第二十一章 一元二次方程章末整合提升（含解析）

第二十一章 一元二次方程 整合提升
专题整合·深拓展
专题一 一元二次方程根的意义
涉及一元二次方程根的意义的题目主要有两类：一类是判断某数是否为一元二次方程的根；另一类是已知方程的根，求一元二次方程中的未知系数.解这两类问题的基本思路是把已知的数或方程的根代入一元二次方程中验证或求解.
【例1】（四川攀枝花中考）若是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（ ）
A.-1或4 B.-1或-4 C.1或-4 D.1或4
解析：根据题意，将代入方程，得，即，左边因式分解，得，所以或，解得或.
答案：C
方法
已知方程的根，求未知字母的值
根据方程的根的定义将已知根直接代入方程，得到一个关于未知字母的新方程，解新方程即可.
专题二 一元二次方程的解法
一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.应根据方程的特点灵活选用适当的解法.
（1）若方程可化为（，）的形式，则宜选用直接开平方法；
（2）若方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法；
（3）若方程的右边为0，且左边能分解因式，则宜选用因式分解法；
（4）若用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则选用公式法.
无论选用什么方法，“降次”是各种解法的基本思路.
【例2】（山东滨州中考）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为（ ）
A. B. C. D.
解析：移项，得.两边同时加一次项系数一半的平方，得，即.
答案：D
反思
（1）配方法的一般步骤：
移项→化二次项系数为1→配方→开平方解方程
（2）一般情况下需具备的条件：方程二次项系数为1，一次项系数为偶数.
【例3】（重庆中考）一元二次方程的根是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
分析：根据“若，则或”，可用因式
分解法把原方程转化为两个一元一次方程求根.
解析：因式分解，得，所以或，所以，.故选D.
答案：D
反思
（1）因式分解法的一般步骤：
移项→分解→转化→解答
（2）使用条件：方程的一边为0，另一边易化为两个一次因式的乘积的形式.
【例4】（山东淄博中考）解方程：.
分析：本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法.根据方程的特征可以发现，此方程适合用公式法或配方法来解.
解：方法1：，，.
因为，
所以.
所以，.
方法2：移项，得.
配方，得，
即.
由此可得或，
所以，.
方法
一元二次方程解法的选择
若没有特别说明，解法选择的基本顺序是直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法，配方法使用较少，除非题目有明显要求才使用.
专题三 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式是判断方程有无实数根的重要工具，主要从两个方面考查：一是利用根的判别式判断一元二次方程根的情况；二是已知一元二次方程根的情况，利用根的判别式求方程中未知字母的取值范围.
【例5】下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
分析：计算各方程的值，根据与0的大小关系进行判断.
解析：选项A，因为，所以方程没有实数根，符合题意；选项B，方程变形为，因为，所以方程有两个相等的实数根，不符合题意；选项C，因为，所以方程有两个不相等的实数根，不符合题意；选项D，因为，所以方程有两个不相等的实数根，不符合题意.故选A.
答案：A
方法
利用根的判别式可以不解方程判断一个一元二次方程根的情况，注意要先将一元二次方程化成一般形式.
【例6】（四川泸州中考）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解析：因为一元二次方程有实数根，所以，解得.故选D.
答案：D
反思
一元二次方程有实数根时，判别式.因此，判别式在求方程的未知字母的取值或取值范围时起限制作用.另外要注意它使用的前提是方程为一元二次方程，应保证.
专题四 一元二次方程的根与系数的关系
根与系数的关系是不解一元二次方程，通过系数就能反映两根特征的依据.在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意要有这个前提条件，而应用判别式的前提条件是二次项系数.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件和.
【例7】（四川南充中考）已知关于x的一元二次方程有实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的取值范围.
分析：（1）根据方程有实数根得到判别式，解不等式即可.
（2）先根据根与系数的关系得到，，再由，得，最后解不等式并利用第（1）题中的结论确定满足条件的m的取值范围.
