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突破5.1 任意角与弧度制
A组 基础巩固
1．（2022·河南·高三阶段练习）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为16cm，则该扇形的中心角的弧度数为（ ）．
A．2.3 B．2.5 C．2.4 D．2.6
2．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）若={α|，B={第一或第四象限角}，则A、B关系为（ ）
A．A=B B．AB C．AB D．非A、B、C结论
3．（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高一课时练习）的角化为弧度制的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高一）已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2021·甘肃武威·高一期末）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·上海市延安中学高一期末）终边在y轴上的角的集合不能表示成
A． B．
C． D．
9．（2020·河南·高一阶段练习）表示成（）的形式，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·江苏·高一期末）已知α为第三象限角则所在的象限为（ ）.
A．第二、四象限 B．第一、三象限
C．第一、三象限或x轴上 D．第二、四象限或x轴上
11．（2021·江苏·高一专题练习）设为小于的角}，为第一象限角}，则等于（ ）
A．为锐角}
B．为小于的角}
C．为第一象限角}
D．
12．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）终边在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021·全国·高一专题练习）若是第二象限角，那么和都不是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．（2022·全国·高一专题练习）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的母线长为______．
15．（2022·全国·高一课时练习）与终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可）
16．（2022·全国·高三专题练习）设是第三象限的角，则的终边在第_________ 象限.
17．（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）已知半径为 的扇形的圆心角为 ， 则扇形的弧长为 .
18．（2022·上海南汇中学高一阶段练习）的终边在第______象限．
19．（2022·全国·高一课时练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是__________．
20．（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.
21．（2022·全国·高三专题练习）九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积为__________．
22．（2021·江苏·高一单元测试）下列说法中正确的序号有________．
①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．
23．（2021·江苏·高一专题练习）若角α的终边与的终边相同，则在[0,2π]上，终边与的终边相同的角有________．
24．（2017·全国·高一课时练习）在集合中，属于之间的角的集合是________．
25．（2021·全国·高一专题练习）的角属于第_________象限.
26．（2015·上海市建平中学高三阶段练习）是第二象限角，则是第_________象限角．
B组 能力提升
27．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（ ）
A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
28．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）（多选题）已知是第一象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
29．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
30．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
31．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）下列结论中不正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角
D．，，则
32．（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A． B． C． D．
33．（2021·全国·高一专题练习）（多选题）设是第三象限角，则所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
34．（2022·全国·高一）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大 并求出最大值．
35．（2022·全国·高一课时练习）已知角.
（1）将角改写成(，)的形式，并指出角是第几象限的角；
（2）在区间上找出与角终边相同的角.
36．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边落在图中阴影部分(不包括边界),试表示角的取值集合.
37．（2022·全国·高一课时练习）如图,,分别是终边落在射线OA,OB位置上的两个角,且,.
(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合;
(2)求终边落在阴影部分(不包括边界),且在内的角的集合.
38．（2022·全国·高一课时练习）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大
39．（2019·全国·高一课时练习）（1）如果角的终边在第二象限，讨论的终边所在的位置；
（2）由此可否得出更一般的结论？并画出的终边在第一、二、三、四象限时，的终边所在的位置；
（3）类似地讨论的位置（可设在第一象限，讨论终边的位置，并推广到一般情形）．
40．（2018·江苏南京·高二期中）某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．
(1)求关于的函数关系式；
(2)已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．
41．（2020·全国·高一课时练习）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为(弧度）的扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.
（1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；
（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.
42．（2021·全国·高一课时练习）如图：已知扇形所在圆半径为1，，扇形内接矩形，设．
（1）将矩形面积表示为的函数，并指出的取值范围；
（2）当取何值时，矩形面积最大，并求的最大值．
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突破5.1 任意角与弧度制
A组 基础巩固
1．（2022·河南·高三阶段练习）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为16cm，则该扇形的中心角的弧度数为（ ）．
A．2.3 B．2.5 C．2.4 D．2.6
【答案】B
【分析】根据弧长之比得到半径之比，从而求出小扇形的半径，再根据弧长公式计算可得.
