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突破5.1 任意角与弧度制
一、考情分析
二、考点梳理
考点1 任意角的概念
1.任意角
定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
构成要素 始边、顶点、终边
表示 常用大写字母等表示腊字母等表示；特别的，当角作为变量时，常用字母表示.
2.角的分类
分类 定义
正角 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角
负角 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角
考点2 象限角与非象限角
1.象限角
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角.
2.象限角的集合表示
象限角 集合表示
第一象限角 Z
第二象限角 Z
第三象限角 Z
第四象限角 Z
3.非象限角
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
4.非象限角的集合表示
角的终边位置 集合表示
轴的非负半轴
轴的非正半轴
轴上
轴非负半轴
轴非正半轴
轴上
考点3 终边相同的角
一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和.
考点4 弧度制的概念
1.角度制
规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
2.弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
3.弧度制与角度制的区别与联系
区别 单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同.
联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.
考点5 角度与弧度之间的互化
1.角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°=2rad 2rad=360°
180°=rad rad=180°
1°=rad0.01745rad 1rad=
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
考点6 扇形的弧长与面积公式
设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：
类别/度量单位 角度制 弧度制
扇形的弧长
扇形的面积
三、题型突破
重难点题型突破01 象限角，轴线角,对称角，区域角与集合的关系
例1、（1）、（2021·福建省福州延安中学高三开学考试）已知点，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）、（2021·全国·高二课时练习）已知角的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角的取值范围．
【变式训练1-1】、（2020·宁县第二中学高一期中）已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么________.
【变式训练1-2】、（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．第二象限角大于第一象限角
B．若，则为第一或第二象限角
C．钝角一定是第二象限角
D．三角形的内角是第一或第二象限角
【变式训练1-3】、（2023·全国·高三专题练习）若是第四象限角，则是第（ ）象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
【变式训练1-4】、（2022·江西上饶·高一阶段练习）（多选题）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
【变式训练1-5】、（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
（1）；
（2）
重难点题型突破02 与终边有的角的问题以及对称问题2α，，
例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）、（2021·安徽省蚌埠第三中学高一月考）已知α为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
【变式训练2-1】、（2022·全国·高三专题练习）若是第一象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
【变式训练2-2】、（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
重难点题型突破03 已知终边求角与已知终边区域求角
例3．（1）、（2022·全国·高一课时练习）终边落在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2019·新疆·兵团二中高一期中）设集合，，则
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】、（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）若角，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【变式训练3-2】、（2022·北京十四中高三开学考试）若角与角的终边关于y轴对称，则必有（ ）
A． B．
C． D．
重难点题型突破04 弧度制的概念、角度与弧度的互化、弧度制与弧长
例4．（1）、（2022·全国·高一课时练习）的角化为角度制的结果为_______．
（2）、（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）将角度化为弧度是______.
【变式训练4-1】、（2020·上海高一课时练习）_________弧度；弧度=________.
【变式训练4-2】、（2022·上海·华东政法大学附属中学高一期中）将75°角化为弧度制为______弧度．
重难点题型突破05 扇形的周长与面积
例5．（1）、（2022·甘肃张掖·高一期末）已知圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的半径为____.
（2）、（2021·山西省长治市第二中学校高一月考）《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】、（2021·江苏常州·高一阶段练习）已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为___________.
【变式训练5-2】、（2022·黑龙江·哈师大附中高一开学考试）一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为____________度．
【变式训练5-3】、（2022·四川·高三开学考试）折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则l、d和所满足的恒等关系为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式训练5-4】、（2022·浙江·高三开学考试）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例6．（2021·全国·高一课时练习）已知扇形的圆心角为，半径为．
（1）若扇形的周长是定值（），求扇形的最大面积及此时的值；
（2）若扇形的面积是定值（），求扇形的最小周长及此时的值．
【变式训练6-1】、（2021·全国·高一课时练习）已知一扇形的中心角为，所在圆的半径为．
（1）若，求该扇形的弧长．
（2）若扇形的周长为，问当多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．
四、课堂练习
1．（2022·浙江大学附属中学高一期末）下列选项中与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）下列结论错误的是（ ）
A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°
C．化成弧度是 D．化成度是15°
3．（2021·江苏·高一专题练习）若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是
A． B． C． D．2
4．（2022·全国·高一课时练习）与终边相同的最小正角是____.