解：（1）根据题意，得，
解得.
（2）根据题意，得，.
因为，
所以，解得.
由（1），得，
所以m的取值范围为.
反思
本题是有关一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的问题，解答的关键是掌握一元二次方程有实数根的条件及根与系数的关系，.
专题五 一元二次方程的应用
一元二次方程是刻画现实问题的有效数学模型.在实际问题中，读懂题意、分析数量关系、建立方程模型是关键，需要注意以下三点：一是整体地、系统地审清题意；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.
列一元二次方程解应用题是本章的重难点，常见的题目类型有面积问题、平均增长率问题以及商品利润问题等.
【例8】（湖南永州中考）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同.
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
分析：（1）根据平均降低率公式列一元二次方程求
解.（2）根据两次利润总和不少于3120元列不等式求解.
解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x.
根据题意，得，
解得或（不合题意，舍去）.
答：该种商品每次降价的百分率为10%.
（2）设第一次降价后要售出该种商品m件.
根据题意，得
，解得.
答：第一次降价后至少要售出该种商品20件.
反思
列一元二次方程解应用题的两点注意
（1）准确理解题意，厘清数量关系，列出方程；
（2）求出方程的解后，根据问题的实际意义确定符合题意的答案.
思想方法·巧解读
专题一 转化思想
转化思想通常可把复杂的问题转化为简单的问题，把实际问题转化为数学问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，从而达到化繁为简的目的.利用转化思想，可以顺利地解决有关问题，从而提高解决问题的能力.
【例1】（江苏徐州中考）解方程：.
解：因为，
所以，
所以或，
所以，.
方法
解一元二次方程时，如果不能直接开平方，一般先考虑因式分解法，若不行，再考虑其他方法.此题用的是这一方法分解因式.
专题二 分类讨论思想
分类讨论思想不仅可以使问题化难为易，而且可以培养思维的严密性.分类讨论一般分为以下三步：第一步，根据题目需要确定分类讨论；第二步，针对讨论对象进行合理的分类讨论；第三步，对分类讨论结果进行合并，综合得出结论，从而获得问题的解决方案.
【例2】（甘肃武威中考）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是________.
解析：当时，.
因为方程有实数根，所以，
所以，且.
当时，方程的解为.
所以k的取值范围为.
答案：
方法
当方程中二次项的系数含有字母且不能断定此方程是一元二次方程时，一般应分二次项的系数为0和不为0两种情况进行讨论，以避免出现漏解和错解.
专题三 方程思想
方程思想是指对所求的实际问题或数学问题通过列方程（组）使问题得到解决的思想.具体地说就是根据问题中已知量与未知量之间的数量关系，运用数学的符号语言使问题转化为解方程（组）问题.方程思想在初中数学中应用广泛.
【例3】（贵州铜仁中考）如图21-1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点处，交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A.3 B. C.5 D.
解析：因为∠，，
所以，
所以.
由矩形的性质，得，.
设DE的长为x，则，.
在Rt△ABE中，，
即，解得.故选B.
答案：B
方法
求直角三角形或矩形折叠中三角形的未知边长，常通过线段相等转换，利用勾股定理，列一元二次方程来解决.
专题四 整体思想
从问题的整体出发，根据问题的整体结构特征，把大问题转化成一个或几个很容易求解的“小问题”，从而通过求解这些“小问题”来解决大问题，这就是整体思想.利用整体思想可以提高观察能力、分析能力，简化问题的步骤和过程，培养逻辑思维能力.
【例4】在解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，.当，即时，解得；当，即时，解得.所以原方程的解为，.则利用这种方法求得方程的解为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
解析：由题意可知，这种解方程的方法为整体代入法.设，则可化为，解得，.当，即时，解得；当，即时，解得.所以方程的解为，.故选D.
答案：D
方法
当方程中出现相同因式时，利用整体思想解决问题比较简单.