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突破4.4 对数函数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0
图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
三、题型突破
(一) 对数函数的概念与图像
例1、（1）、（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（ ）
A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c
【答案】C
【分析】根据对数函数的图象性质即可求解.
【详解】由图可知a>1，b>1，0a>1>d>c．
故选：C．
（2）．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校）若函数的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据函数的图象经过点(4，2)可求出的值，把的值代入函数的解析式，从而根据函数的定义域及单调性排除选项.
【详解】
由题意可知f(4)＝2，即a3＝2，所以a＝.
所以，
因为函数的定义域为，且函数在定义域内单调递减，所以排除选项A，B，C.
故选：D.
【变式训练1-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．
【详解】，即为，即有ab＝1.
当a＞1时，0＜b＜1，
函数与均为减函数，四个图像均不满足
当0＜a＜1时，b＞1，
函数数与均为增函数，排除ACD
在同一坐标系中的图像可能是B，
故选：B．
【变式训练1-2】、（2022·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】确定函数的奇偶性与单调性，由排除法确定正确选项．
【详解】函数定义域是，，因此函数为偶函数，排除BC，
时，函数式为是增函数，排除D，
故选：A．
(二)、 比较大小
例2．（1）、（2022·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习（理））设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可.
【详解】由，
所以.
故选：D
（2）、（2021·江西高三月考（文））已知，，，则，，的大小关系为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.
【详解】
∵，，，
∴．
故选：C.
【变式训练2-1】、（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.
【详解】，
因为在R上为减函数，所以，
因为在上为增函数，所以，所以，
所以，
故选：D.
【变式训练2-2】、（2022·全国·高一课时练习）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的单调性判断出，，，即可得到正确答案.
【详解】因为为减函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
所以.
故选：D
、对数函数过定点问题
例3.（1）、（2022·全国·高一课时练习）函数(且)的图象恒过定点_________
【答案】
【分析】令对数的真数为，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；
【详解】解：因为函数(且)，
令，解得，所以，即函数恒过点；
故答案为：
（2）、（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用真数为可求得定点的坐标.
【详解】
对于函数，令，可得，则，
因此，函数的图象过定点.
故选：C.
【变式训练3-1】．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校）已知函数且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】
先求得函数且的定点，再根据点在幂函数的图象上，求得幂函数的解析式即可.
【详解】
令，得，
所以函数且的图像恒过定点，
设幂函数为，
因为点在幂函数的图象上，
所以，解得，
所以，
故选：B
【变式训练3-2】．（2021·渤海大学附属高级中学）(多选)已知函数的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
先判断函数图象恒过的定点A，再逐一判断选项函数是否过该定点A即可.
【详解】
令，得，即函数的图象恒过点．
选项A中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；
选项B中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；
选项C中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；
选项D中，函数，令，得，此时函数图象不过点，不满足题意．
故选:ABC．
(四) 、有关对数函数奇偶性问题
例4．（1）、（2022·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）为上的偶函数，时，，，则下述关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据为偶函数，在上单调递增，结合求解.
【详解】时，，
在上单调递增，
为上的偶函数，
，
，，
∵，
∴，
故选：C
（2）、（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高三开学考试）若是奇函数，当时，，则___________．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可得，，代入解析式即可求解.
【详解】∵是奇函数，当时，，
∴，，
∴.
故答案为：.
【变式训练4-1】．（2020·全国高三课时练习（理））“”是“函数为奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
时， ，当 时， ，函数为奇函数；当 时，，函数不是奇函数时， 不一定奇函数，当是奇函数时，由可得，所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件 ，故选B.
【变式训练4-2】、（2023·全国·高三专题练习）设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由于是上递减的偶函数，故只需要比较选项中自变量的绝对值的大小，结合指数函数，对数函数的单调性即可比较.
【详解】由，即，注意到，由，故，即，又根据指数函数性质，是上的减函数，故，即，于是，又是上递减的偶函数，则.
故选：B
(五) 、有关对数函数定义域问题
例5．（1）、函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
【答案】C
【解析】：选C 根据题意得 解得x>2且x≠3，故选C.
（2）、（2022·山东日照·高二开学考试）函数的定义域为___________.
【答案】
【分析】直接解不等式组求出定义域即可.
【详解】由题意知，，解得，则函数的定义域为.
故答案为：.
