一 二次函数
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一、选择题
1、在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
［思路分析］二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y＝﹣kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
［答案详解］解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
［经验总结］本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
2、已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而减少
D．图象与x轴有唯一交点
［思路分析］先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程﹣x2+2x+4＝0可对D进行判断．
［答案详解］解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，
∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：A．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程根的判断．也考查了二次函数的性质．
3、画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 0 1 0 ﹣3 ﹣8 …
关于此函数有下列说法：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣3；其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
［思路分析］先由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，得到函数图象开口向下；利用y＝0时，x＝1或x＝3，得到函数的对称轴，再结合开口方向得到函数的增减性；利用对称轴为直线x＝1和x＝4时y＝﹣3得到x＝0时的函数值．
［答案详解］解：由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，
∴函数图象开口向下，故①错误，不符合题意；
∵y＝0时，x＝1或x＝3，
∴函数的对称轴为直线x＝2，
∵开口向下，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故②正确，符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，当x＝4时y＝﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，故③正确，符合题意；
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的表示、二次函数的性质，解题的关键是学会读表．
4、二次函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤2时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值1，有最小值﹣2 B．有最大值2，有最小值﹣2
C．有最大值1，有最小值﹣1 D．有最大值2，有最小值1
［思路分析］把二次函数解析式转化为顶点式，求出顶点坐标即可求出最大值，再根据自变量的取值范围找出最小值即可．
［答案详解］解：二次函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
a＜0开口向下，顶点坐标为：（1，2），
∴当﹣1≤x≤2时，有最大值2，
当x＝﹣1时，有最小值，y最小值＝﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+1＝﹣2，
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质和最值，解决问题的关键是能将解析式转化为顶点式找到顶点坐标以及根据自变量取值找出最小值．
5、若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（ ）
A．﹣2或6 B．2或6 C．﹣或6 D．﹣或﹣2
［思路分析］表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
［答案详解］解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
①当≤﹣2，即m≤﹣4时，当x＝﹣2时，函数最大值为5，
∴﹣4﹣2m＝5，
解得：m＝﹣4.5；
②当≥1，即m≥2时，当x＝1时，函数最大值为5，
∴﹣1+m＝5，
解得：m＝6．
③当﹣2＜＜1，即﹣4＜m＜2时，当x＝时，函数最大值为5，
∴﹣+＝5，
解得m＝2（舍去）或m＝﹣2（舍去），
综上所述，m＝﹣4.5或m＝6，
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于m的方程．
6、抛物线L：y＝ax（x+4）+5a的顶点的纵坐标为2，若﹣5≤x≤﹣1，则该函数的最值情况，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为2，最小值为﹣20
B．最大值为20，最小值为2
C．最大值为20，最小值为4
D．a值不确定，故无法求最值
［思路分析］把解析式化成顶点式，根据题意a＝2，即可得到y＝2x（x+4）+10＝2（x+2）2+2，故抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质即可得到在﹣5≤x≤﹣1范围内，该函数的最值．
［答案详解］解：抛物线L：y＝ax（x+4）+5a＝ax2+4ax+5a＝a（x+2）2+a，
∵抛物线L：y＝ax（x+4）+5a的顶点的纵坐标为2，
∴a＝2，
∴y＝2x（x+4）+10＝2（x+2）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∴在﹣5≤x≤﹣1内，函数有最小值2，
把x＝﹣5代入y＝2x（x+4）+10得y＝20，
把x＝﹣1代入y＝2x（x+4）+10得y＝4，
∴若﹣5≤x≤﹣1，则该函数最大值为20，最小值为2，
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
7、抛物线y＝x2﹣2x﹣a上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）两点，则y1和y2的大小关系为（ ）
A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
［思路分析］根据二次函数的性质得到抛物线y＝x2﹣2x﹣a＝（x﹣1）2﹣1﹣a的开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据点离对称轴的远近判断函数值的大小．
