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突破4.3 对数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
考点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
三、题型突破
(一) 求对数型函数的定义域问题
例1．（1）、（2020·全国高一课时练习）在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A．b<2或b>5 B．2C．4（2）．（2021·全国·高一专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以10为底的对数叫做自然对数
D．以e为底的对数叫做常用对数
【变式训练1-1】、（2021·江西省吉水中学高一阶段练习）使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】、（2021·全国·高一课时练习）若有意义，则实数k的取值范围是______.
(二) 对数与指数互化
例2．（1）、（2021·全国·高一单元测试）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
（2）、（多选题）（2021·全国高一专题练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是( )
A．与lg 1＝0 B．＝与log27＝－
C．log39＝2与＝3 D．log55＝1与51＝5
【变式训练2-1】．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．
【变式训练2-2】．将下列指数式与对数式互化：
（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．
(三) 解对数方程
例3．（1）、（2021·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）若，则_______.
（2）．（2021·上海）若，则_____________.
【变式训练3-1】、（2022·上海·华师大二附中模拟预测）方程的解为 __________ .
【变式训练3-2】、（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
例4．（2021·全国·高一课前预习）求下列各式中的值：
(1)；
(2).
【变式训练4-1】、（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）
（1）已知，求的值 ；
（2）已知，分别求，，的值.
(四) 用对数型公式及换底公式化简求值
例5．（1）、（2020·全国高一课时练习）log5＋log53等于（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．log5
（2）、（2021·江苏·高一单元测试）（多选题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】、（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）（多选题）已知实数，满足，则，满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】、（2021·上海市行知中学高三开学考试）已知实数满足：，则________．
例6．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））求下列各式的值：
(1).
(2)
【变式训练6-1】．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）lg(＋).
(五) 与对数有关的条件求值问题
例7、（2020·浙江高一课时练习）已知二次函数的最小值为3，求的值.
例8、（2021·安顺市第三高级中学（文））（1）已知，求的值．
（2）设满足，满足求的值．
例9、（2022·全国·高一课时练习）求解下列问题：
(1)证明：．
(2)已知，且．
求证：．
例10、（2022·天津市第四十二中学高二期末）计算下列各题：
(1)已知，求的值；
(2)求的值.
(六) 对数的综合应用
例11．（1）、十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，
（2）、（2022·广东汕头·高三阶段练习）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（ ）（参考数据：）
A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%
【变式训练11-1】．（2022·全国高三专题练习）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年（即：每经过年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为（参考数据：）.
（1）写出该元素的存量与时间（年）的关系；
（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？
【变式训练11-2】．（2022·江西·高二开学考试）《中华人民共和国国家标准污水综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15mg/L．某企业生产废水中的氨氮含量为450mg/L，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，最少要进行循环的次数为（ ）（参考数据：，）
A．8 B．9 C．10 D．11
四、课堂训练
1．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）求值（ ）
A．8 B．9 C．10 D．1
2．（2022·湖南·高一课时练习）将转化为对数形式，正确的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
3．（2021·江苏·高一专题练习）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·南通市通州区石港中学高二阶段练习）为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高一单元测试）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
6．（2022·全国·高一课时练习）已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·高一专题练习）在中，实数的取值范围为______.
8．（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）计算：___________.
9．（2022·湖南·高一课时练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
10．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试）化简与求值：
(1)
(2).
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突破4.3 对数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
考点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
三、题型突破
(一) 求对数型函数的定义域问题
例1．（1）、（2020·全国高一课时练习）在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A．b<2或b>5 B．2C．4【答案】D
【解析】由对数的意义得，解得且。
所以实数b的取值范围是且。选D。
（2）．（2021·全国·高一专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以10为底的对数叫做自然对数
D．以e为底的对数叫做常用对数
【答案】BCD
【分析】对于A：由对数的定义即可判断；
对于B：用对数的定义即可判断；
对于C：由常用对数的定义即可判断；
对于D：由自然对数的定义即可判断.
【详解】对于A：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A正确；
对于B：只有符合，且，才有，故B错误；
对于C：以10为底的对数叫做常用对数，故C错误；
对于D：以e为底的对数叫做自然对数，故D错误.
故选：BCD.
【变式训练1-1】、（2021·江西省吉水中学高一阶段练习）使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数的意义建立不等式组求解即可.
【详解】要使式子有意义，
则，即，
解得或，
所以x的取值范围是.
故选：D
【变式训练1-2】、（2021·全国·高一课时练习）若有意义，则实数k的取值范围是______.
【答案】
【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解.
【详解】若有意义，则满足，解得.
故答案为：
(二) 对数与指数互化
例2．（1）、（2021·全国·高一单元测试）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】BD
【分析】根据指数式与对数式的互化公式，依次验证每个选项即可得解.
