般设中间一个数是x，则其余两个数分别为，.
（3）三个连续偶数或三个连续奇数的两种表示：
①设中间偶（奇）数为x，则三个连续偶（奇）数可表示为，x，.
②三个连续偶数可以表示为，2x，；
三个连续奇数可以表示为，，.
列方程解应用题时，一般采用①中的方法.
题型六 应用一元二次方程解决商品利润问题
【例7】（新疆乌鲁木齐中考）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？
审题关键：解答本题的关键是读懂题意，找出相等关系：每件利润×每星期销量=6080元，列方程解决问题.
破题思路：因为商品的销售量与降价数额有关，所以本题需要间接地设未知数.设每件降价x元，则每件销售价为元，每件的利润为元，每星期销量为件，根据题意，得，此一元二次方程有两个解，因为是在顾客得实惠的前提下进行降价，所以取较大的未知数的值（降价越多，顾客所得实惠越多）.
解：设每件降价x元，则每件销售价为元，每星期销量为件.
根据题意，得.
解得，.
因为在顾客得实惠的前提下进行降价，所以取.
所以定价为元.
答：应将销售单价定为56元.
方法技巧
此类题中常用的等量关系如下：
（1）利润=单件的利润×售出件数；
（2）售出件数=原来售出件数+降价多卖件数；
（3）单件的利润=单件售价-单件成本.
题型七 列一元二次方程解决动态几何问题
【例8】如图21.3-6所示，在△ABC中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q同时出发，多长时间后P，Q两点间的距离等于cm？
审题关键：解答这类题的关键是以“静”制“动”，将移动开始一段时间后的状态看作相对静止，用含时间的式子表示出BQ，BP，然后求解.
破题思路：设移动开始t s后，P，Q两点间的距离等于
42cm.先用含t的式子表示出BQ，BP，再在Rt△PBQ中利用勾股定理列方程解决问题.
解：设运动开始ts后，，则，.
在Rt△PBQ中，由勾股定理，得，即，整理，得，解得，.
当时，，不合题意，应舍去.
答：运动开始s后，P，Q两点间的距离等于cm.
方法技巧
以“静”制“动”，巧解动态几何问题
通过分析这类问题，可以培养抽象思维能力，用“静”的方法来处理“动”的问题是解决动态几何问题的基本思维技巧.例如，本例中的“静”就是指PQ的长度为cm.
变式训练
1.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被传染，经过两轮传染后就会有81台电脑被传染.
（1）请你用学过的知识分析，每轮传染中平均一台电脑会传染几台电脑？
（2）若病毒得不到有效控制，三轮传染后，被传染的电脑会不会超过700台？
变式训练
2.（湖北恩施州中考）已知某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（ ）
A.8 B.20 C.36 D.18
3.（辽宁沈阳中考）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元.假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同.
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本.
变式训练
4.如图21.3-3，某小区规划在一块长为30m、宽为20m的矩形土地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草坪.要使每一块草坪的面积都为78，那么通道的宽应设计成多少米？
5.如图21.3-5，一农户要建一个矩形围栏，围栏的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，当所围矩形围栏的长、宽分别为多少时，围栏面积为80？
变式训练
6.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ）
A.7支 B.6支 C.5支 D.4支
变式训练
7.若两个连续整数的积是56，则它们的和为（ ）
A.11 B.15 C.-15 D.±15
8.若一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（ ）
A.25 B.36 C.25或36 D.-25或-36
9.有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数.
变式训练
10.水果店张阿姨以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100kg.通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20kg.为保证每天至少售出260kg，张阿姨决定降价销售.
（1）若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量是______kg（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每千克的售价降低多少元？
变式训练
11.如图21.3-7所示，在△ABC中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动.设点P，Q从点A，B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10？
易误易混·精辨析
易错点 忽略实际问题对方程根的限制而致错
【例】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施.经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，那么商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
解：设每件衬衫应降价x元.根据题意，得.
解这个方程，得，.
不符合题意，应舍去.
所以.
答：每件衬衫应降价20元.
防错警示
解决实际问题时，要认真审题，弄懂每句话的含义.本题易因忽视题干中“尽快减少库存”这一条件，未舍去而出错.
真题解密·探源头
中考真题 教材原型
（湖北鄂州中考改编）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2019年年底有5G用户2万户，计划到2021年年底全市5G用户数达到9.68万户.设全市5G用户数年平均增长率为x，则x的值为（ ） A.120% B.130% C.140% D.150% 解析：已知全市5G用户数年平均增长率为x. 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）. 故选A. 答案：A 教材第22页习题21.3第7题 青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率. 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则，解得，. 因为不符合题意，舍去，所以. 答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为8.33%.
