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专题4.5 函数的应用（二）
A组 基础巩固
1．（2022·天津·南开中学模拟预测）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
3．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减（称为衰减率），C与死亡年数t之间的函数关系式为（k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：；参考时间轴：
A．战国 B．汉 C．唐 D．宋
6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·模拟预测）影响租金的因素有设备的价格、融资的利息和费用、税金、租赁保证金、运费、各种费用的支付时间、租金的计算方法等，而租金的计算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法每期租金R的表达式为（其中P为租赁资产的价格；N为租赁期数，可按月、季、半年、年计；i为折现率；r为附加率）．某小型企业拟租赁一台生产设备，租金按附加率法计算，每年年末支付，已知设备的价格为84万元，折现率为8%，附加率为4%，若每年年末应付租金为24.08万元，则该设备的租期为（ ）
A．4年 B．5年 C．6年 D．7年
8．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数，对任意的实数a，b，c，关于x的方程的解集不可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·福建龙岩·模拟预测）函数的两个不同的零点均大于的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·广西·模拟预测（理））异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
13．（2022·宁夏·固原一中一模（文））设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022·江苏·南京市第二十九中学高一阶段练习）若函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围为______.
15．（2022·全国·高一专题练习）用二分法研究函数的零点，第一次经计算，则第二次计算的的值为___．
16．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为___________.
17．（2022·河南·郑州十九中高三阶段练习（文））已知函数则函数的零点个数是___________.
18．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）定义在上函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是___________．
19．（2022·全国·高一专题练习）关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_____．
20．（2022·全国·高一专题练习）若方程有正数解，则实数的取值范围是_______.
21．（2022·全国·高一单元测试）已知函数恰有个零点，则__________．
22．（2022·全国·高三专题练习）某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭___________元.
23．（2022·全国·高三专题练习）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是__________．
24．（2023·全国·高三专题练习）函数 的零点个数为_________．
B组 能力提升
25．（2022·吉林·长春十一高模拟预测）（多选题）已知函数以下结论正确的是（ ）
A．在区间上是增函数
B．
C．若函数在上有6个零点，则
D．若方程恰有3个实根，则
26．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知函数以下结论正确的是（ ）
A．在区间[7,9]上是增函数
B．
C．若函数在上有6个零点，则
D．若方程恰有3个实根，则
27．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）（多选题）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．存在唯一的零点，且
C．过原点可作曲线的两条切线
D．若有两个不等实根，则
28．（2022·福建漳州·一模）（多选题）已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．是偶函数
C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为
29．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·江苏南京·一模）（多选题）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．2
31．（2021·福建厦门·一模）（多选题）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
32．（2022·全国·高一课时练习）中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．经过研究发现，在25℃室温下，设茶水温度从85℃开始，经过x分钟后的温度为y℃，则满足（，，）．
(1)求实数k的值；
(2)经过测试知，求在25℃室温下，刚泡好的85℃的茶水大约需要放置多长时间才能产生最佳饮用口感（结果精确到1分钟）．（参考数据：，，）
33．（2022·全国·高三专题练习）2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．被称为火箭的质量比．
(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度千米/秒，并说明理由．（参考数据：，无理数）
34．（2022·全国·高一单元测试）某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为喷流相对火箭的速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比．
(1)某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
(2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10．如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．
（参考数据：）
35．（2022·全国·高一专题练习）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到.
(1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数；
(2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：）
①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由）
②求该养生壶保温的临界值.
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专题4.5 函数的应用（二）
A组 基础巩固
1．（2022·天津·南开中学模拟预测）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】解：的定义域为，又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零点.
故选：C
2．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【答案】A
【分析】令，解对数方程，求出x＝10.
【详解】令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10，
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合单调性和零点存在定理直接判断即可.
【详解】易知为增函数，又，
，故零点所在的区间是.
故选：B.
4．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出的图象，令，则先讨论的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合的图象可得的较小根的范围，进而根据与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.