［答案详解］解：由抛物线y＝x2﹣2x﹣a＝（x﹣1）2﹣1﹣a可知，抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣a上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）两点，且1﹣（﹣4）＞2﹣1，
∴y1＞y2．
故选：A．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8、抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
［思路分析］根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
［答案详解］解：∵y＝（x﹣3）2+1，
∴此函数的顶点坐标为（3，1），
故选：A．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
9、如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③4ac﹣b2＜0；
④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；
⑤am2+bm＜a﹣b（m为任意实数）；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
［思路分析］根据函数图象和题意，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
［答案详解］解：由函数图象可得，a＜0，c＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，即2a﹣b＝0，故②正确；
∴abc＞0，故①正确，
由图可知，二次函数与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故③正确；
∵函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2，故④正确，
由图可知，当x＝﹣1时，y取得最大值，
∴am2+bm+c≤a﹣b+c，即am2+bm≤a﹣b，故⑤错误．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10、新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
［思路分析］根据新定义得到当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，在0≤m≤3时，得到﹣2≤n′≤2；当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，在﹣1≤m＜0时，得到﹣2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3．
［答案详解］解：由题意可知，
当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当0≤m≤3时，﹣2≤n′≤2，
当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，
∴当﹣1≤m＜0时，﹣2＜n′≤3，
综上，当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3，
故选：D．
［经验总结］本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
二、填空题
11、如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，A（3，0），C（0，）．D是BC的中点，M是线段OC上的点且OM＝OC，点P是线段OM上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．
（1）当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是 ；
（2）以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，则点G的运动路径的长是 ．
［思路分析］（1）求出点B、D的坐标，再将B（3，），D（，）代入y＝ax2+bx，即可求解；
（2）当P点在O点时，△DFG是等边三角形，当P点在M点时，△DF'G'是等边三角形，可证明△DFF'≌△DGG'（SAS），则FF'＝GG'，求出FF'长即为G点的运动轨迹长．
［答案详解］解：（1）∵A（3，0），C（0，），四边形OABC是矩形，
∴B（3，），
∵D是BC的中点，
∴D（，），
∵点P与原点重合，
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
将B（3，），D（，）代入y＝ax2+bx，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x，
故答案为：y＝﹣x2+x；
（2）∵OM＝OC，
∴OM＝，
∴M（0，），
如图：当P点在O点时，△DFG是等边三角形，当P点在M点时，△DF'G'是等边三角形，
∴DF＝DG，DG'＝DF'，∠FDG＝∠G'DF'＝60°，
∴∠GDG'＝∠FDF'，
∴△DFF'≌△DGG'（SAS），
∴FF'＝GG'，
当P点与O点重合时，y＝﹣x2+x，
令y＝0，则x＝0或x＝，
∴E（，0），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
∴F（3，）；
当P点与M点重合时，
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将点B（3，），D（，），P（0，）代入，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+x+，
令y＝0，则﹣x2+x+＝0，
解得x＝6或x＝﹣，
∴E（6，0），
设直线ED的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
∴F'（3，）；
∴FF'＝﹣＝，
∴GG'＝，
∴点G的运动路径的长是，
故答案为：．
［经验总结］本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
12、在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
［思路分析］把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
［答案详解］解：y＝x2+x+2＝﹣（x﹣8）2+4，
∵﹣＜0，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键．
13、根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
［思路分析］把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
［答案详解］解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14、抛物线y＝x2﹣2x+3的最小值为 ．
［思路分析］利用配方法，把函数解析式化为顶点式，在根据函数的性质求最值．
［答案详解］解：y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+1，
∵a＝1＞0，