命题人解密：教材习题很典型地考查了列一元二次方程解决增长率问题.中考题就是针对这一考点进行设置的，不同的是考查背景不同，题型不同. 阅卷人解密：这类问题在中考中为基础题，很少失分，但应注意在求解时把不符合题意的根舍去.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.某企业2019年年初获利润300万元，到2021年年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（浙江台州中考）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A. B.
C. D.
3.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积为300，则原铁皮的边长为（ ）
A.10cm B.13cm C.14cm D.16cm
4.如果有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均每人传染的人数为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
5.（江苏无锡中考）如图21.3-8，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________.
6.（广东梅州中考）用一条长为40cm的绳子围成一个面积为64的矩形.设矩形的一边长为x cm，则可列方程为________.
7.（湖北十堰中考）某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________
8.某种服装进价为每件60元，据市场调查，这种服装提价20元销售时，每月可卖出400件，销售价每涨1元，就少卖出5件.如果服装店预计每月获得利润1.2万元，那么服装店销售这种服装时每件定价应为多少元？
【能力提升】
9.某市计划扩大城区绿地面积，现有一块矩形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600，设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.如果两个连续偶数的积为288，那么这两个数的和等于（ ）
A.34 B.34或-34 C.35或-34 D.-34
11.为了满足社区居民强身健体的需要，某市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，甲公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知甲公司2019年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2019年每套B型健身器材的售价为2万元，2021年每套A型健身器材的售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材售价的年平均下降率相同.
（1）求每套A型健身器材售价的年平均下降率；
（2）2021年该市政府经过招标，决定年内采购并安装甲公司A，B两种型号的健身器材共80套，且采购专项经费总计不超过112万元，问B型健身器材最少应购买多少套？
12.（湖北宜昌中考）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算.第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12.经过三年治理，境内长江水质明显改善.
（1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a.在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值.
【拓展创新】
13.如图21.3-9所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.
（1）P，Q两点从出发开始，经过几秒时，四边形PBCQ的面积为33？
（2）P，Q两点从出发开始，经过几秒时，点P，Q的距离是10cm？
本书参考答案
21.3 实际问题与一元二次方程
应用能力·巧提升
1.解：（1）设每轮传染中平均一台电脑会传染台电脑.根据题意，得经过一轮传染后会有台电脑被传染，经过两轮传染后会有台电脑被传染.
根据题意可列出方程.
原方程可化为.
开平方，得或.
解得，（舍去）.
所以每轮传染中平均一台电脑会传染8台电脑.
（2）因为（台），，所以三轮传染后，被传染的电脑会超过700台.
2.B 解析：根据题意，得，解得或（不合题意，舍去）故选B.
3.解：（1）设每个月生产成本的下降率为.
根据题意，得，解得，（不合题意，舍去）.
答：每个月生产成本的下降率为5%.
（2）（万元）.
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.
4.解：设通道的宽应设计为 m.把竖着的两条通道平移到矩形左侧，把横着的通道平移到矩形的下端，种植草坪的矩形的长为m，宽为m，列方程得.
整理，得.
解方程，得，（不合题意，舍去）.
答：通道的宽应设计成2 m.
5.解：设矩形围栏垂直于住房墙的一边长为 m，则平行于墙的一边长为m.由题意，得.化简，得.解得，.当时，，舍去；当时，.
答：当所围矩形围栏的长为10 m，宽为8 m时，围栏面积为80.
6.C 解析：设参加比赛的球队应有支.根据题意列方程，得，解得（不合题意，舍去），.故选C.
7.D 解析：设这两个连续整数为，，则，解得，，则或.故这两个连续整数的和为.故选D.
8.C 解析：设这个两位数的个位数字为，那么十位数字应该是，由题意，得，解得，.故这个两位数是25或36.
9.解：设这两个连续整数中较小的数为，则另一个数为，根据题意列方程，得，解得，.
当时，；当时，.
答：这两个连续整数是，或3，4.
10.解：（1）
（2）根据题意，得，解得或.
因为每天至少售出260 kg，所以.
答：张阿姨需将每千克的售价降低1元.
11.解：设经过s后，的面积是10.
由题意，得，
解得，.
经检验，当时，，
所以不符合题意，应舍去.