5．（2022·全国·高三专题练习）如下图，终边落在位置时的角的集合是__________；终边落在位置，且在内的角的集合是________；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______．
6．（2022·全国·高一课时练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.
(1)求关于x的函数表达式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
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突破5.1 任意角与弧度制
一、考情分析
二、考点梳理
考点1 任意角的概念
1.任意角
定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
构成要素 始边、顶点、终边
表示 常用大写字母等表示腊字母等表示；特别的，当角作为变量时，常用字母表示.
2.角的分类
分类 定义
正角 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角
负角 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角
考点2 象限角与非象限角
1.象限角
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角.
2.象限角的集合表示
象限角 集合表示
第一象限角 Z
第二象限角 Z
第三象限角 Z
第四象限角 Z
3.非象限角
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
4.非象限角的集合表示
角的终边位置 集合表示
轴的非负半轴
轴的非正半轴
轴上
轴非负半轴
轴非正半轴
轴上
考点3 终边相同的角
一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和.
考点4 弧度制的概念
1.角度制
规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
2.弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
3.弧度制与角度制的区别与联系
区别 单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同.
联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.
考点5 角度与弧度之间的互化
1.角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°=2rad 2rad=360°
180°=rad rad=180°
1°=rad0.01745rad 1rad=
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
考点6 扇形的弧长与面积公式
设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：
类别/度量单位 角度制 弧度制
扇形的弧长
扇形的面积
三、题型突破
重难点题型突破01 象限角，轴线角,对称角，区域角与集合的关系
例1、（1）、（2021·福建省福州延安中学高三开学考试）已知点，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据象限角概念求解即可.
【详解】因为，所以的终边在第二象限.
故选：B
（2）、（2021·全国·高二课时练习）已知角的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角的取值范围．
【答案】
【分析】
分别写出终边落在x轴上方和下方的阴影部分的角的集合，再求这两个集合的并集即可.
【详解】
终边落在x轴上方阴影部分的角的集合为：
，
终边落在x轴下方阴影部分的角的集合为：
，
所以角的取值范围是集合．
【变式训练1-1】、（2020·宁县第二中学高一期中）已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么________.
【答案】.
【解析】
在范围内，终边落在阴影内的角满足：或
满足题意的角为：
，，
本题正确结果：
【变式训练1-2】、（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．第二象限角大于第一象限角
B．若，则为第一或第二象限角
C．钝角一定是第二象限角
D．三角形的内角是第一或第二象限角
【答案】C
【分析】利用任意角的知识，对选项分别判断即可.
【详解】对A选项，如，故A错误.
对B选项，为第一或第二象限角或终边落在y轴正半轴上的角．故B错误.
对C选项，因为钝角大于90°且小于180°，所以钝角一定是第二象限角，故C正确.
对D选型，当三角形的一个内角为90°时，不是象限角，故D错误.
故选: C.
【变式训练1-3】、（2023·全国·高三专题练习）若是第四象限角，则是第（ ）象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【分析】由题可得，，即得答案.
【详解】是第四象限角，则，，
则，，在第二象限.
故选：B.
【变式训练1-4】、（2022·江西上饶·高一阶段练习）（多选题）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
【答案】AB
【分析】由与关于轴对称，即可判断AD；由已知可得，，再根据不等式的性质可判断B；由是第一象限角判断C．
【详解】解：因为与关于轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，
所以是第一象限角，故A正确，D错误；
因为是第二象限角，所以，，所以，，
故是第一或第三象限角，故 B正确；
因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C错误．
故选：AB．
【变式训练1-5】、（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
（1）；
（2）
【答案】（1）；
（2）或.
【分析】由图①可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，由此可求出阴影部分内的角的集合；
由图②可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，由阴影部分内的角的集合为.
【详解】如题图①，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，
所以阴影部分内的角的集合为
；
如题图②，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1=，M2=.
所以阴影部分内的角的集合为
或.