∴当x＝1时，y有最小值，最小值为2，
故答案为：2．
［经验总结］本题考查二此函数的最值，关键是对二次函数性质的掌握．
15、发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第 秒时，炮弹位置达到最高．
［思路分析］求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时x的值．
［答案详解］解：∵此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝11，
∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒．
故答案为：11．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出抛物线的对称轴．
16、退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 ．
［思路分析］若和墙相邻的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（30+1﹣2x）米，利用矩形的面积计算公式，即可得出y与x之间的函数关系式，再结合院墙长15米及平行于墙的一边长非负，即可得出x的取值范围．
［答案详解］解：若和墙相邻的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（30+1﹣2x）米，
依题意得：y＝x（30+1﹣2x）＝﹣2x2+31x．
又∵，
∴8≤x＜15.5，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+31x（8≤x＜15.5）．
故答案为：y＝﹣2x2+31x（8≤x＜15.5）．
［经验总结］本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
17、抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 ．
［思路分析］根据二次函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
［答案详解］解：∵y＝﹣2（x﹣1）2，﹣2＜0
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），
|﹣1﹣1|＝2，|1﹣1|＝0，|2﹣1|＝1，
∴y2＞y3＞y1，
故答案为：y2＞y3＞y1．
［经验总结］本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18、据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为x（x＞0），那么y关于x的函数解析式为 ．
［思路分析］2019到2021是两年时间，2019年蔬菜产量为100万吨，所以y＝100（1+x）2．
［答案详解］解：y＝100（1+x）2．
故答案为：y＝100（1+x）2．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握求平均变化率的方法．
19、已知某商品每箱盈利13元．现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．则每箱涨价 元时，每天的总利润达到最大．
［思路分析］直接利用每箱利润×销量＝总利润，进而得出关系式求出答案．
［答案详解］解：设每箱涨价x元，总利润为y，根据题意可得：
y＝（13+x）（50﹣2x）
＝﹣2x2+24x+650
＝﹣2（x﹣6）2+722，
答：每箱涨价6元时，每天的总利润达到最大．
故答案为：6．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
20、定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有 ．（只需填写序号）
［思路分析］①把m＝﹣3代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
［答案详解］解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
①当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是（，）；此结论正确；
②当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得x＝，x1＝1，x2＝﹣﹣，
|x2﹣x1|＝+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；
③当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，＝﹣＞，即对称轴在x＝右边，因此函数在x＝右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．
故答案为：①②④．
［经验总结］此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．
三、解答题
21、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，其中a为常数，点A（﹣4，2a﹣4）在此抛物线上．
（1）求此时抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）设点M（x，y）为抛物线上一点，当﹣3≤x≤2时，求纵坐标y的最大值与最小值的差；
（3）已知点P（﹣2，﹣3），Q（2，﹣3）为平面直角坐标系内两点，连接PQ．若抛物线向上平移c个单位（c＞0）的过程中，与线段PQ恰好只有一个公共点，请直接写出c的取值范围．
［思路分析］（1）将点坐标代入解析式求解得出a的值即可．
（2）根据抛物线开口方向及对称轴方程可得x＝﹣1时y取最小值，x＝2时y取最大值，进而求解．
（3）分类讨论抛物线顶点落在PQ上，点P和点Q落在抛物线上的临界值，通过数形结合求解．
［答案详解］解：（1）把点A（﹣4，2a﹣4）代入抛物线解析式y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，
得2a﹣4＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）﹣2a．
解得a＝3．
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣6．点A的坐标为（﹣4，2）．
（2）∵抛物线的对称轴为直线，且﹣3≤x≤2．
∴当x＝﹣1时，y最小＝﹣7．
∵当x＝﹣3时，y＝﹣3；当x＝2时，y＝2，
∴y最大＝2．
∴点M纵坐标y的最大值与最小值的差为：y最大﹣y最小＝2﹣（﹣7）＝9．
（3）由题意可知，PQ∥x轴．
抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，抛物线顶点坐标为（﹣1，c﹣7），
当抛物线顶点落在PQ上时，c﹣7＝﹣3，
解得c＝4，满足题意．
把Q（2，﹣3）代入y＝x2+2x﹣6+c得﹣3＝4+4﹣6+c，
解得c＝﹣5，
把P（﹣2，﹣3）代入y＝x2+2x﹣6+c得﹣3＝4﹣4﹣6+c，
解得c＝3，
∴0＜c＜3满足题意，
