2022-2023鲁教版数学八年级上册第二章分式与分式方程单元测试（含解析）

2022-2023鲁教版数学八年级上册第二章分式与分式方程单元测试
一、选择题
下列关于分式方程增根的说法正确的是( )
A. 使所有的分母的值都同时为零的解是增根 B. 分式方程的解为就是增根
C. 使分子的值为的解就是增根 D. 使最简公分母的值为的解是增根
当时，下列分式没有意义的是( )
A. B. C. D.
下列各式：，其中分式共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
若、的值均扩大为原来的倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A. B. C. D.
计算的正确结果是( )
A. B. C. D.
老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是( )
A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁
甲从地到地要走小时，乙从地到地要走小时，若甲、乙二人同时从、两地出发，经过几小时相遇( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
下列说法错误的是( )
A. 与的最简公分母是
B. 与的最简公分母是
C. 与的最简公分母是
D. 与的最简公分母是
已知分式的值是，如果用，的相反数代入这个分式所得的值为，则，关系为 ( )
A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 乘积为
若，，则的值为( )
A. B. C. D.
九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为( )
A. B.
C. D.
若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为( )
A. B. C. D.
二、填空题
若分式的值为，则的值为__________．
分式，，的最简公分母为______．
若关于的分式方程有增根，则的值为______．
是关于与的五次三项式，则______．
若分式的值为，则__________．
若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______ ．
三、计算题
计算：
； ．
解方程：
．
．
四、解答题
化简求值：；其中
疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多元，请解答下列问题：
求购进的第一批医用口罩有多少包？
政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
北京市以年冬奥会和冬残奥会为契机，大力提升城市服务保障能力．在水定河沿岸，紧邻北京冬奥组委和首钢滑雪大跳台建成冬奥公园．冬奥公园最大的亮点是拥有一条长的全封闭马拉松跑道．马拉松线路设计很有创意，分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑．小明先进行了智慧跑，接着进行了堤上跑，一共用时分钟．已知小明进行堤上跑的平均速度是他进行智慧跑的平均速度的倍，求小明进行智慧跑，堤上跑的平均速度各是多少．
新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控工作，某市为了尽快完成万只口罩的生产任务，安排甲、乙两个大型工厂完成．已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的倍，并且在独立完成万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用天．问至少应安排两个工厂工作多少天才能完成任务？
某公司生产的一种营养品信息如表已知甲食材每千克的进价是乙食材的倍，用元购买的甲食材比用元购买的乙食材多千克．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 毫克
乙食材 毫克
规格 每包食材含量 每包单价
包装 千克 元
包装 千克 元
问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
该公司每日用元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
已知每日其他费用为元，且生产的营养品当日全部售出若的数量不低于的数量，则为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：、，当时，分式有意义不合题意；
B、，当时，，分式无意义符合题意；
C、，当时，分式有意义不合题意；
D、，当时，分式有意义不合题意；
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由题可得，分式有：，共个，
故选：．
根据分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可．
此题主要考查了分式定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
4.【答案】
【解析】解：．，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质，，的值均扩大为原来的倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
直接利用分式的乘方法则计算即可．
此题主要考查了分式的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是约分，分式的乘除法，直接根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【解答】
解：，甲的运算结果正确
，乙的运算结果错误
，丙的运算结果正确
，丁的运算结果错误，
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了列代数式分式，解答此题可将，两地的距离看成单位，然后根据时间，可得甲的速度为，乙的速度为，然后根据相遇问题求出相遇的时间即可．
【解答】
解：设，两地间的距离为单位“”，
故相遇的时间为：小时．
故选D．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查分式的化简，是一个中考中经常出现的问题．用、的相反数代入分式，即可判断、关系．
【解答】
解：根据题意：用、的相反数代入这个分式
所以、关系是互为相反数，
故选B．
10.【答案】
【解析】解：
，
；
故选：．
首先通分，然后同分母相加后约分求出，代入求值即可．
本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式加减法法则，求出的值是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：规定时间为天，
慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，
又快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里，
．
故选：．