【详解】对于A，可化为：，故不正确；
对于B，可化为：，故正确；
对于C，可化为：，故不正确；
对于D，可化为：，故正确.
故选：BD
（2）、（多选题）（2021·全国高一专题练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是( )
A．与lg 1＝0 B．＝与log27＝－
C．log39＝2与＝3 D．log55＝1与51＝5
【答案】ABD
【分析】
根据指数式与对数式互化的结论逐个分析可得答案.
【详解】
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C不正确；
对于D，，D正确.
故选：ABD.
【变式训练2-1】．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．
【分析】根据对数的定义进行转化．
【答案】解：（1）lg100＝2，（2）eb＝a，（3）log7343＝3；（4）6﹣2＝．
【变式训练2-2】．将下列指数式与对数式互化：
（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．
【分析】根据指数式ax＝N等价于对数式x＝logaN，可将指数式与对数式互化．
【答案】解：（1）log216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；
（3）43＝64可化为：log464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．
(三) 解对数方程
例3．（1）、（2021·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）若，则_______.
【答案】##
【分析】将对数式化为指数式，由此求得的值.
【详解】依题意，所以.
故答案为：
（2）．（2021·上海）若，则_____________.
【答案】
【分析】
根据对数的运算性质计算可得；
【详解】
解：
因为，所以
故答案为：
【变式训练3-1】、（2022·上海·华师大二附中模拟预测）方程的解为 __________ .
【答案】
【分析】由题意知，可求出的值，再结合真数大于零进行检验，从而可求出最终的解.
【详解】由，得，所以，又因为且，所以；
故答案为：.
【变式训练3-2】、（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
【答案】D
【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果.
【详解】∵，∴，∴.
故选：D.
例4．（2021·全国·高一课前预习）求下列各式中的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】根据对数的定义及指对数式的互化即可求得答案.
(1)
由题意，.
(2)
由题意，.
【变式训练4-1】、（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）
（1）已知，求的值 ；
（2）已知，分别求，，的值.
【答案】（1）4；（2），，=18
【分析】（1）利用对数式的运算化简后，变形即可得出或，再结合要是对数式有意义即可得出答案.
（2）将等式两边平方即可求处；先算出的值，即可求出的值；利用立方和公式可得，由此即可求出答案.
【详解】（1）要使对数式有意义，必须满足.
在此前提下，原等式可化为.
从而，即.
因为，上式等号两边同除以，得.
解得或
当时，，不合题意，故舍去；
当时，，符合题意，故的值是4.
（2）将两边平方，得，
得；
.
由知，从而，故=3；
(四) 用对数型公式及换底公式化简求值
例5．（1）、（2020·全国高一课时练习）log5＋log53等于（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．log5
【答案】A
【解析】因为.
故选：A.
（2）、（2021·江苏·高一单元测试）（多选题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】设，得到，，，然后依次利用对数的性质以及对数的运算，结合换底公式、基本不等式等对选项逐一判断即可．
【详解】解：设，则，，，显然，，，
对于，由于，所以，即，故选项错误；
对于，，即，，即，所以，故选项正确；
对于，，即，故选项正确；
对于，，由于，即，所以，即，故选项正确．
故选：．
【点睛】本题考查了数值大小的比较问题，同时考查了对数的运算性质、换底公式的应用、基本不等式的应用、放缩法的应用，综合性强，考查了逻辑推理能力与化简运算能力．
【变式训练5-1】、（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）（多选题）已知实数，满足，则，满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用指数与对数的互换得到，，令，因为，则，利用的范围，依次判断四个选项中的不等式，即可得到答案．
【详解】因为，
所以，，
令，因为，则，
则，，
对于选项，，
因为，所以，
故选项正确；
对于选项，，
故选项错误；
对于选项，，因为在上单调递增，
所以，
故选项正确；
对于选项，在上单调递增，
所以，
故选项正确．
故选：．
【变式训练5-2】、（2021·上海市行知中学高三开学考试）已知实数满足：，则________．
【答案】
【分析】由已知指数式化为对数式求出的值，再由对数的运算性质求出.
【详解】因为，所以，
则．
故答案为：,
例6．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））求下列各式的值：
(1).
(2)
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用有理数指数幂及根式的运算即可得到答案；
（2）利用对数的运算性质即可得到答案
（1）
；
（2）
【变式训练6-1】．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）lg(＋).
【答案】（1）；（2）－1；（3）1；（4）.
【解析】
（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝.
（4）原式＝＋＝＝＝.
(五) 与对数有关的条件求值问题
例7、（2020·浙江高一课时练习）已知二次函数的最小值为3，求的值.
