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突破4.3 对数
A组 基础巩固
1．（2022·广西南宁·高二开学考试）若，则有（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）若，则实数的值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
3．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．5 D．4
4．（2022·全国·高一课时练习）有以下四个结论，其中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
5．（2021·全国·高一专题练习）下列各式：
①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．（2021·全国·高一单元测试）将（且）转化为对数形式，其中错误的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
7．（2021·全国·高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A．e0=1与ln 1=0 B．log39=2与=3
C．=与log8=- D．log77=1与71=7
8．（2021·全国·高一专题练习）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
9．（2021·全国·高一专题练习）若，则有（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·安徽·舒城育才学校高一阶段练习）将指数式化为对数式，其中正确的结果为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若，，则的值约为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·四川绵阳·高二期末（文））酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）
（参考数据：，）
A．12 B．11 C．10 D．9
13．（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022·全国·高一单元测试）若，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·天津·高考真题）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
17．（2022·全国·高三专题练习）（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
18．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022·全国·高三专题练习）设，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·全国·高三专题练习）化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
22．（2022·全国·高一课时练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·广东·华南师大附中高一期末）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是，F为载波频率，单位是，L为传输损耗（亦称衰减）单位为．若传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了，则载波频率变为原来约（ ）倍（参考数据：）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
24．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·辽宁朝阳·高二阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
26．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）十六 十七世纪之交，随着天文 航海 工程 贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即（且），已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．（2021·上海市大同中学高一期中）已知，，则__．
28．（2021·全国·高一课时练习）若，则______.
29．（2021·全国·高一课时练习）若，则______.
30．（2021·吉林·榆树市第一高级中学校高一期中）的值是_______.
31．（2021·全国·高一单元测试）已知，则的值为____．
32．（2022·江苏南通·模拟预测）某容量为万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗，假设每天流进和流出的水均为万立方米，下雨和蒸发正好平衡.用函数表示经过天后的湖水污染质量分数，已知，其中表示初始湖水污染质量分数.如果，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的以下，至少需要经过天___________.（参考数据：）
33．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）______ ．
34．（2022·全国·高一专题练习）计算结果是__________．
35．（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）已知，则______;
36．（2022·全国·高一课时练习）心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）______．
37．（2023·全国·高三专题练习）化简___________.
38．（2022·全国·高一专题练习）___．
39．（2022·北京朝阳·高二期末）计算：___________．
40．（2022·河南许昌·高一期末（理））19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，若，则n的最大值为______．
41．（2022·浙江·镇海中学高二期末）计算：等于___________.
B组 能力提升
42．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
43．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．函数中最小值为
C．若，则
D．若，则
44．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）（多选题）若实数，且，则下列表述正确的是( )
A． B．
C． D．
45．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）（多选题）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
46．（2022·江苏省天一中学高一期末）（多选题）对，表示不超过的最大整数，如，，，我们把，叫做取整函数，也称之为高斯（）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”.早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（ ）最先提及，因此而得名“高斯（）函数”.在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（ ）
A．， B．，
C．，若，则 D．，
47．（2022·吉林松原·高一阶段练习）（多选题）下列各式正确的是（ ）
A．设，则
B．已知，则
C．若，则
D．
48．（2022·江西抚州·高一期末）（多选题）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则
49．（2021·全国·高一课前预习）将下列指数式与对数式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
50．（2021·全国·高一课前预习）将下列指数式与对数式互化：
(1);
(2)；
(3);
(4).
51．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式：
(1)；
(2)；
52．（2022·全国·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
53．（2021·四川·攀枝花七中高一期中）计算下列各式的值：
(1)；
(2).
54．（2021·四川攀枝花·高一期末）化简求值：
(1)
(2).
55．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知，，试用表示；
（2）已知，，试用表示．
56．（2021·江苏省滨海中学高一期中）求解下列问题：
(1)计算化简：
(2)
57．（2020·四川·广安二中高一期中）计算：
(1)；
(2)．
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突破4.3 对数
A组 基础巩固
1．（2022·广西南宁·高二开学考试）若，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数的运算法则及指数与对数的关系计算可得.
【详解】解：由得，则．
故选：D．
2．（2022·全国·高一课时练习）若，则实数的值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】由换底公式对原式变型即可求解.