【详解】解：如图，依题意可得弧AB的长为，弧CD的长为，
则，即．
因为，所以，
所以该扇形的中心角的弧度数．
故选：B
2．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）若={α|，B={第一或第四象限角}，则A、B关系为（ ）
A．A=B B．AB C．AB D．非A、B、C结论
【答案】D
【分析】在集合与中举例说明即可判断.
【详解】集合中，若，不属于第一或第四象限角，即.
集合中，若，是第一象限角，但.
综上，集合与没有关系.
故选：D
3．（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令即可判断出正确选项.
【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.
故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对按奇偶分类讨论可得．
【详解】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此时的终边和0≤≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，此时的终边和π≤≤π＋的终边一样．
故选：B．
5．（2022·全国·高一课时练习）的角化为弧度制的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角度和弧度的换算公式即可得到答案.
【详解】．
故选：C.
6．（2022·全国·高一）已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据周长建立弧长与半径间的关系，由扇形面积公式可得,利用二次函数求最值,并求出S最大时对应的圆心角即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，
所以，
扇形面积，
当时，有最大值，此时圆心角，
故选：D
7．（2021·甘肃武威·高一期末）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用扇形的圆心角和弧长可求出扇形的半径，再求扇形的面积．
【详解】解：扇形的圆心角为，弧长为，
扇形的半径，
扇形的面积．
故选：B．
8．（2022·上海市延安中学高一期末）终边在y轴上的角的集合不能表示成
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别写出终边落在y轴正半轴和负半轴上的角的集合，然后进行分析运算即可得解.
【详解】终边落在y轴正半轴上的角的集合为：
，
终边落在y轴负半轴上的角的集合为：
，
故终边在y轴上的角的集合可表示成为，
故A选项可以表示；
将与取并集为：
，故C选项可以表示；
将与取并集为：
，故终边在y轴上的角的集合可表示成为，故D选项可以表示；
对于B选项，当时，或，显然不是终边落在y轴上的角；
综上，B选项不能表示，满足题意.
故选：B.
【点睛】本题考查轴线角的定义，侧重对基础知识的理解的应用，考查逻辑思维能力和分析运算能力，属于常考题.
9．（2020·河南·高一阶段练习）表示成（）的形式，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于，故可得出的最小值.
【详解】因为，所以.
故选：A.
【点睛】本题主要考查终边相同的角的相关知识，熟练掌握终边相同角的变形是解题的关键，属于常考题.
10．（2021·江苏·高一期末）已知α为第三象限角则所在的象限为（ ）.
A．第二、四象限 B．第一、三象限
C．第一、三象限或x轴上 D．第二、四象限或x轴上
【答案】A
【分析】根据得到，讨论的奇偶性得到答案.
【详解】α为第三象限角，则 故当为奇数时，在第四象限；当为偶数时，在第二象限；
故选：
【点睛】本题考查了角的象限问题，漏解是容易发生的错误.
11．（2021·江苏·高一专题练习）设为小于的角}，为第一象限角}，则等于（ ）
A．为锐角}
B．为小于的角}
C．为第一象限角}
D．
【答案】D
【分析】直接利用交集的运算法则得到答案.
【详解】为小于的角}，为第一象限角}
则
故选：
【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.
12．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）终边在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出终边在上的度数，即可得到结论．
【详解】在[0，2π]内终边在直线上的角为和，
则终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝2kπ或2kπ}，k∈Z，
即{α|α＝kπ，k∈Z}，
故选B．
【点睛】本题主要考查终边相同角的表示，熟记特殊角是关键，比较基础．
13．（2021·全国·高一专题练习）若是第二象限角，那么和都不是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】若是第二象限角,则可设再分析和.
【详解】设,此时,故为第一、三象限的角.