综上所述，0＜c＜3或c＝4．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合的方法求解．
22、如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， ．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，所以x＝﹣2或x＝3，由此可得结论；
（2）①由题意可知，P（1，4），所以CP＝1，AB＝5，由平行线分线段成比例可知，＝＝．
②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，所以直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．所以PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，因为PQ∥AB，所以＝＝＝﹣（m﹣）2+，由二次函数的性质可得结论；
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，由∠BCO+2∠PCB＝90°，可知CP平分∠BCF，延长CP交x轴于点M，易证△CBM为等腰三角形，所以M（8，0），所以直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，令﹣x2+x+4＝﹣x+4，可得结论．
［答案详解］解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x轴，
∴＝＝．
②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．
设点P的横坐标为m，
则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．
∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，
∵PQ∥AB，
∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，的最大值为．
另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．
过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，
∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCF+∠MCF＝90°，
∴∠MCF＝∠BCP，
延长CP交x轴于点M，
∵CF∥x轴，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM为等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，
令﹣x2+x+4＝﹣x+4，
解得x＝或x＝0（舍），
∴存在点P满足题意，此时m＝．
［经验总结］此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点P的坐标．
23、新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．
（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
［思路分析］（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出C2的顶点坐标；
（2）①设点P的横坐标为m，则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达MN的长，列出方程，可求出点P的坐标；
②分情况讨论，当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，分别得出C2的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值．
［答案详解］解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，
∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，
∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；
（2）①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，
∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），
∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，
∵MN＝6a，
∴|3am2﹣3am|＝6a，
解得m＝﹣1或m＝2，
∴P（﹣1，0）或（2，0）．
②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，
当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，
当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2，
且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2﹣或a＝2+（舍）；
当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝或a＝﹣（舍）；
Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，
函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3；
∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，
解得a＝（舍）；
Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去；
综上，a的值为2﹣或．
［经验总结］本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出C2的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
24、如图，已知抛物线y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
［思路分析］（1）将M坐标代入抛物线解析式求出a的值即可；
（2）①求出的a代入确定出抛物线解析式，令y＝0求出x的值，确定出B与C坐标，令x＝0求出y的值，确定出E坐标，进而得出BC与OE的长，即可求出三角形BCE的面积；②根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线x＝﹣1，根据C与B关于对称轴对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为y＝kx+b，将B与E坐标代入求出k与b的值，确定出直线BE解析式，将x＝﹣1代入直线BE解析式求出y的值，即可确定出H的坐标．
［答案详解］解：（1）将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：﹣2＝（﹣2﹣2）（﹣2+a），
解得：a＝4；