【变式训练5-1】．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先由对数函数的定义域得到在R上恒成立，再由判别式求出实数a的取值范围即可.
【详解】根据条件可知在R上恒成立，则，且，解得，故a的取值范围是.
故答案为：.
【变式训练5-2】．（2021·乾安县第七中学（文））若函数的定义域为，则实数的取值范围是________
【答案】
【分析】
根据函数的定义域为，转化为，对恒成立求解.
【详解】
因为函数的定义域为，
所以，对恒成立，
当时，解得，不成立，
当时，由，
解得，
综上：实数的取值范围是.
故答案为：
(六) 、对数型复合函数的单调性问题
例6．（2022·甘肃·武威十八中高三阶段练习（文））已知函数.
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间及值域.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为；值域为
【分析】（1）令，解不等式即可求得定义域；
（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得，结合对数函数单调性可求得值域.
（1）
由得：，的定义域为.
（2）
令，在上单调递增；在上单调递减；
又在上单调递减，
的单调递增区间为；单调递减区间为，
，，
的值域为.
【变式训练6-1】．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，有意义时的取值范围为，其中为实数．
(1)求的值；
(2)写出函数的单调区间，并求函数的最大值．
【答案】(1)
(2)增区间为 ，减区间为，最大值为
【分析】（1）由一元二次不等式的解集，结合韦达定理可解；
（2）根据复合函数的单调性将问题转化为求内层函数的单调区间问题，然后可得.
（1）
因为有意义时的取值范围为，
所以的解集为，
所以和是方程的两根．
由韦达定理可得，解得．
（2）
由（1）知，，
令，
因为为增函数，且在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时 ，取得最大值
(七) 、对数型复合函数的最值问题
例7．（2021·云南省昆明市第十中学高一阶段练习）已知函数的定义域为M
(1)求定义域M，并讨论函数的单调性：
(2)当时，求的最值及相应的x的值.
【答案】(1)定义域或，单调递增区间，单调递减区间
(2)时，最大值为，无最小值
【分析】（1）由对数的真数大于0可得定义域，根据复合函数的单调性可得单调区间；
（2）令，结合二次函数的性质可得结果.
(1)
因为，所以或，
所以函数的定义域或；
函数可看作由，，或复合而成，
而函数单调递增，的单调递增区间，单调递减区间
所以函数的单调递增区间，单调递减区间.
(2)
令，，可以转化为
当即时，即最大值为，无最小值.
【变式训练7-1】．（2022·重庆·高一期末）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)偶函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）为偶函数，利用偶函数定义证明即可；
（2）转化为，利用均值不等式可求解的最大值，利用一次函数性质求解的最大值，分析即得解.
(1)
为偶函数
证明：，
故，解得
的定义域为，关于原点对称
，
为偶函数
(2)
若对任意的，总存在，使得成立
则
又，当且仅当，即取等号
所以
所求实数m的取值范围为
(八) 、对数型复合函数的实际应用
例8．（2022·全国·高一单元测试）牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．（参考数据：，）
【答案】188
【分析】根据题意列出不等式计算即可.
【详解】设经过个周期后细菌含量超标，
即，即，
所以，
而，因此经过188分钟就不宜再饮用．
故答案为：188.
23．（2022·河南·高三阶段练习（理））碳14的半衰期为5730年.在考古中，利用碳14的半衰期可以近似估计目标物所处的年代.生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是（其中为生物体死亡时体内碳14含量）. 考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的80%，由此可以推测到发掘出该生物标本时，该生物体在地下大约已经过了（参考数据：）（ ）
A．1847年 B．2022年 C．2895年 D．3010年
【答案】A
【分析】根据题意列方程，运用对数运算求近似解即可.
【详解】由题意知，所以，
所以，所以.
故选：A.
【变式训练8-1】．（2022·全国·高一课时练习）2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．若不改变信道带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递速率C大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：，）
【答案】2.5
【分析】设提升前最大信息传递速率为，提升后最大信息传递速率为，根据题意求出，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可
【详解】设提升前最大信息传递速率为，提升后最大信息传递速率为，则由题意可知，，，
所以，
所以最大信息传递速率C会提升到原来的2.5倍．
故答案为：
四、课堂训练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知图中曲线分别是函数，，，的图像，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的性质结合图像判断.
【详解】由对数的性质有：，，，
结合图像有：
，故A，C，D错误.
故选：B.