又,故为第四象限角.所以和都不是第二象限.
故选B.
【点睛】已知所处的象限可直接表达出角度的范围再讨论.
14．（2022·全国·高一专题练习）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的母线长为______．
【答案】12
【分析】设母线长为，由弧长公式计算可得；
【详解】解：设母线长为，则侧面展开的扇形的弧长为，
由题意，即，因为，故．
故答案为：
15．（2022·全国·高一课时练习）与终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】终边相同的角，相差的整数倍，据此即可求解
【详解】∵，当时，，∴与终边相同的角可以为，
故答案为：222°（答案不唯一）
16．（2022·全国·高三专题练习）设是第三象限的角，则的终边在第_________ 象限.
【答案】二或四
【分析】根据是第三象限角，得到，，再得到，，然后讨论的奇偶可得答案.
【详解】因为是第三象限角，所以，，
所以，，
当为偶数时，为第二象限角，
当为奇数时，为第四象限角.
故答案为：二或四.
17．（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）已知半径为 的扇形的圆心角为 ， 则扇形的弧长为 .
【答案】
【分析】根据弧长公式求解.
【详解】因为半径为 的扇形的圆心角为 ，
所以弧长，
故答案为：
18．（2022·上海南汇中学高一阶段练习）的终边在第______象限．
【答案】二
【分析】将化为（，）的形式，即可判断
【详解】
所以与终边相同，
又是第二象限角，所以也是第二象限角
故答案为：二
19．（2022·全国·高一课时练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是__________．
【答案】
【分析】确定以边界为终边的角，即可得角的集合.
【详解】由题图，终边对应角为且，终边对应角为且，
所以阴影部分角的集合是.
故答案为：
20．（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.
【答案】
【分析】将角度化为弧度，结合任意角概念表示出来即可.
【详解】因为，，
结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为
.
故答案为:.
21．（2022·全国·高三专题练习）九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积为__________．
【答案】
【分析】根据给定条件求出三角形面积和扇形面积，结合图形即可计算作答.
【详解】依题意，等腰底边，高，则的面积为，
而扇形的面积为，则有阴影部分的面积为，
所以此弧田的面积为.
故答案为：
22．（2021·江苏·高一单元测试）下列说法中正确的序号有________．
①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．
【答案】①②③④
【分析】根据象限角的表示，分别表示形式，即可得到结论.
【详解】由题意，①是第四象限角，是正确的；②是第三象限角，是正确的；
③，其中是第二象限角，所以为第二象限角是正确的；
④，其中是第一象限角是正确的，
所以正确的序号为①②③④
【点睛】本题主要考查了象限角的表示及判定，其中解答中熟记象限角的表示，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
23．（2021·江苏·高一专题练习）若角α的终边与的终边相同，则在[0,2π]上，终边与的终边相同的角有________．
【答案】
【详解】由题意可知：，则，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
而当时，；当时，；
综上可得：终边与的终边相同的角有.
点睛：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合： .即任何一个与角的终边相同的角都可以表示为角与周角的整数倍的和.
24．（2017·全国·高一课时练习）在集合中，属于之间的角的集合是________．
【答案】##
【分析】令即得解.
【详解】解：当时，在之间，满足题意；
当时，在之间，满足题意.
当取其它整数时，均不满足题意.
∴属于之间的角的集合是．
故答案为：
25．（2021·全国·高一专题练习）的角属于第_________象限.
【答案】二
【详解】在第二象限,所以的角属于第二象限
26．（2015·上海市建平中学高三阶段练习）是第二象限角，则是第_________象限角．
【答案】一或三
【详解】试题分析：是第二象限角，则有，于是，因此是第一、三象限角．
考点：象限角的概念．
B组 能力提升
27．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（ ）
A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
【答案】AC
【分析】首先确定所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由可求得，代入扇形面积公式可知B错误；由即可求得，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.