根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的感觉．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为，得出且是解题的关键。
根据分式方程的解为正数即可得出且，根据不等式组的解集为，即可得出，找出且中所有的整数，将其相加即可得出结论。
【解答】
解：分式方程的解为且，
关于的分式方程的解为正数，
且，
且，
，
解不等式得：；
解不等式得：，
关于的不等式组的解集为，
且，
为整数，
满足条件的的值为、、、、、、，
所有整数的和为
故选A．
13.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
分式的值为的条件是：分子为；分母不为两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】
解：由题意可得：且，
解得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，，分母分别是、、，故最简公分母是；
故答案是：．
确定最简公分母的方法是：
取各分母系数的最小公倍数；
凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母．通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
15.【答案】
【解析】解：方程两边都乘，
得
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，．
故答案为．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16.【答案】
【解析】解：原多项式是一个五次三项式，最高项是，
，
，
原式
，
，
，
故答案为：．
先根据原多项式是一个五次三项式得出的值，代入原式后，根据原式为三项式，得出的值，最后把，代入求解即可．
本题考查了分式的乘除法及多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了绝对值的性质和分式有意义的条件，分式的值为的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义分母为零；分式有意义分母不为零；分式值为零分子为零且分母不为零，分母为零，分式无意义．
由题意，且，计算可得解．
【解答】
解：要使的值为，
则分子且分母，
即时，分子的值为；
当分母，
即或时，分式无意义，
．
故答案为．
18.【答案】且
【解析】解：方程两边同时乘以得，，
解得．
为正数，
，解得．
，
，即．
的取值范围是且．
故答案为：且．
先利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可．
本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式．
原式．
【解析】本题主要考查了分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是关键．
直接根据分式乘法运算法则计算即可；
将两个分式的分子，分母分别分解因式，再约分即可．
20.【答案】解：去分母，得解得经检验，是增根，所以分式方程无解去分母，得，解得，经检验，是分式方程的解．
【解析】略
21.【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【解析】先化简分式，然后将的值代入求值．
本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
22.【答案】解：设购进的第一批医用口罩有包，则购进的第二批医用口罩有包，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：购进的第一批医用口罩有包；
购进的第二批医用口罩的数量为包．
设药店销售该口罩每包的售价为元，
依题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：药店销售该口罩每包的最高售价是元．
【解析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用有关知识．
设购进的第一批医用口罩有包，然后根据题意列出方程即可解答；
设药店销售该口罩每包的售价是元，根据题意列出不等式，再进行解答即可．
23.【答案】解：设小明进行智慧跑的平均速度为，则小明进行堤上跑的平均速度为，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
所以．
故小明进行智慧跑的平均速度为，进行堤上跑的平均速度为．
【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设小明进行智慧跑的平均速度为，则小明进行堤上跑的平均速度为，利用时间路程速度，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出小明进行智慧跑的平均速度，再将其代入中即可求出小明进行堤上跑的平均速度．
24.【答案】解：乙厂每天生产口罩万只，则甲厂每天生产口罩万只，
根据题意得：，
解得：，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
甲厂每天生产口罩万只，乙厂每天生产口罩万只．
设安排两个工厂工作天才能完成任务，则
，
解得．
答：所以至少应安排两个工厂工作天才能完成任务．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式．
设乙厂每天生产口罩万只，则甲厂每天生产口罩万只，根据工作时间总工作量工作效率结合在独立完成万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用天，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出甲厂每天生产口罩万只，乙厂每天生产口罩万只；然后设安排两个工厂工作天才能完成任务，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
25.【答案】解：设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，
由题意得，
解得，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
元，
答：甲食材每千克进价为元，乙食材每千克进价为元；
设每日购进甲食材千克，乙食材千克，
由题意得，解得，
答：每日购进甲食材千克，乙食材千克；
设为包，则为包，
的数量不低于的数量，
，
，
设总利润为元，根据题意得：
，
，
随的增大而减小，
当时，的最大值为，
答：当为包时，总利润最大，最大总利润为元．
【解析】设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，根据“用元购买的甲食材比用元购买的乙食材多千克”列分式方程解答即可；
设每日购进甲食材千克，乙食材千克，根据的结论以及“每日用元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可；
设为包，则为包，根据“的数量不低于的数量”求出的取值范围；设总利润为元，根据题意求出与的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
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