【详解】∵
,
∴，∴．
故选：A．
3．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．5 D．4
【答案】A
【分析】先求得，然后结合对数运算求得正确答案.
【详解】∵，，∴，，
．
故选：A
4．（2022·全国·高一课时练习）有以下四个结论，其中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】B
【分析】根据对数的性质，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为，，所以A错误，B正确；若，则，故C错误；，而没有意义，故D错误．
故选：B.
5．（2021·全国·高一专题练习）下列各式：
①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据对数的概念和性质，逐项判断，即可得到结果.
【详解】对于①，因为，故①正确；
对于②，因为，故②正确；
对于③，因为，所以，故③错误；
对于④，因为，∴，故④错误.
所以只有①②正确．
故选：B.
6．（2021·全国·高一单元测试）将（且）转化为对数形式，其中错误的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【答案】D
【分析】根据对数式与指数式的关系可得答案.
【详解】根据对数式与指数式的关系，
若，则，即，所以A正确；
若，则，即，所以B正确；
若，则，即，所以C正确；
由得，与已知不等，所以D错误.
故选：D.
7．（2021·全国·高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A．e0=1与ln 1=0 B．log39=2与=3
C．=与log8=- D．log77=1与71=7
【答案】B
【分析】利用指对互化公式进行互化，得出结果.
【详解】对于A，e0=1可化为0=loge1=ln 1，所以A中互化正确；
对于B，log39=2可化为32=9，所以B中互化不正确；
对于C，=可化为log8=-，所以C中互化正确；
对于D，log77=1可化为71=7，所以D中互化正确.
故选：B.
8．（2021·全国·高一专题练习）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
【答案】B
【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误．
【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错；
由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确；
对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选：B.
9．（2021·全国·高一专题练习）若，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数式与对数式的互化即可求解.
【详解】若，
则.
故选：D
10．（2020·安徽·舒城育才学校高一阶段练习）将指数式化为对数式，其中正确的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指对数的关系，直接写出对应的对数式即可.
【详解】由有，结合题设，则有.
故选：D.
11．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若，，则的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由指对互化原则可知，结合换底公式和对数运算性质计算即可.
【详解】由得：.
故选：A.
12．（2022·四川绵阳·高二期末（文））酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）
（参考数据：，）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【分析】由题意，应用对数的运算性质求的范围，即可得结果.
【详解】由题设，想要在不违法的情况下驾驶汽车，则酒精含量小于，
令小时后，，则小时，
所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为11小时.
故选：B
13．（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对数的运算性质求解即可.
【详解】，
故选：C
14．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案．
【详解】因为，，所以
．
故选：D.
15．（2022·全国·高一单元测试）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出，代入化简即得解.
【详解】解：由题得，
所以．
故选：A．
16．（2022·天津·高考真题）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B
17．（2022·全国·高三专题练习）（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据对数的运算法则计算可得.
【详解】解：.
故选：D
18．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用作商法比较的大小，通过比较b与0.8,c与0.8的大小比较b,c的大小，从而得a,b,c的大小.
【详解】解：，
；
，，，；
，，，，
综上，．
故选：．
19．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用换底公式将对数换底，再用放缩法得出 的大小.
【详解】由题得：
又
综上：
故选：A.
20．（2022·全国·高三专题练习）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算性质计算即可.
【详解】解：.
故选：C.
21．（2022·全国·高三专题练习）化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
【答案】A
【分析】运用对数的运算性质即可求解.
【详解】解析：
故选：A.
22．（2022·全国·高一课时练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先换底，然后由对数运算性质可得.
【详解】.
故选：B
23．（2022·广东·华南师大附中高一期末）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是，F为载波频率，单位是，L为传输损耗（亦称衰减）单位为．若传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了，则载波频率变为原来约（ ）倍（参考数据：）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
【答案】B
【分析】由题，由前后两传输公式做差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果
【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，则，，，
则，即，从而，
即载波频率变为原来约2倍.
故选：B．
24．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】三个对数底数不同，真数也不同，选取中间值比较大小
【详解】，，
即，所以
又，
所以，所以
又，所以
所以，所以
故选：C
25．（2022·辽宁朝阳·高二阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用对数函数的单调性、换底公式、指数函数的单调性即可求解
【详解】易知，又，因为，所以，即；又，所以.