【详解】画出的图象如图，令，则先讨论的零点.
当，即时，不合题意；
当，即时，易得或，此时当或时均不满足有6个零点，不合题意；
故，或，设的两根为，不妨设，由韦达定理，且.
①当时，与均无零点，不合题意；
②当时：
1. 若，则，此时有4个零点，有2个零点，合题意；
2. 若，此时有3个零点，则有且仅有3个零点，此时，故；
综上可得或.
又，故，结合在上为减函数可得在，上为增函数.
故
故选：A
【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.
5．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减（称为衰减率），C与死亡年数t之间的函数关系式为（k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：；参考时间轴：
A．战国 B．汉 C．唐 D．宋
【答案】C
【分析】根据“半衰期”求得，进而解方程，求得，从而可推断出该文物所属朝代.
【详解】解：当时，，故，解得，所以，
由题意得，，解得，
而，可推断该文物属于唐.
故选：C．
6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题对取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.
【详解】令，
当时，方程为，即，
作出函数及的图象，
由图象可知方程的根为或，即或，
作出函数的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；
当时，方程为，即，
由图象可知方程的根，即，
结合函数的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A错误.
故选：C.
7．（2022·全国·模拟预测）影响租金的因素有设备的价格、融资的利息和费用、税金、租赁保证金、运费、各种费用的支付时间、租金的计算方法等，而租金的计算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法每期租金R的表达式为（其中P为租赁资产的价格；N为租赁期数，可按月、季、半年、年计；i为折现率；r为附加率）．某小型企业拟租赁一台生产设备，租金按附加率法计算，每年年末支付，已知设备的价格为84万元，折现率为8%，附加率为4%，若每年年末应付租金为24.08万元，则该设备的租期为（ ）
A．4年 B．5年 C．6年 D．7年
【答案】C
【分析】根据题意构造函数，即可求解.
【详解】由题意，R＝24.08万元，P＝84万元，i＝8%，r＝4%，则，解得N＝6，
故选:C．
8．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数，对任意的实数a，b，c，关于x的方程的解集不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先研究一元二次方程根的情况，再研究指数方程根的情况，综合可作判断.
【详解】令，则方程化为，
设它有解为，则求方程化为求方程及.
根据基本不等式，，当且仅当时，等号成立，关于对称，所以，若方程及有解，则解，或有成对的解且两解关于对称，所以D选项不符合条件.
故选：D
9．（2022·福建龙岩·模拟预测）函数的两个不同的零点均大于的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意列出函数的两个不同的零点均大于时的不等式组，求得，进而结合选项判断即可.
【详解】解：因为函数的两个不同的零点均大于，
所以，解得.
所以选项A是函数的两个不同的零点均大于的既不充分也不必要条件；选项B是函数的两个不同的零点均大于的充分不必要条件；
选项C是函数的两个不同的零点均大于的充要条件；选项D是函数的两个不同的零点均大于的必要不充分条件.
故选：B.
10．（2022·广西·模拟预测（理））异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解．
【详解】设初始状态为，则，，
又，，即，
，，，，．
故选：D．
11．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简函数解析式，分析可知关于的方程、共有个不同的实数解，利用代数法可知方程有两个根，分析可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为，
由可得，
所以，关于的方程、共有个不同的实数解.
①先讨论方程的解的个数.
当时，由，可得，
当时，由，可得，
当时，由，可得，
所以，方程只有两解和；
②下面讨论方程的解的个数.
当时，由可得，可得或，
当时，由，可得，此时方程有无数个解，不合乎题意，
当时，由可得，
因为，由题意可得或或，
解得或.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
12．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】转化为两个函数图象的交点个数，作图求解
【详解】当时，，则；以此类推，当时，；…；
在平面直角坐标系中作出函数与的部分图象如图所示.