（2）①由（1）抛物线解析式y＝（x﹣2）（x+4），
当y＝0时，得：0＝（x﹣2）（x+4），
解得：x1＝2，x2＝﹣4，
∵点B在点C的左侧，
∴B（﹣4，0），C（2，0），
当x＝0时，得：y＝﹣2，即E（0，﹣2），
∴S△BCE＝×6×2＝6；
②由抛物线解析式y＝（x﹣2）（x+4），得对称轴为直线x＝﹣1，
根据C与B关于抛物线对称轴直线x＝﹣1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，
设直线BE解析式为y＝kx+b，
将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：，
解得：，
∴直线BE解析式为y＝﹣x﹣2，
将x＝﹣1代入得：y＝﹣2＝﹣，
则H（﹣1，﹣）．
［经验总结］此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25、如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；
（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
［思路分析］（1）根据对称轴为直线x＝﹣1，可得h＝﹣1，再把点（2，0），（0，4）代入解析式即可求解；
（2）过点P作AC的平行线PN，当直线PN与抛物线只有一个交点时，△APC面积最大，由此可对称点P的坐标；再根据轴对称最值问题可求出△APM周长的最小值；
（3）由（1）可得原抛物线的顶点坐标，由旋转的性质可得y′的顶点坐标，进而可求出y′的对称轴；则需要分类讨论①当AC＝AQ时；②当CA＝CQ时；③当QA＝QC时，分别建立方程求解即可．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝h＝﹣1，
∵抛物线过点B（2，0），点C（0，4），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+．
（2）由（1）知函数解析式为：y＝﹣（x+1）2+．
∴A（﹣4，0），
∴直线AC：y＝x+4，
过点P作PN∥AC，设直线PN的解析式为：y＝x+m，
当△APC的面积最大时，直线PN与抛物线有且仅有一个交点，
令x+m＝﹣（x+1）2+，整理得x2+4x+2m﹣8＝0，
∴Δ＝42﹣4（2m﹣8）＝0，解得m＝6，
∴x2+4x+4＝0，
∴x＝﹣2，即P（﹣2，4）；
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′P交y轴于点M，如图1，此时△APM的周长最小，
∵A（﹣4，0），
∴A′（4，0），
∴A′P＝＝2，AP＝＝2，
∴△APM周长的最小值为：2+2．
（3）由（1）知原抛物线的顶点坐标D（﹣1，），绕点A旋转后的顶点D′（﹣7，﹣），
∴y′的对称轴为直线x＝﹣7；
设点Q的坐标为（﹣7，t），
若△ACQ是等腰三角形，则需要分类讨论：
①当AC＝AQ时，如图2；
∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（﹣4+7）2+（0﹣t）2，解得t＝±；
∴Q（﹣7，）或（﹣7，﹣）；
②当CA＝CQ时；
∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，无解；
③当QA＝QC时，如图3，
∴（﹣4+7）2+（0﹣t）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，解得t＝7，
∴Q（﹣7，7）．
综上可知，存在，点Q的坐标为（﹣7，）或（﹣7，﹣）或（﹣7，7）．
［经验总结］本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积最值问题，轴对称最值问题，等腰三角形存在性问题，（2）关键是求出点P的坐标；（3）关键是进行正确的分类讨论，根据两点间距离公式建立方程．
26、在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PDF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当＝时，求点P坐标；
（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）将A，B的坐标分别代入抛物线和直线AB的解析式，组成方程组，解之即可；
（2）如图，设直线AB与y轴交于点G，易证△PDF∽△BOG，所以PD：DF：PF＝OB：OG：AB＝3：4：5，所以PD＝PF，DF＝PF，则S1＝ PD DF＝PF2，设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+4）（0＜m＜4），所以F（m，﹣m+3），E（m，0），则PF＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+1，BE＝4﹣m，FE＝﹣m+3，由三角形的面积分别表达S1和S2，利用给出比例建立方程即可；
（3）当点P在直线AB上方时，过点P作x轴的平行线PH，过点B作x轴的平行线交PH于点H，可证明△PHB≌△NKB（AAS），进而可得点P的纵坐标为3，代入即可得出PH的长，即可得出点N的坐标；当点P在直线AB下方时，如图所示，过点N作x轴的平行线NM，过点B作x轴的垂线BM交NM于点M，过点P作PQ⊥x轴于点Q．同理可得∴△PQB≌△NMB（AAS），求出NM的长和BQ的长，进而可得出点N的坐标．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
设直线AB的解析式为：y＝kx+b′，
∴，
解得．
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3．
（2）如图，设直线AB与y轴交于点G，
∴G（0，3），
∴OG＝3，OB＝4，AB＝5，
∵PD⊥AB，PE⊥OB，
∴∠PDF＝∠BEF＝∠GOB＝90°，
∵∠P+∠PFD＝∠BFE+∠OBE＝90°，∠PFE＝∠BFE，
∴∠P＝∠OBE，
∴△PDF∽△BOG，
∴PD：DF：PF＝OB：OG：AB＝4：3：5，
∴PD＝PF，DF＝PF，
∴S1＝ PD DF＝PF2，
设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+4）（0＜m＜4），
∴F（m，﹣m+3），E（m，0），
∴PF＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+1，BE＝4﹣m，FE＝﹣m+3，
∴S1＝（﹣m2+m+1）2＝（m﹣4）2（2m+1）2，
S2＝ BE EF＝（4﹣m）（﹣m+3）＝（m﹣4）2，
∵＝，
∴[（m﹣4）2（2m+1）2]：[（m﹣4）2]＝，解得m＝3或m＝﹣4（舍），
∴P（3，）．
（3）存在，点N的坐标为（1，3﹣）或（1，3+）．理由如下：
法一：由抛物线的解析式可知，C（0，4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
如图，当点P在直线AB上方时，如图所示，过点P作x轴的平行线PH，过点B作x轴的垂线交PH于点H，
∵BC垂直平分PN，
∴BN＝BP，∠PBC＝∠NBC，
∵∠OBC＝∠CBH＝45°，
∴∠PBH＝∠OBN，
∵∠H＝∠BKN＝90°，
∴△PHB≌△NKB（AAS），