2．（2022·河南·高三阶段练习（理））若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为，，，
所以.
故选：D.
3．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是________．
【答案】
【分析】先求出函数定义域，再结合二次函数和对数函数的单调性即可求解.
【详解】由，解得，所以函数的定义域为，令，
则函数在上单调递增，在上单调递减，又函数在其定义域上单调递增，
所以函数的单调递增区间是．
故答案为：.
4．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是________．
【答案】
【分析】要使该函数表达式有意义，只需，，同时成立，解不等式即可求出结果．
【详解】函数的解析式有意义，
由，即，所以或，
故该函数的定义域为．
故答案为：
5．（2021·上海市建平中学高一阶段练习）函数恒过定点的坐标为__________
【答案】
【分析】根据对数函数的图象求解．
【详解】，所以过定点．
故答案为：．
6．（2021·辽宁·沈阳市辽中区第二高级中学高一阶段练习）函数的图像过一个定点，则这个定点坐标是____________．
【答案】
【分析】根据，令，即可得出答案.
【详解】解：由函数，
，则，
所以函数恒过定点.
故答案为：.
7．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知函数，，且．
(1)证明：在定义域上是增函数；
(2)若，求的取值集合．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由条件等式，结合对数运算法则可解出m，即有解析式，用定义法证的单调性，最后结合复合函数的单调性即可证明；
（2）结合对数运算法则得，即可化简不等式，最后结合单调性即可求得解集.
（1）
，，
，又，，．
由，解得，的定义域为．
令，任取，且，则
．
又，，，，即，
又在上是增函数，由复合函数的单调性知：在上是增函数．
（2）
，
原不等式可化为，即．
由（1）知，是增函数，．
又的定义域为，的取值集合为
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突破4.4 对数函数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
三、题型突破
(一) 对数函数的概念与图像
例1、（1）、（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（ ）
A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c
（2）．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校）若函数的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga的图象是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】、（2022·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
(二)、 比较大小
例2．（1）、（2022·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习（理））设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2021·江西高三月考（文））已知，，，则，，的大小关系为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】、（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】、（2022·全国·高一课时练习）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
、对数函数过定点问题
例3.（1）、（2022·全国·高一课时练习）函数(且)的图象恒过定点_________
（2）、（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校）已知函数且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式训练3-2】．（2021·渤海大学附属高级中学）(多选)已知函数的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（ ）
A． B．
C． D．
(四) 、有关对数函数奇偶性问题
例4．（1）、（2022·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）为上的偶函数，时，，，则下述关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高三开学考试）若是奇函数，当时，，则___________．
【变式训练4-1】．（2020·全国高三课时练习（理））“”是“函数为奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练4-2】、（2023·全国·高三专题练习）设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
(五) 、有关对数函数定义域问题
例5．（1）、函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
（2）、（2022·山东日照·高二开学考试）函数的定义域为___________.
【变式训练5-1】．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.
【变式训练5-2】．（2021·乾安县第七中学（文））若函数的定义域为，则实数的取值范围是________
(六) 、对数型复合函数的单调性问题
例6．（2022·甘肃·武威十八中高三阶段练习（文））已知函数.
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间及值域.
【变式训练6-1】．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，有意义时的取值范围为，其中为实数．
(1)求的值；
(2)写出函数的单调区间，并求函数的最大值．
(七) 、对数型复合函数的最值问题
例7．（2021·云南省昆明市第十中学高一阶段练习）已知函数的定义域为M
(1)求定义域M，并讨论函数的单调性：
(2)当时，求的最值及相应的x的值.
【变式训练7-1】．（2022·重庆·高一期末）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数m的取值范围.
(八) 、对数型复合函数的实际应用
例8．（2022·全国·高一单元测试）牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．（参考数据：，）
【变式训练8-1】．（2022·全国·高一课时练习）2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．若不改变信道带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递速率C大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：，）
四、课堂训练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知图中曲线分别是函数，，，的图像，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南·高三阶段练习（理））若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是________．
4．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是________．
5．（2021·上海市建平中学高一阶段练习）函数恒过定点的坐标为__________
6．（2021·辽宁·沈阳市辽中区第二高级中学高一阶段练习）函数的图像过一个定点，则这个定点坐标是____________．
7．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知函数，，且．
(1)证明：在定义域上是增函数；
(2)若，求的取值集合．
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