3.6 二次函数的应用
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一、选择题
1、［2021青县·月考］如图，水从山坡下水管的小孔喷出，喷洒到山坡上，已知山坡AB：OB＝1：2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y＝﹣x2+4x来刻画，下列结论错误的是（ ）
A．山坡可以用正比例函数y＝x来刻画
B．若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米
C．水柱落到斜面时距O点的水平距离为7米
D．水柱距O点水平距离超过4米呈下降趋势
［思路分析］根据AB：OB＝1：2，得到＝，于是得到山坡可以用正比例函数y＝x来刻画；故A选项正确；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B错误；求出抛物线与直线的交点，判断C正确，根据抛物线的性质D正确．
［答案详解］解：A、∵∠ABO＝90°，AB：OB＝1：2，
∴＝，
∴山坡可以用正比例函数y＝x来刻画；故A选项正确；
B、当y＝1.875时，1.875＝﹣x2+4x，
解得，x1＝7.5，x2＝，
∴水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米，故B选项错误；
解方程组，
得：或，
则水柱落到斜面时距O点的水平距离为7米，故C选项正确；
∵y＝4x﹣x2
＝﹣（x﹣4）2+8，
则抛物线的对称轴为x＝4，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，
即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，故D正确．
故选：B．
［经验总结］本题考查的是二次函数的应用和直线与抛物线的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2、［2021恩阳区 ·月考］矩形的周长为12cm，则它的面积s（cm2）关于其中一边长x（cm）的函数关系式是（ ）
A．s＝6x﹣x2 B．s＝12﹣x C．s＝12﹣2x D．s＝24﹣2x
［思路分析］根据矩形周长公式，可得另一条边的长，根据矩形的面积公式，可得函数解析式．
［答案详解］解：∵矩形的周长为12cm，其中一边长为xcm，
∴矩形另一条边的长为（6﹣x）cm，
∴矩形面积s＝x（6﹣x），
即s＝6x﹣x2．
故选：A．
［经验总结］本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用矩形周长公式得出另一条边的长以及利用矩形的面积公式得出函数解析式是解题关键．
3、定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或
［思路分析］首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
［答案详解］解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，
∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x＝﹣＝2，
∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，
解得：n＝﹣1；
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1，
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），
∴+2﹣n＝1，解得：n＝，
∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤，
故选：C．
［经验总结］本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．
4、如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
［思路分析］据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
［答案详解］解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝BE＝5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED＝2，
∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，
∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PBF，
∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，
∴PF＝PBsin∠PBF＝t，
∴当0＜t≤5时，y＝BQ PF＝t t＝t2，故③小题正确；
当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，
PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，