∴HB＝BK，PH＝NK，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴BK＝3，
∴BH＝3，
令﹣x2+x+4＝3，
解得x＝1+或x＝1﹣（舍），
∴PH＝4﹣（1+）＝3﹣，
∴NK＝3﹣，
∴N（1，3﹣）；
当点P在直线AB下方时，如图所示，过点N作x轴的平行线NM，过点B作x轴的垂线BM交NM于点M，过点P作PQ⊥x轴于点Q．
∵BC垂直平分PN，
∴BN＝BP，∠PBC＝∠NBC，
∵∠OBC＝∠CBM＝45°，
∴∠PBQ＝∠MBN，
∵∠M＝∠PQB＝90°，
∴△PQB≌△NMB（AAS），
∴QB＝MB，PQ＝NM，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴MN＝3，
∴PQ＝3，
令﹣x2+x+4＝3，
解得x＝1+（舍）或x＝1﹣，
∴BQ＝4﹣（1﹣）＝3+，
∴BM＝3+，
∴N（1，3+）．
综上，存在，点N的坐标为（1，3﹣）或（1，3+）．
法二：设BC与对称轴交于E，
可得E（1.3）
过E做x轴平行线交抛物线于P1P2，
∴直线P1P2和直线DE关于直线BC对称
令﹣x2+x+4＝3，
解得x＝1+或x＝1﹣，
此即线P1和P2的横坐标，
∴P1E＝P2E＝，
∴EN1＝EN2＝，
∴点N的坐标为（1，3﹣）或（1，3+）．
［经验总结］本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，三角形的面积，全等三角形的性质与判定等知识，第（3）问解题关键是将垂直平分的条件转化为三角形的全等，得出线段之间的关系．
27、如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．
①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；
②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）先由直线解析式求得点A、B坐标，根据两点式设抛物线解析式，将点E坐标代入抛物线解析式求得a的值，从而得出答案；
（2）①由点A，点B，点C，点D坐标可求AD＝CD，BD∥OC，可证四边形PDQC是平行四边形，可得PD＝CQ，即3t＝4﹣2t，解之即可；
②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解．
［答案详解］解：（1）在直线y＝﹣2x+4中，
令x＝0时，y＝4，
∴点B坐标（0，4），
令y＝0时，得：﹣2x+4＝0，
解得：x＝2，
∴点A（2，0），
∵抛物线经过点A（2，0），C（6，0），E（5，3），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣6），
将E（5，3）代入，得：3＝a×（5﹣2）×（5﹣6），
解得：a＝﹣1，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x﹣6）＝﹣x2+8x﹣12；
（2）①∵抛物线解析式为：y＝﹣x2+8x﹣12＝﹣（x﹣4）2+4，
∴顶点D（4，4），
∵点B坐标（0，4），
∴BD∥OC，BD＝4，
∵y＝﹣x2+8x﹣12与x轴交于点A，点C，
∴令y＝0，得0＝﹣x2+8x﹣12，
解得：x1＝6，x2＝2，
∴点C（6，0），点A（2，0），
∴AC＝4，
∵点D（4，4），点C（6，0），点A（2，0），
∴AD＝CD＝2，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵BD∥AC，
∴∠DPH＝∠PQA，
且∠DPH＝∠DAC，
∴∠PQA＝∠DAC，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴∠PQA＝∠DCA，
∴PQ∥DC，且BD∥AC，
∴四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD＝QC，
∴4﹣2t＝3t，
∴t＝；
②存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形，此时t＝1﹣．
如图，若点N在AB上时，即0≤t≤1，
∵BD∥OC，
∴∠DBA＝∠OAB，
∵点B坐标（0，4），A（2，0），点D（4，4），
∴AB＝AD＝2，OA＝2，OB＝4，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴tan∠OAB＝＝＝tan∠DBA＝，
∴PN＝2BP＝4t，
∴MH＝PN＝4t，
∵tan∠ADB＝tan∠ABD＝＝2，
∴MD＝2t，
∴DH＝＝2t，
∴AH＝AD﹣DH＝2﹣2t，
∵BD∥OC，
∴＝，
∴＝，
∴5t2﹣10t+4＝0，
∴t1＝1+（舍去），t2＝1﹣；
若点N在AD上，即1＜t≤，
∵PN＝MH，
∴点H、N重合，此时以点P，N，H，M为顶点的矩形不存在，
综上所述：当以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形时，t的值为1﹣．
［经验总结］本题是一道关于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形性质等知识点．灵活运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
28、如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）直线y＝kx（k＞0）交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）用待定系数法即可求解；
（2）先研究△ABC，可得出AB＝6，BC＝4，∠ABC＝45°；若△OBH与△ABC相似，则分两种情况：①当∠HOB＝∠CAB时；②当∠HOB＝∠ACB时，再根据相似三角形的性质求解即可；
（3）①当点Q在点P的左侧时，证明△QME∽△ENP，则＝＝＝tan∠EQP＝tan∠OCA＝＝，进而求解；②当点Q在点P的右侧时，同理可解．
［答案详解］解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，
∵OC＝2OA＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4；
（2）由题意可知A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），
∴AB＝6，BC＝4，∠ABC＝45°；直线AC的解析式为：y＝2x+4；
若△OBH与△ABC相似，则分两种情况：
①当∠HOB＝∠CAB时，△OBH∽△ABC，
此时OH∥AC，
∴k＝2；
②当∠HOB＝∠ACB时，△OBH∽△CBA，
∴OB：BC＝BH：AB，即4：4＝BH：6，
解得BH＝3，
设点H的坐标为（m，﹣m+4），
∴（m﹣4）2+（﹣m+4）2＝（3）2，
解得m＝1或7（舍去），
∴H（1，3），
∴k＝3，
综上，k的值为2或3．
（3）存在，理由：
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+4）、点Q的坐标为（t，﹣t+4），
①当点Q在点P的左侧时，
如图2，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，
由题意得：∠PEQ＝90°，