由图可知，与的图象有7个不同的交点
故选：D
13．（2022·宁夏·固原一中一模（文））设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】画出的图象，由图象求得与有个交点时，的取值范围.结合一元二次方程零点分布的知识列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】画出函数的图象如下图所示，
令，则方程可化为.
由图可知：当时，与有个交点，
要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同实数根，
∴，
解得，
∴实数的取值范围为.
故选：B
14．（2022·江苏·南京市第二十九中学高一阶段练习）若函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】结合已知条件，利用二次函数图像性质即可求解.
【详解】由可知对称轴为：，
因为函数的两个零点都在区间内，
所以，
故实数的取值范围为.
15．（2022·全国·高一专题练习）用二分法研究函数的零点，第一次经计算，则第二次计算的的值为___．
【答案】##-0.484375
【分析】根据零点存在定理确定零点所在区间，第二次计算区间中点处的函数值
【详解】解：因为，所以第二次应计算，
所以，
故答案为：
16．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】对原式分离参数，即求在的范围即可.
【详解】令，得，
令，
由二次函数性质可知：当时，
当时，，
所以，即.
故答案为：.
17．（2022·河南·郑州十九中高三阶段练习（文））已知函数则函数的零点个数是___________.
【答案】5
【分析】令，，则，分别作出和直线，得到两交点的横坐标，再由图象观察，即可得到所求零点个数．
【详解】解：令，，
则，
分别作出和直线，
由图象可得有两个交点，横坐标设为，，
则，，
即有有2根；
时，有3个不等实根，
综上可得的实根个数为5，
即函数的零点个数是5．
故答案为：5．
18．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）定义在上函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】由，根据，即，依此类推，作出函数的图象求解．
【详解】因为当，时，，
所以，
因为，
当，时，即时，
所以，即，
当，，即，时，，
当，，即，时，，
所以，
依此类推，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：，,当时，，
当时,
因为对任意，，都有，
则，解得：，
故答案为：
19．（2022·全国·高一专题练习）关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【分析】利用一元二次方程实根分布列出不等式组，再求解作答.
【详解】关于的方程在区间内有两个不等实根，令，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
20．（2022·全国·高一专题练习）若方程有正数解，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【分析】通过换元，设，将方程有正数解转化为方程在上有实根．进一步转化为求函数的值域可得解.
【详解】设，由，得，
因为方程有正数解，
所以方程在上有实根．
因为，当时，，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
21．（2022·全国·高一单元测试）已知函数恰有个零点，则__________．
【答案】##0.5
【分析】先求得在上恰有个零点，则方程有个负根，时不成立，时，由一元二次方程的性质分和讨论求解即可.
【详解】当时，令，解得，故在上恰有个零点，即方程有个负根.
当时，解得，显然不满足题意；当时，因为方程有个负根，所以
当，即时，其中当时，，解得，符合题意；当时，，解得，不符合题意；
当时，设方程有个根，，因为，所以，同号，
即方程有个负根或个正根，不符合题意．综上，．
故答案为：0.5.
22．（2022·全国·高三专题练习）某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭___________元.
【答案】61.6##
【分析】由题可得由小昭一次性付款实际付款，进而可得合并支付比他们分别支付节省的钱，然后可得小敏需要给小昭的钱数.
【详解】由题可得两人把商品合并由小昭一次性付款实际付款为元，
他们分别支付应付款为元，故节省元，
故小敏需要给小昭元.
故答案为：61.6.
23．（2022·全国·高三专题练习）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②④
【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.
【详解】设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机，
对于①，，，，，
∴，，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②，，，，
∴，，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③，，，，，
∴，，
，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④，，，，
∴，，
∴，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.
故答案为：①②④.
24．（2023·全国·高三专题练习）函数 的零点个数为_________．
【答案】1
【分析】分和时，求函数的零点个数，可得答案.