【详解】对于A，与所在扇形的圆心角分别为，，
，A正确；
对于B，，，，B错误；
对于C，，，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC.
28．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）（多选题）已知是第一象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】AC
【分析】由的范围求出的范围，即可判断；
【详解】解：是第一象限角，，，
，，
当取偶数时，是第一象限角，当取奇数时，是第三象限角，
故选：AC．
29．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABC
【分析】由所在的象限求出的范围，再求出的范围，最后对分类讨论，即可判断；
【详解】解：因为角是第一象限角，所以，，所以，， 当，时，，，位于第一象限，当，时，，，位于第二象限，当，时，，，位于第三象限，综上可得位于第一、二、三象限；
故选：ABC
30．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
【答案】AB
【分析】由与关于x轴对称，判断A选项；
由已知得，，再根据不等式的性质可判断B选项；
由是第一象限角判断C选项；
由不等式的性质可得，，由此可判断D选项．
【详解】解：因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确；
因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确；
因为是第二象限角，所以是第一象限角，故 C选项错误；
因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误．
故选：AB.
31．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）下列结论中不正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角
D．，，则
【答案】BC
【分析】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D．
【详解】对于选项A：终边经过点的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是， 正确；
对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是， 错误；
对于选项C：若，不是第一象限角，错误；
对于选项D：而表示的奇数倍，
，而表示 的整数倍，所以，正确．
故选：BC
32．（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】根据集合中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误.
对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确.
对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.
对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.
故选：BC
【点睛】本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.
33．（2021·全国·高一专题练习）（多选题）设是第三象限角，则所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】BD
【解析】用不等式表示第三象限角α，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定的终边所在的象限．
【详解】是第三象限角，
，，
则，，
令，
有，；在二象限；
，，
有，；在四象限；
故选：B．
【点睛】本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限,属于容易题.
34．（2022·全国·高一）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大 并求出最大值．
【答案】(1)；
(2)当时，y的值最大，最大值为．
【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式；
(2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值．
(1)
根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，
，
．
(2)
依据题意，可知，
化简得：，，
当，．
∴当时，y的值最大，且最大值为．
35．（2022·全国·高一课时练习）已知角.
（1）将角改写成(，)的形式，并指出角是第几象限的角；
（2）在区间上找出与角终边相同的角.
【答案】（1），是第三象限角；（2）．
【分析】（1）先把度数改写弧度，再改写成形式，并确定所在象限；
（2）解不等式可得结论．
【详解】（1），是第三象限角，∴是第三象限角．
（2）由得，因为，∴，对应角依次为．
【点睛】本题考查终边相同的角，解题关键是把解写出或，形式，考查角度与弧度的互化．属于基础题．
36．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边落在图中阴影部分(不包括边界),试表示角的取值集合.
【答案】或
【解析】写出终边在边界上的角，根据由小到大，即可由不等式表示终边落在阴影部分的角.
【详解】由题图可知,终边落在射线OA上的角构成的集合,
终边落在射线OB上的角构成的集合,
所以角的取值集合.
也可以表示为.
【点睛】本题主要考查了根据角的终边位置表示终边落在某区域的角的集合，属于中档题.
37．（2022·全国·高一课时练习）如图,,分别是终边落在射线OA,OB位置上的两个角,且,.
(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合;
(2)求终边落在阴影部分(不包括边界),且在内的角的集合.
【答案】(1).
(2).
【解析】（1）写出终边在边界上的角，即可得阴影部分角的集合（2）由（1）取适当的整数即可求满足条件角的集合.
【详解】（1）因为,，
可知终边在射线上的角分别是，，，
所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为：
.
（2）当时，在内的角为，
当时，在内的角为，
所以终边落在阴影部分(不包括边界),且在内的角的集合：
.
【点睛】本题主要考查了利用终边相同的角写出终边在指定区域内角的集合，属于中档题.
38．（2022·全国·高一课时练习）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大
【答案】（1），；（2）.