∵＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠A＝∠Q＝90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大．
5、为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
［思路分析］主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
［答案详解］解：设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放垃圾桶a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：A．
［经验总结］此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
6、在边长为的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△OEF的面积为y，当1＜x＜2时，y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2+x
C．y＝﹣x2+3x﹣2 D．y＝x2﹣3x+2
［思路分析］根据正方形的性质求出AC＝BD＝2，OB＝OD＝BD＝1，当1＜x＜2时，P在OD上，由EF∥AC，可得△DEF∽△DAC，根据相似三角形对应边成比例求出EF＝4﹣2x，再根据三角形的面积公式即可求出y与x之间的关系式．
［答案详解］解：∵四边形ABCD是正方形，边长为，
∴AC＝BD＝2，OB＝OD＝BD＝1，
设BP＝x，△OEF的面积为y，当1＜x＜2时，P在OD上，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC＝DP：OD，
即EF：2＝（2﹣x）：1，
∴EF＝4﹣2x，
∴y＝EF OP＝×（4﹣2x）（x﹣1）＝﹣x2+3x﹣2，
故选：C．
［经验总结］本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，根据x的取值范围判断P在OD上，进而利用数形结合是解答本题的关键．
二、填空题
7、［2021惠州·月考］已知二次函数y＝x2﹣4ax+4a2+a﹣1（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝t1，a＝t2，a＝t3，a＝t4时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的解析式是 ．
［思路分析］已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式．
［答案详解］解：y＝x2﹣4ax+4a2+a﹣1
＝（x﹣2a）2+a﹣1，
∴抛物线顶点坐标为：（2a，a﹣1），
设x＝2a①，y＝a﹣1②，
①﹣②×2，消去a得，x﹣2y＝2，
即y＝x﹣1．
故答案为：y＝x﹣1．
［经验总结］此题主要考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想．主要利用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出是解题关键．
8、［2022浑南区·月考］已知某商品每箱盈利13元．现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．则每箱涨价 元时，每天的总利润达到最大．
［思路分析］直接利用每箱利润×销量＝总利润，进而得出关系式求出答案．
［答案详解］解：设每箱涨价x元，总利润为y，根据题意可得：
y＝（13+x）（50﹣2x）
＝﹣2x2+24x+650
＝﹣2（x﹣6）2+722，
答：每箱涨价6元时，每天的总利润达到最大．
故答案为：6．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
9、［2021蜀山区·月考］如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为： （化简为一般式）．
［思路分析］通过平移将空白区域转化为长为（5﹣x）cm，宽为（3﹣x）cm的长方形的面积即可．
［答案详解］解：由题意得，
y＝（5﹣x）（3﹣x）＝x2﹣8x+15，
故答案为：y＝x2﹣8x+15．
［经验总结］本题考查函数关系式，掌握矩形面积、空白区域面积、阴影部分面积之间的关系是解决问题的前提，通过平移将空白区域转化为长为（5﹣x）cm，宽为（3﹣x）cm的长方形是解决问题的关键．
10、如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为（ ）．
［思路分析］根据A（﹣3，0），B（0，1）的坐标求直线AB的解析式为y＝x+1，根据横坐标的变化规律可知，C8的横坐标为55，代入直线AB的解析式y＝x+1中，可求纵坐标．
［答案详解］解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，（k≠0），
∵A（﹣3，0），B（0，1），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，
观察发现：每个数都是前两个数的和，
∴抛物线C8的顶点坐标的横坐标为55，
∴抛物线C8的顶点坐标为（55，）．
［经验总结］此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，考查了学生的分析归纳能力．