答：经过1 s后，的面积是10.
高效训练·速提能
1.B 解析：设这两年的年利润平均增长率为，
根据题意，得.
故选B
2.A 解析：因为有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，所以总比赛场数为.又因为共比赛了45场，所以.
3.D 解析：设原铁皮的边长为cm，则盒子的底面边长为cm.由题意，得，解得或（舍去）故选D.
4.B 解析：设每轮传染中平均每人传染了人，第一轮传染后共有人患了流感，第二轮传染中，这些人中的每人又传染了人，第二轮后又有人患了流感.根据题意，得，即，解得，（舍去），所以平均每人传染了9人.
5.3 解析：设，则，所以，解得，（舍去），故答案为3.
6. 解析：矩形的一边长为 cm，则另一边长为cm.因为矩形的面积为64 ，所以.
7.10% 解析：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程，得，解得，（不符合题意，舍去）.故每次降价的百分率是10%.
8.解：设服装每件的定价应为元，由题意，得
，
即，
解得，.
答：这种服装每件的定价应为100元或120元.
9.A 解析：扩大后的正方形绿地边长为 m，则扩大部分矩形的长为 m，宽为m，根据题意，得.
10.B 解析：设较小的偶数为，则根据题意，得，解得，.当时，，所以；当时，，所以.故选B.
11.解：（1）设每套A型健身器材售价的年平均下降率为.
根据题意，得，解得，（舍去）.
答：每套A型健身器材售价的年平均下降率为20%.
（2）（万元）.
设购买B型健身器材套，则购买A型健身器材套.
根据题意，得，解得.
答：B型健身器材最少应购买50套.
12.解：（1）由题意可得，解得.
（2）由题意可得，
解得，（舍去）.
所以第二年用乙方案新治理的工厂数量为.
（3）第二年用乙方案治理工厂合计降低的值为，
即第二年因甲方案治理降低的值为30，则，解得.
所以，即第一年用甲方案治理降低的值为20.5.
13.解：（1）设，两点从出发开始，经过 s时，，则 cm， cm， cm， cm，所以，解得.所以当，两点从出发开始，经过5 s时，四边形的面积是33 .
（2）如答图21.3-1所示，过点作于点.设，两点从出发开始，经过 s时，，两点之间的距离是10 cm.
由题意，得cm，cm，cm，所以.
因为，所以，解得，.
所以，两点从出发开始，经过s或s时，点，的距离是10 cm.
教材参考答案
21.3 实际问题与一元二次方程
思考（第19页）
由探究1 可得三轮传染后患流感的人数为.
思考（第20页）
经过计算，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%，与甲种药品成本的年平均下降率一样，所以成本下降额大的药品，它的成本下降率不一定也大.注意把相同的对象进行比较.
思考（第21页）
设中央的矩形的长为9xcm，宽为7xcm，则.解得（负值舍去），则上、下边衬的宽为，左右边衬的宽为.故上、下边衬的宽均约为1.8cm，左、右边衬的宽均约为1.4cm.
习题21.3（第21页）
1.解：（1），原方程化为，所以或，
所以，.
（2），因为，，，，
所以，所以，.
（3），因为，，，.
所以，所以，.
（4），原方程可化为，直接开平方，得，所以，.
（5），原方程可化为，
所以，即，所以或.
所以，.
（6），因为，，，
，
所以，
所以，.
2.解：设两个相邻偶数中较小的一个是x，则另一个是x+2.根据题意，得，所以，所以，.当时，；当时，.
所以这两个偶数分别是-14，-12或12，14.
3.解：设直角三角形的一条直角边的长为xcm.由题意，知，所以，所以，.当时，；当时，.所以这个直角三角形的两条直角边的长分别为6cm，8cm.
4.解：设每个支干长出x个小分支，则，整理，得，，解得，.（舍去）
答：每个支干长出9个小分支.
5.解：设菱形的一条对角线长为xcm，则另一条对角线长为（10-x）cm.
由菱形的性质，知，整理，得，解得，.
当x=4时，；当时，
所以这个菱形的两条对角线长分别为6cm和4cm.由菱形的性质和勾股定理，得菱形的边长为、，所以菱形的周长为.
答：菱形的周长约是14.42cm.
6.解：设共有x个队参加比赛依题意可知，，整理，得，解得，，因为不符合题意，舍去，所以.
答：共有10个队参加比赛.
7.解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，，解得，.
因为不符合题意，舍去，所以.