【详解】当 时， 有一个零点 ；
当 时，，无零点，
故函数 的零点个数为1个
故答案为：1
B组 能力提升
25．（2022·吉林·长春十一高模拟预测）（多选题）已知函数以下结论正确的是（ ）
A．在区间上是增函数
B．
C．若函数在上有6个零点，则
D．若方程恰有3个实根，则
【答案】BC
【分析】A选项：根据解析式画出函数图象即可判断单调性；B选项：根据的解析式代入即可求函数值；C选项：根据图象的对称性即可求；D选项：把方程的根的个数转化成函数和图象交点的个数，再根据图象求解即可.
【详解】
的图象如上图所示，
A选项：由图可知在区间上不单调，故A错；
B选项：，，所以，故B正确；
C选项：在上有六个零点，即与在有六个交点，如图所示，和关于轴对称，所以，和关于对称，所以，所以 ，故C正确；
D选项：方程有3个实数根，即的图象和的图象有3个交点，当时，由图可知与有两个交点，此时要想有3个交点，只需要与的图象有一个交点即可，即相切，由题可知的解析式为，联立，得，则，所以或5(舍去)，所以D错.
故选：BC.
26．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知函数以下结论正确的是（ ）
A．在区间[7,9]上是增函数
B．
C．若函数在上有6个零点，则
D．若方程恰有3个实根，则
【答案】BC
【分析】A根据的周期性判断区间单调性；B利用周期性求得即可判断；C转化为与的交点问题，应用数形结合法及对称性求零点的和；D根据函数图象求得与交点个数为2或3时的临界值，即可得范围.
【详解】A：由题意,当时以3为周期的函数，故在[7,9]上的单调性与在[-2,0]上的单调性相同，而当时，
∴在[-2,0]上不单调，错误；
B：，，故，正确；
C：作出的函数图象如图所示：
由于在上有6个零点，故直线与在上有6个交点，不妨设，i＝1，2，3，4，5，
由图象知:，关于直线对称，，关于直线对称，，关于直线对称，
∴，正确；
D：若直线经过(3,0)，则，
若直线与相切，则消元可得：，
令可得，解得k＝-1或k＝-5（舍），
若直线与在(0,3)上的图象相切，由对称性得:k＝1．
因为恰有3个实根，故直线与有3个交点，
∴或k＝1，错误，
故选：BC．
27．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）（多选题）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．存在唯一的零点，且
C．过原点可作曲线的两条切线
D．若有两个不等实根，则
【答案】AB
【分析】利用导数研究函数的单调性与切线方程，以及函数零点存在性定理，对选项一一验证，从而得到正确结果.
【详解】选项A：，在上单调递增，故正确；
选项B：，，
存在唯一的零点，且，故正确；
选项C：设切点为，
的切线方程为，
代入原点得，解得，切线只有一条，故不正确；
选项D：若与有两个交点，
因为与相切的直线只有一条，且此切线斜率为，
当时，与有两个交点，故不正确.
故选：AB.
28．（2022·福建漳州·一模）（多选题）已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．是偶函数
C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为
【答案】AD
【分析】根据函数的解析式，分别从定义域、奇偶性、零点、最值考察即可求解.
【详解】对A，由解析式可知的定义域为，故A正确；
对B，因为，可知是奇函数，故B不正确；
对C,，得，故C不正确；
对D, 当时，，当且仅当时取等号，
故D正确.
故选：AD
29．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由分段函数解析式判断函数性质并画出函数图象，讨论参数判断不同a对应值域的的范围，结合函数图象判断解的情况，即可确定有个零点时的范围.
【详解】在上单调递增且值域为；
在上单调递减且值域为；
在上单调递增且值域为；
故的图象如下：
由题设，有个零点，即有7个不同解，
当时有，即，此时有1个零点；
当时有，即，
∴有1个零点，有3个零点，此时共有4个零点；
当时有或或，
∴有1个零点，有3个零点，有3个零点，此时共有7个零点；
当时有或或，
∴有1个零点，有3个零点，有2个零点，此时共有6个零点；
当时有或，
∴有3个零点，有2个零点，此时共有5个零点；
综上，要使有7个零点时，则，()
故选：BD
【点睛】关键点点睛：由解析式确定分段函数的性质并画出草图，进而讨论参数确定对应的取值范围，结合函数图象判断零点情况.