11、n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是 ．
［思路分析］n个球队都要与除自己之外的（n﹣1）球队个打一场，因此要打n（n﹣1）场，然而有重复一半的场次，故比赛场次为n（n﹣1），得出关系式．
［答案详解］解：m＝n（n﹣1）＝n2﹣n，
故答案为：m＝n2﹣n．
［经验总结］考查函数关系式的求法，在具体的情景中，蕴含数量之间的关系，理解和发现数量之间的关系是正确解答的关键．
12、根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
［思路分析］把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
［答案详解］解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三、解答题
13、［2022武侯区·棕北中学月考］如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣5）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k为常数，且k＞0），其矩形长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG所在直线与抛物线无交点，则称该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上有一点P，使得△PEG的面积最小，则称点P是该“悬浮矩形”的核心点．
①请说明“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P的坐标（用k表示）；
②若k＝1，DF所在直线与抛物线交于点M和N（M在N的右侧），是否存在这样的“悬浮矩形”，使得△PMN是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF所在直线的表达式；若不存在，说明理由．
［思路分析］（1）把点坐标代入解析式，用待定系数法即可求得二次函数解析式；
（2）①过抛物线上P点作直线EG的平行线，△PEG的面积＝EG乘以点P到直线EG的距离，当点P到直线EG距离最短时，△PEG的面积最小，由图象可知，当过P点的直线与抛物线只有一个交点时，点P到直线EG距离最短，联立一次函数与二次函数求出交点坐标即可；
②将直线DF解析式设为y＝﹣2x+m，联立一次函数与二次函数，得到点M和点N的坐标，分别求出MN，MP，NP长，分类讨论解出m即可．
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣5）．
∴把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5．
（2）①过抛物线上P点作直线EG的平行线，△PEG的面积＝EG乘以点P到直线EG的距离，当点P到直线EG距离最短时，△PEG的面积最小，由图象可知，当过P点的直线与抛物线只有一个交点时，点P到直线EG距离最短，这样的P点只有一个，
“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化；
∵EF＝1，DE＝2k，
∴EG所在直线的解析式可设为：y＝2kx+m，
∴过点P与直线EG平行的直线解析式为：y＝2kx+b，
令2kx+b＝x2﹣4x﹣5，得x2﹣（4+2k）x﹣（5+b）＝0，
∵过P点的直线与抛物线只有一个交点，
∴Δ＝（4+2k）2+4（5+b）＝0，可得（2+k）2＝﹣（5+b），
∴x2﹣（4+2k）x+（2+k）2＝0，解得x＝2+k，
∴y＝（k+2）2﹣4（2+k）﹣5＝k2﹣9，
∴P（k+2，k2﹣9）；
②当k＝1时，P（3，﹣8），
∴设直线DF的解析式为：y＝﹣2x+n，
令﹣2x+n＝x2﹣4x﹣5，得x2﹣2x﹣5﹣n＝0，
解得x＝+1或x＝﹣+1，
∵DF所在的直线与抛物线交于点M，N，
∴Δ＝4+4（5+n）＞0，即n＞﹣6，
∵点M在点N的右侧，
∴M（+1，﹣2+n﹣2），N（﹣+1，2+n﹣2），
∴MN2＝20（n+6），
MP2＝（﹣2）2+（2﹣n﹣6）2，
NP2＝（﹣﹣2）2+（2+m+6）2，
当∠MPN＝90°时，MP2+NP2＝MN2，
解得n＝﹣2或n＝﹣5，
∴直线DF的解析式为：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x﹣5；
当∠PMN＝90°时，MP2+MN2＝NP2，
解得n＝﹣2或n＝﹣，
∴直线DF的解析式为：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x﹣；
当∠PNM＝90°时，NP2+MN2＝MP2，
无解；
综上，直线DF的解析式为：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x﹣5或y＝﹣2x﹣．
［经验总结］本题属于二次函数综合题，考查了二次函数解析式求法以及二次函数与三角形面积，直角三角形综合．解本题的关键是掌握待定系数法求解析式，将三角形面积最值转换为平行线间距离问题，利用只有一个交点求点坐标，分类讨论直角三角形．此题计算量比较大，计算时一定要细心．