∴∠PEN+∠QEM＝90°，
∵∠EQM+∠QEM＝90°，
∴∠PEN＝∠EQM，
∴∠QME＝∠ENP＝90°，
∴△QME∽△ENP，
∴＝＝＝tan∠EQP＝tan∠OCA＝＝，
则PN＝﹣m2+m+4，ME＝1﹣t，EN＝m﹣1，QM＝﹣t+4，
∴＝＝，
解得m＝±（舍去负值），
当m＝时，﹣m2+m+4＝，
∴点P的坐标为（，）．
②当点Q在点P的右侧时，
分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M，
则MQ＝t﹣1，ME＝t﹣4，NE＝﹣m2+m+4，PN＝m﹣1，
同理可得：△QME∽△ENP，
∴＝＝＝2，
∴＝＝2，
解得m＝±（舍去负值），
∴m＝，
∴点P的坐标为（，），
∴点P的坐标为（，）或（，）．
［经验总结］主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
29、在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
［思路分析］（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C，D的坐标；①当m＝2时，代入上述坐标即可得出结论；
②过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，所以P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．根据三角形的面积公式可得△PAB的面积，再利用二次函数的性质可得出结论；
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时，分别得出m的取值范围即可；
②根据①中的条件可知，分两种情况，分别得出BC的长度，利用二次函数的性质可得出结论．
［答案详解］解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，﹣2m）；
∵y＝﹣（x﹣m）2+2，
∴抛物线的顶点为D（m，2），
令x＝0，则y＝﹣m2+2，
∴C（0，﹣m2+2）．
①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，
∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．
②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．
如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，
设点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．
∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，
∴△PAB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，
∵﹣1＜0，
∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．
此时P（1，1）．
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），
①∵y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，
∴需要分两种情况：
当m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得≤m≤1+，
当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣，
∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．
②当≤m≤1+时，
∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，BC的最大值为3；
当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣，
∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，
当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．
∴当m＝﹣3时，BC的最大值为13．
［经验总结］本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数上点的坐标特点，三角形的面积，不等式的应用，分类讨论思想等相关内容，第二问注意需要分类讨论．
30、如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），其对称轴x＝1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线CM交x轴于点E，求证：BC＝EC．
（3）若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）根据点C坐标和对称轴代入表达式即可得出；
（2）根据（1）写出M点坐标，求出直线CM表达式，求出E点坐标构造△EOC≌△BOC，结论即得证；
（3）分情况构造△PEO∽△ABC，根据线段比例关系即可求出P点坐标．
［答案详解］解：（1）∵y＝x2+bx+c与y轴相交于点C（0，﹣3），
将点C（0，﹣3）代入可得：c＝﹣3，
又∵对称轴直线为，
∴b＝﹣2，
即抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵对称轴为直线x＝1，
代入抛物线表达式得y＝1﹣2﹣3＝4，
即点M（1，﹣4），
设直线CM的表达式为y＝kx+n，
把点C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入解得k＝﹣1，n＝﹣3，
∴CM的表达式为y＝﹣x﹣3，
∵点E在x轴上，即纵坐标y＝0，此时x＝﹣3，
∴E（﹣3，0），
由平面直角坐标系的可知：OE＝OC＝OB＝3，∠EOC＝∠BOC＝90°，
∴△EOC≌△BOC（SAS），
∴EC＝BC；
（3）存在，
∵点P在线段EM上，可设P（t，﹣t﹣3），
如图1所示，作PN⊥x轴于N，
∴PN＝t+3，EN＝OE﹣ON＝3+t，
由勾股定理可知PE＝＝（t+3），BC＝＝＝，
又∵AB＝OA+OB＝4，
由（2）可知△EOC≌△BOC，
∴∠OEC＝∠OBC，
当△PEO∽△ABC时，
＝，
即＝，
解得t＝﹣1，
即点P的坐标为（﹣1，﹣2），
当△PEO∽△CBA时，
，
解得t＝，
即点P的坐标为（，﹣），
综上P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）．
［经验总结］本题主要考查二次函数、一次函数、全等三角形、相似三角形等知识点，难点在第三问分情况构造三角形相似．一 二次函数
— 同步综合训练 —
一、选择题
1、在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
2、已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而减少
D．图象与x轴有唯一交点
3、画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 0 1 0 ﹣3 ﹣8 …