30．（2021·江苏南京·一模）（多选题）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】AB
【分析】对分类讨论，利用数形结合分析得解.
【详解】（1）当时，由题得，
因为，所以此种情况不存在；
（2）当时，由题得，
因为，所以.
故选：AB
【点睛】方法点睛：取值范围问题的求解，常用的方法：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
31．（2021·福建厦门·一模）（多选题）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
【答案】AD
【分析】利用图象分别求出两段函数解析式，再进行逐个分析，即可解决．
【详解】由函数图象可知，
当时，，即，解得，
，故正确，
药物刚好起效的时间，当，即，
药物刚好失效的时间，解得，
故药物有效时长为小时，
药物的有效时间不到6个小时，故错误，正确；
注射该药物小时后每毫升血液含药量为微克，故错误，
故选：．
32．（2022·全国·高一课时练习）中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．经过研究发现，在25℃室温下，设茶水温度从85℃开始，经过x分钟后的温度为y℃，则满足（，，）．
(1)求实数k的值；
(2)经过测试知，求在25℃室温下，刚泡好的85℃的茶水大约需要放置多长时间才能产生最佳饮用口感（结果精确到1分钟）．（参考数据：，，）
【答案】(1)60
(2)大约需要放置7分钟才能产生最佳饮用口感
【分析】（1）直接由时，代入求解即可；
（2）将代入函数关系式，再结合对数的运算性质求解即可.
（1）
依题意，当时，，所以，解得，
所以实数k的值是60．
（2）
由（1）知，当时，，
当时，，即，
两边取对数，得，
所以．
所以刚泡好的85℃的茶水大约需要放置7分钟才能产生最佳饮用口感．
33．（2022·全国·高三专题练习）2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．被称为火箭的质量比．
(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度千米/秒，并说明理由．（参考数据：，无理数）
【答案】(1)千米/秒
(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒，理由见解析
【分析】（1）明确各个量的值，代入即可;
（2）求出最大理想速度，利用放缩法比较与的大小即可.
（1）
，，，
，
该单级火箭的最大理想速度为千米/秒.
（2）
，，
，
，
，
.
该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒.
34．（2022·全国·高一单元测试）某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为喷流相对火箭的速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比．
(1)某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
(2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10．如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．
（参考数据：）
【答案】(1)2.8千米/秒
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得，，，再代入公式计算即可；
（2）代入数据可得，再分析可得，从而得到即可.
（1）
由题意，，，，
∴，
∴该火箭的最大理想速度为2.8千米/秒．
（2）
∵，，∴．
∵，∴，
即．
∴该火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒．
35．（2022·全国·高一专题练习）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到.
(1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数；
(2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：）
①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由）
②求该养生壶保温的临界值.
【答案】(1)；
(2)①1次；②.
【分析】（1）设待定系数法求，根据已知有求参数a，即可写出解析式，注意定义域范围.
（2）①由题意，研究情况下从降至、从加热至、从降至所需的时间，进而分析出加热次数；
②由（i）分析结果可知时水温正好被加热到，计算从降至、从加热至的时间，列方程求值.
（1）
当时，设，则，可得，
所以.
当时，，则，可得，
综上，.
（2）
①1次，理由如下：由题意，
从降至，则，可得分钟，
所以降至，所需时间分钟，
由于小王出门34分钟，
从加热至，则，可得分钟，则从加热至所需时间分钟；
从降至，则，可得分钟，则从降至所需时间分钟；
故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则分钟，
综上，只加热过一次.
②由（i）知：从降温至，所需时间为分钟.
所以在时，水温正好被加热到.
从降至，则，可得，
从加热至，则，可得，
所以在上递减，且，即.
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