14、［2022开州区·大进初中教育集团月考］如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于A，B两点，其中A（0，1），B（4，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P，Q为直线AB下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和D点，连接PQ，求四边形PQDC面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线AB平移个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P平移后的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，点G为抛物线y1上一点，当以点B，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
［思路分析］（1）用待定系数法直接可得抛物线的函数表达式；
（2）用待定系数法求出直线AB为y＝﹣x+1，即可得P（m，m2﹣m+1），Q（m+1，（m+1）2﹣（m+1）+1），C（m，﹣m+1），D（m+1，﹣（m+1）+1），从而得PC＝﹣m2+4m，QD＝﹣m2+2m+3，即可求出四边形PQDC面积为PC |xQ﹣xP|+QD |xQ﹣xP|＝﹣m2+3m+，根据二次函数性质即得答案；
（3）由（2）知P（，﹣），根据直线AB为y＝﹣x+1与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，1），两交点之间距离是，可知沿射线AB平移个单位，实际可看成向右平移2个单位，再向下平移1个单位，即得E（，﹣），抛物线y＝x2﹣x+1平移后y1＝x2﹣x+13，抛物线y1的对称轴为：直线x＝，根据平行四边形的性质分情况讨论，并由平移的性质可得点G的坐标．
［答案详解］解：（1）把A（0，1），B（4，﹣1）代入抛物线y＝x2+bx+c得：
，解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x+1；
（2）设直线AB为y＝kx+n，将A（0，1），B（4，﹣1）代入得：
，解得：，
∴直线AB为y＝﹣x+1，
∵点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，
∴P（m，m2﹣m+1），Q（m+1，（m+1）2﹣（m+1）+1），C（m，﹣m+1），D（m+1，﹣（m+1）+1），
∴PC＝﹣m+1﹣（m2﹣m+1）＝﹣m2+4m，QD＝﹣（m+1）+1﹣[（m+1）2﹣（m+1）+1]＝﹣m2+2m+3，
∴四边形PQDC面积为PC |xQ﹣xP|+QD |xQ﹣xP|
＝（﹣m2+4m） （m+1﹣m）+（﹣m2+2m+3） （m+1﹣m）
＝﹣m2+3m+
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴m＝时，四边形PQDC面积的最大值为；
（3）由（2）知P（，﹣），
∵直线AB为y＝﹣x+1与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，1），两交点之间距离是，
∴沿射线AB平移个单位，实际可看成向右平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴E（，﹣），
抛物线y＝x2﹣x+1平移后y1＝x2﹣x+13，
∴抛物线y1的对称轴为：直线x＝，
①如图1，当BE＝FG时，
由平移得点G的横坐标为，
∴G（，﹣）；
②如图2，当BE＝FG时，
根据点B到点E横坐标的关系：4﹣＝，可得点F与点G的横坐标的关系：点G的横坐标为+＝，
∴点G（，﹣）；
③如图3，当BG＝EF时，同理可得G（，﹣）；
综上，点G的坐标为（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．
［经验总结］本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，四边形面积、平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
15、［2022长春·南湖实验中学月考］在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a、b为常数，且a≠0）与y轴交于点A，且经过点B（3，﹣1）．
（1）用含a的代数式表示b．
（2）当﹣1≤x≤3时，抛物线的最低点的纵坐标为﹣2时，求抛物线的函数表达式．
（3）抛物线在A、B间的部分（包括A、B两点）记为图象G，将图象G在直线y＝2下方的部分沿直线y＝2翻折，其他部分保持不变，得到新的图象G1.当图象G1上存在两个点到直线y＝6的距离为2时，求a的值．
（4）若在该抛物线上存在纵坐标为1的点P，将点A、B、P构成的三角形的面积记为S．当6≤S≤9时，直接写出a的取值范围．
［思路分析］（1）将点B的坐标代入抛物线整理即可得出结论；
（2）由（1）可得出抛物线的对称轴，再根据题意进行分类讨论即可；
（3）分两种情况进行讨论，当a＞0时，整个部分翻折，若存在，则顶点的纵坐标≥8且顶点横坐标在0到3之间；若a＜0，部分翻折，若存在，则顶点的纵坐标≥4即可；
（4）设点P的横坐标为t，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，由三角形的面积公式可得出t的取值范围，再代入抛物线的解析式，可得出a的取值范围．