重难点题型突破02 与终边有的角的问题以及对称问题2α，，
例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ACD
【分析】先写出角的范围，再除以，从而求出角的范围，分析即得解
【详解】是第三象限的角，则，，
所以，；
当，，在第一象限；
当，，在第三象限；
当，，在第四象限；
所以可以是第一、第三、或第四象限角．
故选：ACD
（2）、（2021·安徽省蚌埠第三中学高一月考）已知α为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
【答案】D
【分析】
用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限．
【详解】
由已知为第三象限角，则
则
当时
，此时在第二象限.
当时,
，此时在第四象限.
故选： D
【变式训练2-1】、（2022·全国·高三专题练习）若是第一象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
【答案】D
【分析】根据题意求出的范围即可判断.
【详解】由题意知，，，
则，所以，．
当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．
所以是第二或第四象限角.
故选：D.
【变式训练2-2】、（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】首先表示角的取值，即可得到的取值，再对分类讨论，即可得解.
【详解】解：因为角的终边与的终边重合，
所以，，所以，，
令，则，此时的终边位于第二象限；
令，则，此时的终边位于第三象限；
令，则，此时的终边位于第四象限．
所以的终边不可能在第一象限，
故选：A．
重难点题型突破03 已知终边求角与已知终边区域求角
例3．（1）、（2022·全国·高一课时练习）终边落在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先确定的倾斜角为，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可.
【详解】易得的倾斜角为，当终边在第一象限时，，；当终边在第三象限时，，．所以角的集合为．
故选：B
（2）、（2019·新疆·兵团二中高一期中）设集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别取，得到内的值，与取交集得答案．
【详解】∵，
当时，时，时，时，
又，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了赋值思想，是基础题．
【变式训练3-1】、（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）若角，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【分析】根据象限角的定义判断．
【详解】因为，所以是第二象限角．
故选：B．
【变式训练3-2】、（2022·北京十四中高三开学考试）若角与角的终边关于y轴对称，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据角与角的终边关于y轴对称，有，即可得解.
【详解】角与角的终边关于y轴对称，
所以，
，
即，
故选：D
【点睛】此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数关系求解.
重难点题型突破04 弧度制的概念、角度与弧度的互化、弧度制与弧长
例4．（1）、（2022·全国·高一课时练习）的角化为角度制的结果为_______．
【答案】
【分析】利用角度与弧度的互化即可求得对应角度制的结果
【详解】
故答案为：
（2）、（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）将角度化为弧度是______.
【答案】##
【分析】利用角度制和弧度制的互化求解.
【详解】角度化为弧度是，
故答案为：
【变式训练4-1】、（2020·上海高一课时练习）_________弧度；弧度=________.
【答案】 80°
【解析】
根据角度制与弧度制的互化公式，
可得，.
故答案为：，.
【变式训练4-2】、（2022·上海·华东政法大学附属中学高一期中）将75°角化为弧度制为______弧度．
【答案】##
【分析】根据角度制与弧度制的转化公式求解即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
重难点题型突破05 扇形的周长与面积
例5．（1）、（2022·甘肃张掖·高一期末）已知圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的半径为____.
【答案】4
【分析】由扇形的面积公式列方程即可求解.
【详解】扇形的面积，即，解得：.
故答案为：.
（2）、（2021·山西省长治市第二中学校高一月考）《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意知这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．
【详解】
由题得：弓所在的弧长为：；
所以其所对的圆心角；
两手之间的距离m．
故选：B
【变式训练5-1】、（2021·江苏常州·高一阶段练习）已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为___________.
【答案】
【分析】根据扇形的面积公式 ，直接求得答案.
【详解】扇形的半径为，圆心角为，
故扇形的面积（），
故答案为：
【变式训练5-2】、（2022·黑龙江·哈师大附中高一开学考试）一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为____________度．
【答案】
【分析】设扇形的半径为，圆心角为，根据弧长与扇形面积公式得到方程组，解得即可.
【详解】解：设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，
解得；
故答案为：
【变式训练5-3】、（2022·四川·高三开学考试）折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则l、d和所满足的恒等关系为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用弧长公式及直角三角形中的正弦公式，化简即可得到答案.
【详解】解：设扇形的半径为R，如图，由弧长公式，得，在直角三角形中，
化简得.
故选：A．
【变式训练5-4】、（2022·浙江·高三开学考试）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据弧长公式，可得出两个扇形的半径之比，从而可求出面积之比.
