数学人教A版（2019）必修第一册3.2.2奇偶性（共58张ppt）

(共58张PPT)
3.2函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
课程目标
1、理解函数的奇偶性及其几何意义；
2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3、学会判断函数的奇偶性．
数学学科素养
1.数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性；
2.逻辑推理：证明函数奇偶性；
3.数学运算：运用函数奇偶性求参数；
4.数据分析：利用图像求奇偶函数；
5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题。
函数图象在定义域的某个区间上“上升”或“下降”的性质
复习回顾
函数单调性的定义
在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数 和
的图象，并观察这两个函数图象，你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
问题1
图像关于 轴对称
探究
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图像关于 轴对称”这一特征吗？
函数 的图象，
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x2 … …
9 4 1 0 1 4 9
f(-1)
f(1)
f(-2)
f(2)
f(-3)
f(3)
=
=
=
-x
x
(x.f(x))
(-x,f(-x))
f(-x)
f(x)
=
问题1
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
函数 的图象，
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x2 … …
9 4 1 0 1 4 9
问题1
思考 我们发现表格中列出的点具有上述性质，那么表格中没有出现的点是否也具有相同的性质呢？
结论 事实上， ，
具备这样特征的函数，我们称为偶函数 .
请仿照这个过程说明函数 也是偶函数。
f(-1)
f(1)
f(-2)
f(2)
f(-3)
f(3)
=
=
=
f(-x)
f(x)
=
问题1
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=2-|x| … …
-1 0 1 2 1 0 -1
一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数 就叫做偶函数 .
归纳总结
偶函数定义
偶函数
1、如何理解定义中的“ ，都有 ”？
偶函数的定义域必须关于原点对称.
显然不可以，函数的奇偶性体现了函数的整体性质，即它要求定义域中的任意一个自变量都具有这样的特性.
2、定义中“ ”可以删去吗？为什么？
偶函数
思考: 定义中“任意一个x,都有f(-x)=f(x)成立”说明了什么？
2、f(-x)与f(x)都有意义，
1、说明-x、x 必须同时属于定义域，
偶函数
思考 对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个函数是偶函数吗？
【答】不一定.因为 并不能保证所有的 ，所
以不一定是偶函数.
偶函数
偶函数的图象关于y轴对称.
偶函数的定义域关于原点对称.
O
a
-a
b
-b
1
2
3、 是偶函数 ，且
练习 判断下列函数是否为偶函数。
是
不是
常见的偶函数有 ， 等等
偶函数
观察函数 和 的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？
图象关于原点对称
问题2
探究
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图像关于原点成中心对称”这一特征吗？
x
-x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f (x) -3 -2 -1 0 1 2 3
问题2
函数
当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数。
同样地，表格中没有出现的其它点也符合上述规律,
例如 ,
具备这样特征的函数，我们称为奇函数 .
问题2
函数
一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数 就叫做奇函数 .
归纳总结
奇函数定义
奇函数
1、如何理解定义中的“ ，都有 ”？
奇函数的定义域必须关于原点对称.
显然不可以，函数的奇偶性体现了函数的整体性质，即它要求定义域中的任意一个自变量都具有这样的特性.
2、定义中“ ”可以删去吗？为什么？
奇函数
思考: 定义中“任意一个x,都有f(-x)=-f(x)成立”说明了什么？
2、f(-x)与f(x)都有意义，
1、说明-x、x 必须同时属于定义域，
奇函数
思考 对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个函数是奇函数吗？
【答】不一定.因为 并不能保证所有的 ，所
以不一定是奇函数.
奇函数
1、奇函数的图象关于原点对称，反之，一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数．
2、奇函数的定义域关于原点对称
3、 是奇函数 ，且
4、已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。
奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性：
设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
偶
奇
偶
奇
奇
奇
奇
奇
偶
偶
偶
奇
奇
奇
偶
偶
偶
偶
偶
偶
奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.
如果奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，
那么在区间[-a,-b]上就是单调增函数.
②偶函数：偶函数在y轴左右两边的单调性是完全相反的.
如果偶函数在区间[a,b]上的单调增函数，
那么在区间[-a,-b]上就是单调减函数.
判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
解：函数 定义域为 ， ，都有 ，
且 ，
所以函数 是偶函数.
例题
判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
例题
显然不是，此时函数 的定义域为 ，
不关于原点对称，所以函数 不具有奇偶性.
如果函数改为 ，那么 还是偶函数吗？
变式
根据奇（偶）函数的定义判断一个函数的奇偶性，步骤如下：
第一步，求出函数的定义域 .
第二步，判断定义域是否关于原点对称，若否，则函数不具有奇偶性，结束判断；若是，则进行第三步.
归纳总结
根据奇（偶）函数的定义判断一个函数的奇偶性，步骤如下：
归纳总结
第三步， （ 为定义域），计算 ，
若 ，则 为偶函数；
若 ，则 为奇函数；
若 且 ，
则 既不是奇函数也不是偶函数；
若 且 ，
则 既是奇函数也是偶函数.
根据奇（偶）函数的图像判断一个函数的奇偶性，步骤如下：
归纳总结
归纳总结
特别地，证明一个函数是奇函数或者偶函数要对定义域中任意一个自变量都成立，
但证明函数不是奇函数或偶函数只需要举出一个反例即可，证明f(-x0)≠f(x0)即可.
（2） ；
（3） ；
（4） .
判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
例题
解
函数 定义域为 ，
，都有 ，
且 ，
所以函数 是奇函数.
（2） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
例题
解
函数 定义域为 ，
， ，
所以函数 是既不是奇函数也不是偶函数.
（3） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
例题
解
函数 定义域为 ， ，都有 ，
且 ，
所以函数 既是奇函数也是偶函数.
（4） .
（1） 判断函数 的奇偶性.
解：函数 定义域为 ， ，都有 ，
且 ，
所以函数 是奇函数.
练习
奇函数
关于原点
对称
（2） 下图是函数 图象的一部分，你能根据
函数 的奇偶性画出它在 轴左侧的图象吗？
练习
相同点：
① 定义域关于原点对称；
② 都是函数的整体性质.
奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？
不同点：
当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等，
而奇函数的函数值是一对相反数；
② 偶函数的图象关于 轴对称，而奇函数的图象关
于原点对称.
小结
当堂训练
5、已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,
(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.
解:(1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)当x<0时,-x>0,则
f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.
解题方法（求函数解析式的注意事项）
1.已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,
f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,
f(x)=f(-x)=φ(-x).
2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
6、(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.　
解题方法（利用奇偶性求参数）
1.定义域含参数：奇偶函数的定义域为[a,b],则根据定义域关于原点对称，即a+b=0求参；
2.奇偶函数求参可利用特殊值法，若是奇函数则利用f(0)=0,或f(1)+f(-1)=0等，若是偶函数则利用f(1)-f(-1)=0等求参.