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突破4.4 对数函数
A组 基础巩固
1．（2018·陕西·安康市教学研究室三模）函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）若，则下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））已知直线过函数（，且）的定点T，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
5．（2022·陕西师大附中高三开学考试（文））已知定义在R上的偶函数在区间上递减．若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广东·珠海市第一中学高三阶段练习）已知奇函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的偶函数，当时，．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·浙江大学附属中学高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（ ）
A．闻阈的声强级为0dB
B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）
C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
13．（2021·四川省德阳中学校高一阶段练习）我们通常以分贝为单位来表示声音大小的等级，分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：．若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为（ ）
A．40 B．100 C．40000 D．10000
14．（2022·山西太原·高三阶段练习）已知函数的定义域为，则实数a的取值范围为________．
15．（2022·陕西渭南·高二期末（文））若，，，则，，的大小关系为________．
16．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）函数的定义域为______．
17．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为____________
18．（2021·全国·高一专题练习）已知函数的图象恒过定点为_________________．
19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．
20．（2022·上海徐汇·二模）设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是______________．
21．（2020·陕西·安康市教学研究室一模（文））已知定义在上的函数满足，且的图象关于点对称，当时，，则______．
22．（2022·河南·高三阶段练习（文））函数的定义域为______．
23．（2022·贵州·高二开学考试）设函数满足：①对，；②，且，都有．则该函数的解析式可以是________．
24．（2022·湖北·高三开学考试）若函数在区间上为减函数，则的取值范围是___________.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是________．(填序号)
①为奇函数；
②为偶函数；
③在上单调递减；
④在上单调递增．
26．（2022·山西·太原五中高二阶段练习）函数的单调减区间为____________．
27．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）函数的定义域为_______
28．（2022·湖南·邵阳市第二中学高二期中）函数的单调递增区间为__________.
29．（2022·全国·高三专题练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与参考声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（单位：分贝）与喷出的泉水高度满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为，若同学大喝一声的声强大约相当于10个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为______dm．
B组 能力提升
30．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的定义域是 B．是偶函数
C．在区间上是增函数 D．的图象关于直线对称
31．（2022·浙江大学附属中学高一期末）（多选题）已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（2022·福建·上杭县第五中学高三阶段练习）（多选题）下列函数中在区间内单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
33．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）（多选题）关于函数说法正确的是（ ）
A．定义域为 B．图象关于轴对称
C．图象关于原点对称 D．在内单调递增
34．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
35．（2022·河北深州市中学高一期末）（多选题）已知函数，且的图象过两点，则下列函数图象（部分）正确的是（ ）
A． B．
C． D．
36．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知正数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
37．（2022·全国·高一）（多选题）已知函数在R上存在最小值，则实数m的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
38．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
39．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）若，则下列命题正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点（0，0）中心对称
C．没有最小值 D．没有最大值
40．（2022·天津南开·高二期末）已知函数
(1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；
(2)对于，恒成立，求实数m的取值范围.
41．（2022·贵州·遵义四中高一期末）已知函数=．
(1)判断的奇偶性；
(2)求在的值域．
42．（2021·广东·佛山市顺德区文德学校高一阶段练习）已知函数，其中且
(1)求的值并写出函数的解析式；
(2)求函数的定义域，再判断并证明函数的奇偶性；
(3)已知在定义域上是单调递减函数，求使的的取值范围．
43．（2021·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习）对于函数，解答下列问题：
(1)若函数定义域为，求实数的取值范围；
(2)若函数在内为增函数，求实数的取值范围．
44．（2022·海南·嘉积中学高一阶段练习）已知函数（，）．
(1)求解关于x的不等式；
(2)若，恒成立，求实数a的取值范围．
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突破4.4 对数函数
A组 基础巩固
1．（2018·陕西·安康市教学研究室三模）函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当时，根据函数的极值可以排除C、D，当时，根据函数的单调性可以排除B，从而得到结果.
【详解】当时，，在处取得最小值，排除C、D，
当时，为减函数，
故选:A．
2．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.
【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，
故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
3．（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）若，则下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用对数的性质判断各式的大小关系.
【详解】由，即.
故选：A
4．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））已知直线过函数（，且）的定点T，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】根据求出点，再代入直线方程得到，最后利用基本不等式里“1”的妙用求最值.
【详解】函数过定点，所以，
将代入直线，得，即，
因为，，
所以，
当且仅当，即，时“=”成立.
故选：C.
5．（2022·陕西师大附中高三开学考试（文））已知定义在R上的偶函数在区间上递减．若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由是偶函数在上递减，故在上递增，然后比较的自变量，进而判断得结果.
【详解】因为定义在R上的偶函数在区间上递减，
所以在上递增，
，，，
因为，在上递增，
所以，即，
故选：B.