［答案详解］解：（1）将B（3，﹣1）代入抛物线y＝ax2+bx+2，
∴9a+3b+2＝﹣1，
整理得b＝﹣3a﹣1；
（2）由（1）知抛物线的解析式为：y＝ax2﹣（3a+1）x+2，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝．
根据题意需要分以下几种情况：
①当≤﹣1且a＞0时，不成立；
②当≤﹣1且a＜0时，﹣≤a＜0，
则最低点为（3，﹣2），显然不合题意；
③当≥3且a＞0时，即0＜a≤，
最低点为（3，﹣2），显然不符合题意；
④当≥3且a＜0时，不成立；
⑤当﹣1≤≤3且a＞0时，即a≥，将（，﹣2）代入抛物线得a＝；
⑥当﹣1≤≤3且a＜0时，即a≤﹣，将（﹣1，﹣2）（3，﹣2）代入抛物线得a＝﹣或a＝（舍去）；
综上，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+2或y＝x2+x+2．
（3）根据题意可知需要分两种情况进行讨论，
①当a＞0时，整个部分翻折，若存在两个点到直线y＝6的距离为2，则图象G′顶点的纵坐标≥8且顶点横坐标在0到3之间；
∴，
解得a≥1+；
②若a＜0，部分翻折，若存在两个点到直线y＝6的距离为2，则图象G的顶点的纵坐标≥4，
∴，
解得a≤；
综上，当图象G1上存在两个点到直线y＝6的距离为2时，a的取值范围为：a≥1+或a≤；
（4）∵A（0，2），B（3，﹣1），
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2，
如图，直线y＝1与抛物线交于点P，设点P的横坐标为t，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，
∴P（t，1），Q（t，﹣t+2），
∴PQ＝|t﹣1|，
∴S＝×3 |t﹣1|，
∵6≤S≤9，
∴6≤×3 |t﹣1|≤9，
∴5≤t≤7或﹣7≤t≤﹣5；
①当5≤t≤7时，如图，
当t＝5时，将P（5，1）代入抛物线y＝ax2﹣（3a+1）x+2得，
25a﹣5（3a+1）+2＝1，解得a＝；
当t＝7时，将P（7，1）代入抛物线y＝ax2﹣（3a+1）x+2得，
49a﹣7（3a+1）+2＝1，解得a＝；
∴≤a≤；
②当﹣7≤t≤﹣5时，如图，
当t＝﹣5时，将P（﹣5，1）代入抛物线y＝ax2﹣（3a+1）x+2得，
25a+5（3a+1）+2＝1，解得a＝﹣；
当t＝﹣7时，将P（﹣7，1）代入抛物线y＝ax2﹣（3a+1）x+2得，
49a+7（3a+1）+2＝1，解得a＝﹣；
∴﹣≤a≤﹣；
综上，符合题意的a的取值范围为：≤a≤或﹣≤a≤﹣．
［经验总结］本题考查二次函数综合题、待定系数法、一元二次方程、三边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会利用一次函数确定两直线的交点坐标，属于中考压轴题．
16、［2021丰南区·大新庄中学三校联考］如图，二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求出这个二次函数的解析式；
（2）直接写出点B的坐标为 ；
（3）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（4）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）因为y＝ax2+x+c的图象经过A（﹣2，0），C（0，3），代入求出c、a的值，即可得到答案；
（2）把y＝0代入求出x的值，即可得到答案；
（3）设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y＝﹣x2+x+3上，得出Q点坐标为（x，﹣x2+x+3），连接OQ，根据S四边形ABQC＝S△AOC+S△OQC+S△OBQ，代入求出即可；
（4）在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC，根据等腰三角形的性质求出，①当P1A＝AC时（P1在x轴的负半轴），P1（﹣2，0）；②当P2A＝AC时（P2在x轴的正半轴），P2（﹣2，0）；③当P3C＝AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；④当P4C＝P4A时（P4在x轴的正半轴），P4（，0），即可得出答案．
［答案详解］解：（1）∵y＝ax2+x+c的图象经过A（﹣2，0），C（0，3），
∴c＝3，a＝﹣，
∴所求解析式为：y＝﹣x2+x+3，
答：这个二次函数的解析式是y＝﹣x2+x+3．
（2）解：令 y＝0，即﹣x2+x+3＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴B（6，0），
故答案为：（6，0）．
（3）解：如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y＝﹣x2+x+3上，
即：Q点坐标为（x，﹣x2+x+3），
连接OQ，
S四边形ABQC＝S△AOC+S△OQC+S△OBQ，
＝3+x+3（﹣x2+x+3）
＝﹣x2+x+12，
∵a＜0，
∴S四边形ABQC最大值＝，
Q点坐标为（3，），
答：在第一象限中的抛物线上存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大，Q点坐标是（3，），面积的最大值是．
