2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第8讲直线与平面、平面与平面平行的判定辅导讲义（无答案）

第8讲　直线与平面、平面与平面平行的判定
教学目标
理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并会用三种语言描述它们．
2．掌握直线与平面平行及平面与平面平行的判定条件，会利用它们来证明或判断有关问题．
二、知识点梳理
知识一、直线与平面平行
1、直线与平面平行的定义：一条直线和平面没有公共点．
2、直线与平面的位置关系及相应的图形与记法．
图9-3-1
①直线在平面内——有无数个公共点，记作aα，如图9-3-1甲所示；
②直线和平面相交——有且只有一个公共点，记作a∩α＝P，如图9-3-1乙所示；
③直线和平面平行——没有公共点，记作a∥α，如图9-3-1丙所示．
我们把直线和平面相交以及直线和平面平行的情况统称为直线在平面外，记作aα．
在画图时要注意以下几点：
①线在面内：直线不要超出表示平面的平行四边形的各条边．
②线面相交：交点到水平线这一段是不可见的，注意画成虚线或不画．
③线面平行：直线要与表示平面的平行四边形的一组对边平行．
3、直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
用符号表示为：若aα，bα，a∥b，则a∥α．
直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
4、直线与平面平行的证明方法：
（1）直线与平面平行的定义；
（2）直线与平面平行的判定定理.
知识二、平面与平面平行
1、平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义（常用反证法）；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行（以后学习）；
（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.
3、定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：
典型例题讲解
考点一、直线与平面平行的判定定理
【例1】已知：空间四边形中，分别是的中点，求证：．
【例2】已知直线a∥直线b，直线a∥平面α,bα， 求证：b∥平面α
【例3】以下命题（其中a，b表示直线，表示平面）
①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则a∥b
③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，b，则a∥b
其中正确命题的个数是 （ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【例4】已知a∥，b∥，则直线a，b的位置关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有 （ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【例5】如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关
系一定是（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB
【例6】已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥平面，∩=l，则l （ ）
A. 与m，n都相交 B. 与m，n中至少一条相交
C. 与m，n都不相交 D. 与m，n中一条相交
【例7】平面与⊿ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，
求证：BC∥平面
【例8】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，
求证：E1E∥B1B
【例9】如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点
（1）求证：平面；
（2）若，， 求异面直线与所成的角的大小
考点二、平面与平面平行的判定定理
【例10】下列命题中不正确的命题是（ ）
A．若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B．若一个平面内任何一条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
C．若两个平面没有公共点，则这两个平面平行
D．若两条直线a、b分别垂直于两个平行平面中的一个，则a与b平行
【例11】α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定平面α和平面β平行的是 ( )
A．α内不共线的三点到β的距离相等
B．
C．l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D．l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
【例12】下列命题中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例13】下列命题中正确的命题个数是（ ）
①若两个平面，，则;
②若两个平面，，则与异面;
③若两个平面，，则与一定相交;
④若两个平面，，则与平行或异面.
A．1 B．2 C．3 D．4
【例14】下列四个命题中正确的命题为 .
①一条直线与两个平行平面所成的角相等；
②一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面必平行；
③一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；
④一条直线与两个相交平面的交线平行，则它必与这两个平面都平行.
【例15】在棱长为a的正方体中，平面与平面之间的距离是 .
【例16】已知平面，和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.
当满足条件 时，有；
（2）当满足条件 时，有.（填条件序号）
【例17】如图1，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，F、H分别是CC1、AA1的中点.
求证：.
(
B
A
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
H
F
)
图1
【例18】如图2，已知平面平面,是异面直线，A、，B、，E、F分别是AB、CD的中点. 求证：.
(
A
B
D
C
E
F
)
图2
课后作业
1．，，则与的关系为（ ）
A．必相交 B．必平行 C．必在内 D．以上均有可能
2．，、，，，则有（ ）
A． B．
C．共面 D．异面，所成角不确定
3．下列四个命题
（1）， （2），
（3）， （4），
正确有（ ）个
A．1 B． 2 C． D．4
4．若a//b//c, 则经过a的所有平面中（ ）
A．必有一个平面同时经过b和c
B．必有一个平面经过b且不经过c
C．必有一个平面经过b但不一定经过c
D．不存在同时经过b和c的平面
5．不同直线和不同平面，给出下列命题： ( )
① ②
③
其中假命题有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．已知直线l1、l2，平面α，l1∥l2，l1∥α，则ｌ2与α的位置关系是 ( )
A．l2∥α B．l2α C．l2∥α或l2α D．l2与α相交
7．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )
①lα,mα,且l∥β,m∥β；②lα,mα,且l∥m；③l∥α,m∥β,且l∥m
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
8．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ）
①α，β分别过两条平行直线；②a，b为异面直线，α过a平行b，β过b平行a；
A ① B ② C ①② D 无
9．下列命题中为真命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．垂直于同一条直线的两个平面平行
C．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．
D．若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行．
二、填空题
10． 下列命题中正确的是 （填序号）；
①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；
④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ；
11． 若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是 ；
12.如右图,点P是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α______时,
投影图象的形状不发生变化.
三、解答题；
13. 如图，在四棱锥P—ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD是正方形，证明：PA//平面EDB；
14.如图：直三棱柱，底面三角形ABC中，，，棱，
M、N分别为A1B1、AB的中点，求证：平面A1NC∥平面BMC1。
15．如图2，在四面体ABCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心. 求证：MN //平面BCD.
(
A
B
C
D
M
N
)
图2
16．如图3，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、G分别是BC、C1D1的中点。求证：.
图3