14.3.2 公式法-平方差公式 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
14.3.2 公式法
平方差公式
人教版八年级上册
知识回顾
因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
提公因式法分解因式
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
知识回顾
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2.
(a+b)2=a2+2ab+b2 ；
(a-b)2=a2-2ab+b2.
完全平方公式:
教学目标
1.了解并掌握公式法分解因式的运算法则.
2.熟练运用公式法分解因式的运算法则进行实际的计算.
新知导入
问题1：多项式a2–b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a，b两数的平方差的形式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
∵(a+b)(a-b)=a2-b2
∴a2-b2= (a+b)(a-b)
a2-b2=(a+b)(a-b).
新知典例
例1 分解因式：
(1) 4x2-9 ； (2) (x+p)2-(x+q)2 .
解：(1) 4x2-9
=(2x)2-32
=(2x+3)(2x-3) ；
(2) (x+p)2-(x+q)2
=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]
=(2x+p+q)(p-q).
新知小结
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
新知练习
√
√
×
×
1.辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2–( )2的形式.
(1)x2+y2
(2)x2–y2
(3)–x2–y2
–(x2+y2)
y2–x2
(4)–x2+y2
(5)x2–25y2
(x+5y)(x–5y)
(6)m2–1
(m+1)(m–1)
新知练习
2.分解因式：
(1)(a＋b)2–4a2； (2)9(m＋n)2–(m–n)2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b–2a)(a＋b＋2a)
＝(b–a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
新知探究
例2 分解因式：
解：(1)原式＝(x2)2–(y2)2
＝(x2+y2)(x2–y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x–y);
(2)原式＝ab(a2–1)
＝ab(a+1)(a–1).
分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解，直到不能分解为止.
新知小结
分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
新知练习
2. 分解因式：
(1)5m2a4–5m2b4； (2)a2–4b2–a–2b.
＝(a＋2b)(a–2b–1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a–b)；
解：(1)原式＝5m2(a4–b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2–b2)
(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b)
＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)
新知探究
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
∴x–y＝–2②.
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得：
方法总结：在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
新知练习
3.已知x–y=2，x2–y2=8，求x+y的值.
新知探究
例4 计算下列各题：
(1)1012–992； (2)53.52×4–46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101–99)＝400；
(2)原式＝4(53.52–46.52)
＝ 4(53.5＋46.5)(53.5–46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
新知练习
4.用平方差公式进行简便计算:
(1)38 –37 (2)91×89
解：(1) 38 –37
=(38+37)(38–37)
=75
(2) 91×89
=(90+1)(90–1)
=90 –1=8100–1
=8099
新知探究
例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n 2=8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
新知练习
5. 若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2–2bc=c2–2ab，试判断这个三角形的形状.
解：∵a2–2bc=c2–2ab，
∴(a2–c2)+ 2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+ 2b（a-c）=0，
∴(a–c)(a+c+2b)=0.
∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c，
∴这个三角形是等腰三角形.
分析：已知等式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解，得到a=c，即可确定出三角形形状.
课堂总结
平方差公式分解因式
公式
a2–b2=(a+b)(a–b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
课堂练习
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋(–b)2 B．5m2–20mn
C．–x2–y2 D．–x2＋9
D
2. 将多项式x–x3因式分解正确的是(　　)
A．x(x2–1) B．x(1–x2)
C．x(x+1)(x–1) D．x(1+x)(1–x)
D
3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为(　　)
A．–21 B．21 C．–10 D．10
A
课堂练习
4.把下列各式分解因式：
(1)16a2–9b2=_________________;
(2)(a+b)2–(a–b)2=_________________;
(3) 因式分解：2x2–8=_________________;
(4) –a4+16=____________________.
(4a+3b)(4a–3b)
4ab
(4+a2)(2+a)(2–a)
5.若将(2x)n–81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x–3)，则n的值是_________.
4
2(x+2)(x–2)
谢谢
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