6．（2022·广东·珠海市第一中学高三阶段练习）已知奇函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用奇偶性改变自变量的符号，利用单调性脱掉函数记号，即可求解
【详解】因为为奇函数，所以，
所以原不等式可化为，
即，因为单调递增，且，
所以，解得.
故选：C
7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
【答案】C
【分析】作出函数的图象结合可得到a,b的取值范围以及a,b之间的关系式，整理变形即可判断出答案.
【详解】作出函数的图象，如图：
由题意可知，，且由图象可知，，
所以即，
所以，即，，
即，
故选：C
8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论最值，当时，当时，分别求出最值解方程，即可得解.
【详解】若，则在上单调递减，则，不符合题意；
若，则在上单调递增，则，
又因为的值域为，所以，解得．
故选：A．
9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出的定义域为，再解不等式即得解.
【详解】解：因为，所以的定义域为，
由题得，所以或.
所以函数的定义域为.
故选：B
10．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数为的偶函数，得出该函数在上为减函数，结合性质得出，比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系．
【详解】由函数为的偶函数，且在上是增函数，则该函数在上为减函数，且有，
则，，，
，且，
，由于函数在上为减函数，
所以，，因此，，
故选：B．
11．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的偶函数，当时，．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断出在上单增，再由偶函数得，由结合单调性即可求解.
【详解】易得在上单增，，又，，
则，则，即.
故选：C.
12．（2022·浙江大学附属中学高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（ ）
A．闻阈的声强级为0dB
B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）
C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
【答案】C
【分析】根据题设可得，令求声强级判断A；将、代入求声强范围判断B；对对应声强级作商、对应声强作商判断C、D.
【详解】由题意，则，故，
当时，dB，A正确；
若，即，则；若，即，则，故歌唱家唱歌时的声强范围（单位：），B正确；
将对应的声强级作商为，C错误；
将对应声强作商为，D正确.
故选：C
13．（2021·四川省德阳中学校高一阶段练习）我们通常以分贝为单位来表示声音大小的等级，分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：．若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为（ ）
A．40 B．100 C．40000 D．10000
【答案】D
【分析】根据题干中给出的表达式分别计算出90dB的声音与50dB的声音对应的声音强度,作比得到答案.
【详解】由题意可知,当声音强度的等级为90dB时,有,得；此时对应的强度.
当声音强度的等级为50dB时,有,得,此时对应的强度.
∴90dB的声音与50dB的声音强度之比为.
故选：D.
14．（2022·山西太原·高三阶段练习）已知函数的定义域为，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【分析】首先把题目转化为在上恒成立，再利用即可得解.
【详解】因为的定义域为，
所以恒成立，
所以，所以．
故实数a的取值范围是．
故答案为：.
15．（2022·陕西渭南·高二期末（文））若，，，则，，的大小关系为________．
【答案】##
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】解：因为，，
又，即，
所以；
故答案为：
16．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）函数的定义域为______．
【答案】
【分析】根据对数的真数大于得到不等式，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得或，
所以函数的定义域为；
故答案为：
17．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为____________
【答案】
【分析】由恒成立可得定点坐标.
【详解】当时，，.
故答案为：.
18．（2021·全国·高一专题练习）已知函数的图象恒过定点为_________________．
【答案】
【分析】令，求出即可求解.
【详解】由题意令，解得，
所以，
所以函数恒过定点.
故答案为：
19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．
【答案】
【分析】根据对数型函数的性质，结合幂函数的定义进行求解即可.
【详解】因为，所以，设幂函数，
因为幂函数 的图象经过，
所以，
因此，
故答案为：
20．（2022·上海徐汇·二模）设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是______________．
【答案】或.
【分析】先求出的解析式，若存在反函数，则在每段单调且各段值域无重合，计算得解.
【详解】当时，，，是定义在上的奇函数，所以，即时，，所以，
若存在反函数，则在每段单调且各段值域无重合，
当，，；
所以或
所以或.
故答案为：或.
21．（2020·陕西·安康市教学研究室一模（文））已知定义在上的函数满足，且的图象关于点对称，当时，，则______．
【答案】
【分析】根据函数的对称性可推导出函数具有周期性，且周期为8，进而根据周期和对称即可求解.
【详解】因为的图象关于点对称，所以．
又，所以，所以，
则，所以
．因为，，所以．
故答案为：
22．（2022·河南·高三阶段练习（文））函数的定义域为______．
【答案】
【分析】由题意，利用偶次根式、对数函数的性质，列出不等式组求解．
【详解】由题知，解得，即，
所以函数的定义域为．
故答案为：．
23．（2022·贵州·高二开学考试）设函数满足：①对，；②，且，都有．则该函数的解析式可以是________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用对数的性质考虑且，又因为函数在上单调递增，所以.