【解析】(1)由公式算出弧长，弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积
(2)由周长为定值可得出弧长和半径的关系，再把S用R表示出来，运用函数的知识即可求出最大值.
【详解】（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则
，，，
.
（2）设扇形弧长为l，则，即，
∴扇形面积，
∴当时，S有最大值，此时，.
因此当时，这个扇形面积最大.
【点睛】
当周长C为定值时可得面积
当面积为定值时可得周长.
39．（2019·全国·高一课时练习）（1）如果角的终边在第二象限，讨论的终边所在的位置；
（2）由此可否得出更一般的结论？并画出的终边在第一、二、三、四象限时，的终边所在的位置；
（3）类似地讨论的位置（可设在第一象限，讨论终边的位置，并推广到一般情形）．
【答案】（1）在第一，第三象限；（2）可以，详图见解析；（3）当的终边在第一象限时，的终边在第一或第二或第三象限；当的终边在第二象限时，的终边在第一或第二或第四象限；当的终边在第三象限时,的终边在第一或第三或第四象限；
当的终边在第四象限时，的终边在第二或第三或第四象限
【分析】当角的终边在第二象限，得，则，从表达式可以看出，应分为是奇数和是偶数进行讨论，进而可确定的终边在第一、二、三、四象限时，的终边所在的位置，结合象限，画出图形即可；同理的终边位置的讨论方法跟之前步骤一样
【详解】(1)由角的终边在第二象限，得，
则，
当k为奇数时，的终边在第三象限，
当k为偶数时,的终边在第一象限
(2)由(1)可得，当的终边在第一、二、三、四象限时，的终边分别在第一或第三、第一或第三、第二或第四、第二第四象限，如图：
(3)当的终边在第一象限时，即，得，
的终边在第一或第二或第三象限，
推广可知：当的终边在第二象限时，的终边在第一或第二或第四象限；
当的终边在第三象限时,的终边在第一或第三或第四象限；
当的终边在第四象限时，的终边在第二或第三或第四象限
【点睛】本题考查已知，推导象限角的方法，常规解法为：写出已知角的范围表达式，再求出对应范围表达式，讨论取1、2、3、4、…时终边对应象限角的分布情况，然后总结出一般规律
40．（2018·江苏南京·高二期中）某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．
(1)求关于的函数关系式；
(2)已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．
【答案】(1)；
(2)见解析.
【分析】（1）根据扇形的周长公式进行求解即可．
（2）结合花坛的面积公式，结合费用之间的关系进行求解即可．
（1）
由题可知，
所以.
（2）
花坛的面积为，
装饰总费用为，
所以花坛的面积与装饰总费用之比为，
令，，
则，
当且仅当取等号，此时，，
故花坛的面积与装饰总费用之比为，
且的最大值为
41．（2020·全国·高一课时练习）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为(弧度）的扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.
（1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；
（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.
【答案】（1）见解析（2）337.5平方米
【详解】试题分析：（1）步道长为扇形周长，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式，利用基本不等式将不等式转化为关于的一元不等式，解得的范围，确定最大值为400.（2）由条件得，消得，由及，解出，根据二次函数最值取法得到当时，最大
试题解析：解：（1）由题意，弧长为，扇形面积为，
由题意，即，
即，
所以，所以，，则，
所以当时，面积的最大值为400.
（2）即，代入可得
或，
又，
当与不符，
在上单调，当时，最大平方米，此时.
42．（2021·全国·高一课时练习）如图：已知扇形所在圆半径为1，，扇形内接矩形，设．
（1）将矩形面积表示为的函数，并指出的取值范围；
（2）当取何值时，矩形面积最大，并求的最大值．
【答案】（1）
（2）当
【分析】（1）由图形得到矩形的长宽，得到矩形的面积；
（2）利用（1）的结论集合正弦函数的有界性求最大值．
【详解】解：（1）由条件，．
，
，其中；
（2），
故当，即时， ．
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