【答案】1.
【解析】∵的最小值为3，
∴，，
即，∴，则，∴.
∴.
例8、（2021·安顺市第三高级中学（文））（1）已知，求的值．
（2）设满足，满足求的值．
【答案】（1）；（2）1.
【分析】
（1）利用对数运算化简已知条件，因式分解然后求得的值.
（2）利用换元法化简已知条件，结合函数的单调性求得.
【详解】
（1）由得，
∴
∴，∴，
即或4．
又，
∴舍去，故．
（2）由题意得，，
令，则．
∵在单调递增，
∴，
∴．
【点睛】
本小题主要考查对数运算，考查对数型函数的单调性，属于中档题.
例9、（2022·全国·高一课时练习）求解下列问题：
(1)证明：．
(2)已知，且．
求证：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）结合换底公式以及对数运算证得等式成立.
（2）令，结合指数运算，通过证明等式左边右边来证得等式成立.
（1）
左边右边
（2）
令，则，，，
所以，
，
所以．
例10、（2022·天津市第四十二中学高二期末）计算下列各题：
(1)已知，求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，再根据换底公式及对数的运算性质计算可得；
（2）根据换底公式及对数的运算性质计算可得；
(1)
解：因为，所以、，
所以，，
所以；
(2)
解：
(六) 对数的综合应用
例11．（1）、十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________
【答案】 1
【解析】
，，
；
.
故答案为：；1
（2）、（2022·广东汕头·高三阶段练习）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（ ）（参考数据：）
A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%
【答案】D
【分析】由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．
【详解】解：由题意知，，
即，
即，
所以，解得．
故选：D．
【变式训练11-1】．（2022·全国高三专题练习）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年（即：每经过年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为（参考数据：）.
（1）写出该元素的存量与时间（年）的关系；
（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根据半衰期的定义可得出函数解析式；
（2）利用指数与对数式的互化解方程，求得即可得解.
【详解】
（1）由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的，
所以，该元素的存量与时间（年）的关系式为，；
（2）由可得，
所以，，.
因此，该古生物距今大约年.
【变式训练11-2】．（2022·江西·高二开学考试）《中华人民共和国国家标准污水综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15mg/L．某企业生产废水中的氨氮含量为450mg/L，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，最少要进行循环的次数为（ ）（参考数据：，）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】根据题目要求列方程，利用对数运算求得正确答案.
【详解】由题，设至少循环次，才能达到国家排放标准，则，
即，两边同时取对数，可得，
所以，所以至少要进行9次循环．
故选：B
四、课堂训练
1．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）求值（ ）
A．8 B．9 C．10 D．1
【答案】B
【分析】根据对数运算公式和指数运算公式计算即可.
【详解】因为，
，
所以，
故选：B.
2．（2022·湖南·高一课时练习）将转化为对数形式，正确的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【答案】C
【分析】根据指数式和对数式间的互化公式求解即可．
【详解】根据对数的定义和．
故选：C．
3．（2021·江苏·高一专题练习）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据对数的基本性质，，解方程即可求出的值.
【详解】因为，所以，
所以，所以.
故选：A
4．（2022·江苏·南通市通州区石港中学高二阶段练习）为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】理解题意，把已知数据代入公式计算即可.
【详解】由题意，可得，
.
故选：B.
5．（2022·全国·高一单元测试）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】BD
【分析】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D.
【详解】解：对于选项A，由换底公式可得，故A不正确；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，设，两边分别平方可得，因为，所以，故，故C不正确；
对于选项D，，故D正确．
故选：BD．
6．（2022·全国·高一课时练习）已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】正数x，y，z满足，设，
则，，．
对于A，，故A正确；
对于B，，，，
∵，∴，
∵，∴，∴，故B错误；
对于C，由（），两边平方，可得，故C正确；
对于D，由，可得（），故D正确．
故选：ACD
7．（2021·全国·高一专题练习）在中，实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据对数的概念与性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，要使式子有意义，则满足，
解得或，即实数的取值范围为.
故答案为：.
8．（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）计算：___________.
【答案】3
【分析】利用指数幂及对数的运算性质化简求值即可.
【详解】原式.
故答案为：3
9．（2022·湖南·高一课时练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由对数的定义改写；
（2）由对数的定义改写；
（3）由对数的定义改写；
（4）由对数的定义改写．
(1)
由对数定义得；
(2)
由对数定义得；
(3)
由对数定义得；
(4)
由对数定义得．
10．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试）化简与求值：
(1)
(2).
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）根据指数的运算法则及性质运算求解；
（2）根据对数的运算法则及性质求解.
（1）
原式
.
（2）
原式
.
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