【详解】因为函数满足：①对，；
考虑函数且，
因为函数满足：②，且，都有．
即函数在上单调递增，
所以（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
24．（2022·湖北·高三开学考试）若函数在区间上为减函数，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性，分类讨论对数底数的范围，结合二次函数的单调性及真数大于0求解即可.
【详解】令，
当时，是增函数，由在区间上为减函数，
则在上为减函数，故，解得，
当时，是减函数，由在区间上为减函数，则在上为增函数，故，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是________．(填序号)
①为奇函数；
②为偶函数；
③在上单调递减；
④在上单调递增．
【答案】①③
【分析】根据函数奇偶性的定义及判定方法，可判定①正确，②不正确；结合基本初等函数的性质，以及复合函数单调性的判定方法，可判定③正确，④不正确．
【详解】由题意，函数，令，解得或，
即函数的定义域为，
又由，
所以函数为定义域上的奇函数，所以①正确，②不正确；
又由，
令，其中且，可得，
因为在上单调递减，且，
所以在上单调递减，所以③正确；
又因为函数为定义域上的奇函数，所以在上单调递减，
所以④不正确．
故答案为：①③.
26．（2022·山西·太原五中高二阶段练习）函数的单调减区间为____________．
【答案】（左端点可取）
【分析】先求出函数的定义域，再求出在定义域内的单调递减区间即可．
【详解】令，解得，故的定义域为，
的对称轴为，则在单调递减，
又因为在上单调递增，
则的单调递减区间为．
故答案为：．
27．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）函数的定义域为_______
【答案】
【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：，
故答案为：.
28．（2022·湖南·邵阳市第二中学高二期中）函数的单调递增区间为__________.
【答案】
【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，即可得答案.
【详解】由题意得，解得或，
设，则，
根据复合函数的单调性的求法可得，求增区间，即求的减区间，
因为为开口向上的抛物线，对称轴为，
所以的减区间为，
所以的增区间为.
故答案为：
29．（2022·全国·高三专题练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与参考声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（单位：分贝）与喷出的泉水高度满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为，若同学大喝一声的声强大约相当于10个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为______dm．
【答案】45
【分析】根据对数的运算可求同学大喝一声激起的涌泉最高高度.
【详解】设同学的声强为，喷出泉水高度为，
则同学的声强为，喷出泉水高度为50 dm，
由，得 ①，
∵，∴ ②，①－②得，
解得，∴同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45 dm．
故答案为：45.
B组 能力提升
30．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的定义域是 B．是偶函数
C．在区间上是增函数 D．的图象关于直线对称
【答案】BCD
【分析】对于A，直接由真数大于零可求出函数的定义域，对于B，由偶函数的定义求解判断，对于C，根据复合函数单调性的判断方法求解，对于D，通过比较与的关系判断.
【详解】对于A，由题意可得函数，
由可得，故函数定义域为，故A错误；
对于B，的定义域为，
设，所以，
即是偶函数，故B正确：
对于C，
令，可得，
当时，是减函数，外层函数也是减函数，
所以函数在区间上是增函数，故C正确；
对于D, ，得的图象关于
直线对称，故D正确.
故选：BCD.
31．（2022·浙江大学附属中学高一期末）（多选题）已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】由题意得关系后对选项逐一判断
【详解】由题意得，且，则，
故，故A错误，
对于B，，而，故，故B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D正确，
故选：CD
32．（2022·福建·上杭县第五中学高三阶段练习）（多选题）下列函数中在区间内单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据函数解析式直接判断出函数的单调性，判断出AC选项，根据图象判断出D选项，根据同增异减判断B选项.
【详解】在上单调递增，故A错误；
可以看出，的复合，由同增异减可知在区间内单调递减，B正确；
定义域为，由同增异减可知在上单调递增，故C错误；
的图象如图所示，可以看出：在上单调递减，D正确.
故选：BD
33．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）（多选题）关于函数说法正确的是（ ）
A．定义域为 B．图象关于轴对称
C．图象关于原点对称 D．在内单调递增
【答案】ACD
【分析】由即可求出其的定义域；利用可判断为奇函数；求利用复合函数的单调性即可判断在内的单调性.
【详解】因为,
所以，
所以定义域为，故A正确；
因为，
所以图象关于原点对称，故B错误，C正确;
又在上单调递减，
所以在上单调递增，
又在上单调递增，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
34．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
【答案】BC
【分析】由题可得函数的定义域，化简函数，分析函数的单调性和对称性，从而判断选项.
【详解】函数的定义域满足 ，即，
即函数的定义域是，
∵，
设，则函数在单调递增，在单调递减，
又函数单调递增，
由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故A错误，B正确；
因为,,
所以，即函数图象关于直线对称，故C正确；
又，，
所以，所以D错误．
故选：BC．
35．（2022·河北深州市中学高一期末）（多选题）已知函数，且的图象过两点，则下列函数图象（部分）正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出常数a，b的值，再逐项分析即可判断作答.