故选：B.
26．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）十六 十七世纪之交，随着天文 航海 工程 贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即（且），已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据指数和对数互化以及换底公式，对数的运算即可求解.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
故选：B.
27．（2021·上海市大同中学高一期中）已知，，则__．
【答案】72
【分析】把对数式化成指数式，再利用指数幂运算求得式子的值.
【详解】由，
所以.
故答案为：72
28．（2021·全国·高一课时练习）若，则______.
【答案】8
【分析】根据指数式对数式互化即可解出．
【详解】由得，．
故答案为：8．
29．（2021·全国·高一课时练习）若，则______.
【答案】256
【分析】由化为指数形式求解.
【详解】因为，
所以，
解得，
故答案为：256
30．（2021·吉林·榆树市第一高级中学校高一期中）的值是_______.
【答案】2
【分析】利用指数运算法则及对数性质计算作答.
【详解】.
故答案为：2
31．（2021·全国·高一单元测试）已知，则的值为____．
【答案】
【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合指数幂运算公式进行求解即可.
【详解】由，得，所以，
即，所以，，所以．
故答案为：
32．（2022·江苏南通·模拟预测）某容量为万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗，假设每天流进和流出的水均为万立方米，下雨和蒸发正好平衡.用函数表示经过天后的湖水污染质量分数，已知，其中表示初始湖水污染质量分数.如果，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的以下，至少需要经过天___________.（参考数据：）
【答案】116
【分析】根据题意列不等式，再结合对数计算公式解不等式即可.
【详解】设至少需要经过天，因为要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下，所以，又因为，所以，由题意知，，，所以，整理得，，解得，所以至少需要经过116天.
故答案为：116.
33．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）______ ．
【答案】##
【分析】利用指数幂与对数运算即可求解.
【详解】.
故答案为：.
34．（2022·全国·高一专题练习）计算结果是__________．
【答案】##
【分析】根据指数幂的运算以及对数的运算，进行化简求值，可得答案.
【详解】因为，，，
，
所以
,
故答案为：
35．（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）已知，则______;
【答案】3
【分析】由指对数关系可得，再应用对数的运算性质化简求目标式的值.
【详解】由题设，，
则.
故答案为：3
36．（2022·全国·高一课时练习）心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）______．
【答案】0.021
【分析】该生在5min内能够记忆20个单词，将，带入即可得出结论.
【详解】由题意可知，
所以，，
所以，
解得．
故答案为：0.021.
37．（2023·全国·高三专题练习）化简___________.
【答案】
【分析】利用指数的运算性质、对数的换底公式计算可得结果.
【详解】原式.
故答案为：.
38．（2022·全国·高一专题练习）___．
【答案】
【分析】本题考查指数对数的运算，只需熟悉常用的对数运算性质和指数运算性质，逐一运算即可.
【详解】
＝9
．
故答案为：102.
39．（2022·北京朝阳·高二期末）计算：___________．
【答案】2
【分析】根据对数的运算性质即可求解.
【详解】解：，
故答案为：2.
40．（2022·河南许昌·高一期末（理））19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，若，则n的最大值为______．
【答案】3
【分析】由题可知，所以，进而题目转化成求的问题.
【详解】由可得，，
所以，
又，
所以，，即
所以，
则n的最大值为.
故答案为：.
41．（2022·浙江·镇海中学高二期末）计算：等于___________.
【答案】1
【分析】由对数的定义、对数的换底公式计算．
【详解】.
故答案为：1．
B组 能力提升
42．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ACD
【分析】根据指数式、对数式的概念进行相互转化.
【详解】对于选项A，指数式化为对数式为，故A正确；
对于选项B，指数式化为对数式为，故B错误；
对于选项C，指数式化为对数式为，故C正确；
对于选项D，指数式化为对数式为，故D正确.
故选：ACD.
43．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．函数中最小值为
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，D，根据基本不等式判断C.
【详解】由可得，所以，A对，
当时，函数的函数值为-10，故B错，
当时，，所以，C正确，
取，则，D错，
故选：AC.
44．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）（多选题）若实数，且，则下列表述正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据对数的概念和计算法则逐项计算即可判断.