答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为8.33%.
8.解：设镜框边的宽度应是xcm，根据题意，得
，
整理，得，
解得，所以，，
因为，不符合题意，舍去，
所以.
答：镜框边的宽度约是1.5cm
9解：设横彩条的宽度为3xcm，则竖彩条的宽度为2xcm根据题意，得，整理，得，解得，.因为，且，所以，
所以不符合题意，舍去，所以.
可得，.
答：设计横彩条的宽度约为1.8cm，竖彩条的宽度约为1.2cm.
10.解：（1）设线段AC的长度为x，则，
解得，（不合题意，舍去），所以.
（2）设线段AD的长度为x，则，解得，（不合题意，舍去），所以.
（3）设线段AE长度为x，则，解得，（不合题意，舍去），所以
规律：若为线段AB上一点，且满足，则.
数学活动（第23页）
300是前24行的点数的和.
设前n行的点数的和为y，则（n为正整数）
当时，，解得，结果不是整数.
因为n为正整数，所以前n行的点数和不能是600.
当三角点阵中各行的点数依次为2，4，6，…，2n，…时，前n行的点数和
.
当时，，解得，（舍去）.
所以这个三角点阵中前n行的点数和能是600，此时.
复习题21（第25页）
1.解：（1），移项，得，直接开平方，得，，
所以，.
（2），原方程化为，
因式分解，得，所以或，所以，.
（3）.因为，，，
，
所以，所以，.
（4），原方程化为.
因为，，，，
所以，所以，.
（5），原方程化为，
因式分解，得，所以或，所以，.
（6），原方程化为，
所以或，所以，.
（7），原方程化为.
因为，，，.
所以，所以，.
（8），原方程化为，
所以或，所以，.
2.解：设其中一个数为x，则另一个数为.根据题意，得，整理，得，解得，.当时，；当时，.所以这两个数是6.5和1.5.
3.解：设矩形的宽为xcm，则长为（x+3）cm由矩形面积公式可知，，整理，得，解得，.因为矩形的边长是正数，所以不符合题意，舍去，所以，所以.答：矩形的长是4cm，宽是1cm.
4.解：设方程的两根分别为，.
（1），.（2），.
（3）原方程化为.所以，.
（4）原方程化为，所以，.
5解：设梯形的上底长为xcm，则下底长为（x+2）cm，高为（x-1）cm，根据题意，得，整理，得，解得，.因为梯形的边长不能为负数，所以不符合题意，舍去，所以，所以，.画这个直角梯形如答图21-1所示.
6.解：设这个长方体的长为5xcm，则宽为2xcm根据题意，得，整理，得，解得，.因为长方体的长、宽不能为负数，所以不符合题意，舍去，所以，所以这个长方体的长为，宽为.画这个长方体的一个展开图（单位：cm）如答图21-2所示（注意：长方体的展开图不唯一）.
7.解：设应邀请x个球队参加比赛，由题意可知，，解得，.因为球队的个数不能为负数，所以不符合题意，应舍去，所以.
答：应邀请6个球队参加比赛
8解：设与墙垂直的边长为x m，则与墙平行的边长为（20-2x）m根据题意，得，整理，得，解得，所以.
答：用20m长的篱笆可围成一个长为10m，宽为5m的矩形场地（其中一边长为10m，另两边长均为5m）.
9.解：设平均每次降息的百分率为x.根据题意，得，整理，得，解得，.因为降息的百分率不能大于1，所以不符合题意，舍去，所以.
答：平均每次降息的百分率约是6.19%.
10.解：设人均收入的年平均增长率为x，根据题意，得，解得，（不合题意，舍去）
答：人均收入的年平均增长率为10%.
11.解：设矩形的一边长为xcm，则与其相邻的一边长为.由题意，得，整理，得，解得，，从而可知矩形的一边长为15cm，与其相邻的一边长为5cm.当面积为销售时，可列方程，即.
因为，所以此方程无解，所以不能围成面积为的矩形.
12.解：设花坛中雨道的宽为x m.根据题意，得
，整理，得，
解得，.
由题意，易知不符合题意，舍去，
所以.答：甬道的宽约为6.50m.
13.解：（1）小球的滚动速度平均每秒减少
（2）设小球滚动5m所用时间为ts，则此时小球的速度为（5-1.25t）m/s.
故这个时段的平均速度，由，得.
整理，得，解得，（舍去）.
答：小球滚动5m约用了1.2s.