【详解】设，，，，，
而，，即是的中点，
，，
.
故选：C
例6．（2021·全国·高一课时练习）已知扇形的圆心角为，半径为．
（1）若扇形的周长是定值（），求扇形的最大面积及此时的值；
（2）若扇形的面积是定值（），求扇形的最小周长及此时的值．
【答案】（1），面积最大值为； （2），周长的最大值为.
【分析】（1）由扇形的周长是定值，求得，再由扇形的面积公式，结合二次函数的性质和弧长公式，即可求解.
（2）由扇形的面积是定值，求得，再由扇形的弧长公式和本不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意知，扇形的圆心角为，半径为，设扇形的弧长弧长为，
若扇形的周长是定值（），则，即，
又由扇形的面积为，
当时，扇形的面积取得最大值，此时最大值为，
此时，又由扇形的弧长公式，可得，解得.
（2）由扇形的圆心角为，半径为，设扇形的弧长弧长为，
若扇形的面积是定值（），则，即，
又由扇形的弧长公式，可得扇形的周长为，
当且仅当时，即时，等号成立，
此时，由弧长公式，可得，解得.
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式，以及基本不等式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
【变式训练6-1】、（2021·全国·高一课时练习）已知一扇形的中心角为，所在圆的半径为．
（1）若，求该扇形的弧长．
（2）若扇形的周长为，问当多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．
【答案】（1）； （2），扇形的最大面积为.
【分析】（1）由扇形的弧长公式，即可求得该扇形的弧长；
（2）由扇形的周长为，求得，再由扇形的面积公式，可得,结合二次函数性质，即可求解面积的最大值，以及对应的的值.
【详解】（1）由扇形的弧长公式，可得该扇形的弧长为；
（2）由题意，扇形的周长为，所以，可得，
又由扇形的面积公式，可得,
当时，扇形的面积取得最大值，此时最大面积为，
此时，即，解得.
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
四、课堂练习
1．（2022·浙江大学附属中学高一期末）下列选项中与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出与角终边相同的角的集合，取值得答案.
【详解】解：与角终边相同的角的集合为，
取时，.
故选：D
2．（2022·全国·高一课时练习）下列结论错误的是（ ）
A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°
C．化成弧度是 D．化成度是15°
【答案】A
【分析】利用弧度和度的互化公式对选项进行逐一验证即可得出答案.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确．
故选：A
3．（2021·江苏·高一专题练习）若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】试题分析：设圆半径为r则由平面几何知识，内接正三角形的边长为r，所以由弧度制定义知，其圆心角的弧度数是r÷r=,故选C．
考点：本题主要考查角度制与弧度制的概念及其互化．
点评：牢记概念，并注意两种度量制度的转化．
4．（2022·全国·高一课时练习）与终边相同的最小正角是____.
【答案】°
【分析】用360°的整数倍的角去相加（减）可得．实际上是化为（）形式即可．
【详解】，
与终边相同，又终边相同的两个角相差的整数倍，
在上，只有与终边相同，
与终边相同的最小正角是，
故答案为：.
5．（2022·全国·高三专题练习）如下图，终边落在位置时的角的集合是__________；终边落在位置，且在内的角的集合是________；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______．
【答案】
【分析】找出以为终边的一个角，用终边相同角的表示法表示即可得终边上的角的集合，同样得终边在上的角的集合，然后确定在已知范围内的即可得，在以，边终边的角中各找一个在一个周期内且以为终边较小的角，然后由不等关系写出结论．
【详解】由题意以为终边的一个角是，因此以为终边的角的集合是；
以为终边的角的集合是，在已知范围内的有两个角，集合表示为；
∴终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为．
故答案为：；；．
【点睛】本题考查终边相同角的表示方法，对于阴影部分角的表示要注意，特别象题中阴影部分，要抓住终边按逆时针方向旋转时角在增大，就不容易出错．
6．（2022·全国·高一课时练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.
(1)求关于x的函数表达式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于、的等式，即可得出关于的函数解析式；
（2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值，即可得出结论.
（1）
解：根据题意，可算得，．
因为，所以，
所以，.
（2）
解：根据题意，可知
，
当时，.
综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为.
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