【详解】由函数的图象过两点，则有，解得，
对于A，函数的图象过点，点，A正确；
对于B，函数的图象过点，点，B正确；
对于C，函数的图象不过点，C不正确；
对于D，函数的图象过点，点，D正确.
故选：ABD
36．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知正数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】设，可得，，；根据对数运算法则和换底公式可表示出和，根据对数函数单调性可确定结果.
【详解】为正数，可设，则，，；
对于AB，，
，，又，，A正确，B错误；
对于CD，，
，，又，，C错误，D正确.
故选：AD.
37．（2022·全国·高一）（多选题）已知函数在R上存在最小值，则实数m的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【分析】探讨分段函数的单调性，再根据给定条件求出m的取值范围即可判断作答.
【详解】当时，函数是单调递减的，，，
当时，是单调递增的，，，
因函数在R上存在最小值，则当且仅当，解得，
所以实数m的可能取值为-1，0.
故选：AB
38．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】分和两种情况讨论两个函数的单调性进行判断.
【详解】当时，在单调递增且其图象恒过点，
在单调递增且其图象恒过点，
则选项B符合要求；
当时，在单调递减且其图象恒过点，
在单调递减且其图象恒过点，
则选项D符合要求；
综上所述，选项B、D符合要求.
故选：BD.
39．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）若，则下列命题正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点（0，0）中心对称
C．没有最小值 D．没有最大值
【答案】AD
【分析】由题意得出的奇偶性，从而可判断选项A,B;由，结合对数函数的单调性可判断选项C,D.
【详解】，所以为偶函数. 则选项A正确，选项B不正确.
设，所以（当时取得等号）
当或时，，则，所以没有最大值.
所以选项C不正确，选项D正确.
故选：AD
40．（2022·天津南开·高二期末）已知函数
(1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；
(2)对于，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，奇函数
(2)
【分析】（1）利用真数大于0建立不等式，即可求得函数的定义域，再利用奇偶函数的定义，即可判断函数的奇偶性；
（2）将问题转化为在恒成立，利用二次函数的性质，求出的最小值即可求解．
(1)
由，即，解得或，
所以函数的定义域为；
函数的定义域关于原点中心对称，
又因为，
所以是奇函数；
(2)
因为时，恒成立，
所以恒成立，
因为，所以在恒成立，
令，，
由二次函数的性质可知，时函数单调递增，时函数单调递减，
而，所以，
所以，即实数的取值范围为．
41．（2022·贵州·遵义四中高一期末）已知函数=．
(1)判断的奇偶性；
(2)求在的值域．
【答案】(1)奇函数
(2)
【分析】（1）由奇偶性的定义判断
（2）由对数函数性质求解
(1)
，则，的定义域为，
，故是奇函数
(2)
，当时，，
故，
即在的值域为
42．（2021·广东·佛山市顺德区文德学校高一阶段练习）已知函数，其中且
(1)求的值并写出函数的解析式；
(2)求函数的定义域，再判断并证明函数的奇偶性；
(3)已知在定义域上是单调递减函数，求使的的取值范围．
【答案】(1)，；
(2), 奇函数，证明见解析；
(3)
【分析】（1）由，代入解析式即可解得和函数的解析式
（2）由解得定义域，验证定义域的对称性及奇偶性的定义即可得到奇偶性的结果.
（3）结合函数的单调性及，求解即可.
(1)
由，
，解得 ，.
(2)
由得，，解得，
所以函数的定义域为，该定义域关于原点对称，
又 ，
即，所以函数在上为奇函数.
(3)
由在定义域上单调递减，，得，又，所以.
43．（2021·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习）对于函数，解答下列问题：
(1)若函数定义域为，求实数的取值范围；
(2)若函数在内为增函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由定义域为R得到不等式，分与两种情况进行求解；（2）由复合函数单调性及定义域得到在为减函数，且在的函数值为正，从而建立不等式组，求出实数的取值范围.
(1)
函数定义域为，即恒成立，
当时，不恒成立，不满足题意，
当时，则，解得：，
综上，实数的取值范围为；
(2)
若函数在内为增函数，
则在为减函数，且在的函数值为正，
，解得：，故实数的取值范围是．
44．（2022·海南·嘉积中学高一阶段练习）已知函数（，）．
(1)求解关于x的不等式；
(2)若，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)
【分析】（1）由得或，分与讨论即可求得不等式的解集；
（2）若，恒成立恒成立，解得或，分与讨论即可求得答案．
(1)
解：由得
∴或
当时，解不等式可得：或
当时，解不等式可得：或
综上所述：当时，的解集为；
当时，的解集为．
(2)
解：若，恒成立，即，恒成立，，即
∴或
①当时，，
∴或，解得：
②当时，，
∴或，解得：
综上所述：a的取值范围为．
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