【详解】，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD.
45．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）（多选题）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用指数、对数、根式的运算法则化简即可.
【详解】因为，所以A错误；
因为，所以B正确；
因为，所以C错误；
因为，所以D正确.
故选：BD.
46．（2022·江苏省天一中学高一期末）（多选题）对，表示不超过的最大整数，如，，，我们把，叫做取整函数，也称之为高斯（）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”.早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（ ）最先提及，因此而得名“高斯（）函数”.在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（ ）
A．， B．，
C．，若，则 D．，
【答案】BC
【分析】根据高斯函数的定义，结合特值法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：不妨取，则，而，故错误；
对B：不妨取，则，而，
满足，故B正确；
对C：因为，故可得同号；
当时，，满足题意；
当同为正数或负数时，设，其中和分别为的整数部分和小数部分，
因为，则，故，又同为小数，且符号相同，故，
即，则，若，则，故C正确；
对D：令，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
则当时，
；
又为单调增函数，故时，取得最大值；
当时，
；
又为单调增函数，故当时，取得最小值，
显然，不存在，使得，故D错误.
故选：BC.
【点睛】本题考察函数新定义问题，涉及对数的运算，函数的单调性、特值法的综合应用，属困难题.
47．（2022·吉林松原·高一阶段练习）（多选题）下列各式正确的是（ ）
A．设，则
B．已知，则
C．若，则
D．
【答案】ABC
【分析】根据指数运算法则和对数运算法则即可判断答案.
【详解】对于A，，故A对；
对于B，，故B对；
对于C，，，，故C对；
对于D，，故D错．
故选：ABC．
48．（2022·江西抚州·高一期末）（多选题）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则
【答案】ABC
【分析】对于A：把根式化为幂的形式，利用幂的运算性质即可求解；
对于B：利用幂的运算性质即可求解；
对于C：利用对数的运算性质直接求解；
对于D：直接求出或即可判断.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：.故B正确；
对于C：.故C正确；
对于D：因为，所以，即，所以或.故D错误.
故选：ABC
49．（2021·全国·高一课前预习）将下列指数式与对数式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用指数式与对数式的互化公式直接求解作答.
(1)
因为，所以有：.
(2)
因为，所以有：.
(3)
因为，所以有：.
(4)
因为，所以有：.
(5)
因为，所以有：.
(6)
因为，所以有：.
50．（2021·全国·高一课前预习）将下列指数式与对数式互化：
(1);
(2)；
(3);
(4).
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】根据指对数间的关系，结合已知等式将对数式化为指数式或将指数式化为对数式即可.
(1)
由已知等式，可得：，即.
(2)
由已知等式，可得：，即.
(3)
由已知等式，两边取对：，可得.
(4)
由已知等式，两边取对：，可得.
51．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）、（2）结合对数函数的定义与性质、对数运算求得不等式的解集.
（1）
由题且，且，得且，
，则，由，
，
化简得，
则或，解得或，
故不等式解集为.
（2）
由题，
则或，解得.
故不等式解集为.
52．（2022·全国·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)0
(2)3
(3)1
【分析】（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可；
（2）提公因式，逐步化简即可求解；
（3）逐步将原式化成只含和形式.
（1）
方法一：（直接运算）原式．
方法二：（拆项后运算）原式
．
（2）
原式
．
（3）
原式
．
53．（2021·四川·攀枝花七中高一期中）计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】利用指数幂运算和对数运算即可求解.
(1)
(2)
54．（2021·四川攀枝花·高一期末）化简求值：
(1)
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数运算公式计算即可；
（2）根据指数运算公式和根式的性质运算化简.
(1)
原式
(2)
原式
.
55．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知，，试用表示；
（2）已知，，试用表示．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）（2）同类型题，根据指数与对数的互化及换底公式即可求解.
【详解】（1），，
，，
；
（2），，
．
56．（2021·江苏省滨海中学高一期中）求解下列问题：
(1)计算化简：
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合根式、指数运算求得正确答案.
（2）结合对数运算求得正确答案.
(1)
.
(2)
.
57．（2020·四川·广安二中高一期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据指数与对数的运算性质计算
(1)
原式
(2)
原式
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