关于此函数有下列说法：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣3；其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4、二次函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤2时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值1，有最小值﹣2 B．有最大值2，有最小值﹣2
C．有最大值1，有最小值﹣1 D．有最大值2，有最小值1
5、若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（ ）
A．﹣2或6 B．2或6 C．﹣或6 D．﹣或﹣2
6、抛物线L：y＝ax（x+4）+5a的顶点的纵坐标为2，若﹣5≤x≤﹣1，则该函数的最值情况，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为2，最小值为﹣20
B．最大值为20，最小值为2
C．最大值为20，最小值为4
D．a值不确定，故无法求最值
7、抛物线y＝x2﹣2x﹣a上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）两点，则y1和y2的大小关系为（ ）
A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
8、抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
9、如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③4ac﹣b2＜0；
④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；
⑤am2+bm＜a﹣b（m为任意实数）；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10、新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
二、填空题
11、如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，A（3，0），C（0，）．D是BC的中点，M是线段OC上的点且OM＝OC，点P是线段OM上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．
（1）当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是 ；
（2）以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，则点G的运动路径的长是 ．
12、在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
13、根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
14、抛物线y＝x2﹣2x+3的最小值为 ．
15、发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第 秒时，炮弹位置达到最高．
16、退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 ．
17、抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 ．
18、据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为x（x＞0），那么y关于x的函数解析式为 ．
19、已知某商品每箱盈利13元．现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．则每箱涨价 元时，每天的总利润达到最大．
20、定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有 ．（只需填写序号）
三、解答题
21、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，其中a为常数，点A（﹣4，2a﹣4）在此抛物线上．
（1）求此时抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）设点M（x，y）为抛物线上一点，当﹣3≤x≤2时，求纵坐标y的最大值与最小值的差；
（3）已知点P（﹣2，﹣3），Q（2，﹣3）为平面直角坐标系内两点，连接PQ．若抛物线向上平移c个单位（c＞0）的过程中，与线段PQ恰好只有一个公共点，请直接写出c的取值范围．
22、如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， ．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
23、新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．
（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
24、如图，已知抛物线y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
25、如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；
（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
26、在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PDF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当＝时，求点P坐标；
（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．
27、如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．
①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；
②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
28、如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）直线y＝kx（k＞0）交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
29、在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
30、如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），其对称轴x＝1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线CM交x轴于点E，求证：BC＝EC．
（3）若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