（4）解：在Rt△AOC中，
∵AO＝2，OC＝3，
∴AC＝，
，①当P1A＝AC时（P1在x轴的负半轴），P1（﹣2﹣，0）；
②当P2A＝AC时（P2在x轴的正半轴），P2（﹣2，0）；
③当P3C＝AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；
④当P4C＝P4A时（P4在x轴的正半轴），
在Rt△P4OC中，设P4O＝x，则（x+2）2＝x2+32，
解得：x＝，
∴P4（，0）；
答：在x轴存在一点P，使△ACP是等腰三角形，满足条件的P点坐标是（﹣2﹣，0）或（﹣2，0）或（2，0）或（，0）．
［经验总结］本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强．
17、［2021青县·月考］如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）点Q为BC上一动点，过Q作x轴垂线交抛物线于点P（点P在第二象限），求线段PQ长度最大值．
［思路分析］（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y＝mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设Q（a，a+3），此时P（a，﹣a2﹣2a+3），利用两点间的距离公式列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值．
［答案详解］解：（1）依题意得：
，
解之得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，
得，
解之得：，
∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）设Q（a，a+3），此时P（a，﹣a2﹣2a+3），
∴PQ＝﹣a2﹣2a+3﹣（a+3）＝﹣a2﹣3a＝﹣（a+）2+．
∴该抛物线顶点坐标是（﹣，），且开口向下，
∴当a＝﹣时，PQ取最大值．
［经验总结］本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18、［2022惠山区·阳山中学月考］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n（m＜0）的顶点为A，与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴正半轴交于点D，连接AD并延长交x轴于E，连AC、DC，S△ADC：S△AEC＝1：4．
（1）求点E的坐标；
（2）若过点A，C，D的⊙M与坐标轴恰好有三个公共点，求出此时抛物线的函数表达式．
［思路分析］（1）根据题意画出图形，再利用相似三角形的判定与性质得出EO：OF＝3：1，进而得出EO的长即可得出答案；
（2）点C和点D是⊙M与坐标轴，则需要分两种情况，当⊙M与y轴相切于点D，设点M的坐标为（a，﹣3m），利用AM＝DM＝CM，建立等式可得这种情况不成立；当⊙M与x轴相切于点C，设点M的坐标为（3，b），利用AM＝DM＝CM，建立等式求出m的值即可．
［答案详解］解：（1）如图，设此抛物线对称轴与x轴交于点F，
∵S△ADC：S△AEC＝1：4，
∴S△DEC：S△AEC＝DO：AF＝3：4，
∵DO∥AF，
∴△EDO∽△EAF，
∴EO：EF＝DO：AF＝3：4，
∴EO：OF＝3：1，
由y＝mx2﹣2mx+n（m＜0）得：A（1，n﹣m），D（0，n），
∴OF＝1，
∴EO＝3，
∴E（﹣3，0）；
（2）由（1）知A（1，n﹣m），D（0，n），AF＝﹣m+n，EF＝4，OD＝n，
∵OD∥AF，
∴OE：OD＝EF：AF，即3：n＝4：（﹣m+n），
解得n＝﹣3m，
∴A（1，﹣4m），D（0，﹣3m），抛物线的解析式为：y＝mx2﹣2mx﹣3m，
令y＝0，得x＝﹣1或x＝3，
∴B（﹣1，0），C（3，0）．
∵过点A，C，D的⊙M与坐标轴交于点C和点D，
∴若恰有三个交点，需要分三种情况，
①当⊙M与y轴相切于点D，设点M的坐标为（a，﹣3m），
∴AM2＝（1﹣a）2+（﹣4m+3m）2，DM2＝a2+（﹣3m+3m）2，CM2＝（3﹣a）2+（﹣3m）2，
∴（1﹣a）2+（﹣4m+3m）2＝a2+（﹣3m+3m）2＝（3﹣a）2+（﹣3m）2，
整理得m2+1＝0，无解．
②当⊙M与x轴相切于点C，设点M的坐标为（3，b），
∵AM2＝（1﹣3）2+（﹣4m﹣b）2，DM2＝32+（b+3m）2，CM2＝（3﹣3）2+b2，
∴（1﹣3）2+（﹣4m﹣b）2＝32+（b+3m）2＝（3﹣3）2+b2，
整理得m2﹣2＝0，
∴m＝﹣，（正数舍去）．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
③当⊙M经过点O（0，0）时，
∵∠COD＝90°，
∴线段CD是直径，
∴∠CAD＝90°，
∴AC2+AD2＝CD2，即（1﹣3）2+（﹣4m﹣0）2+12+（﹣4m+3m）2＝32+（﹣3m）2，
∴m＝﹣，（正数舍去）．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+．
综上，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3或y＝﹣x2+x+．
［经验总结］本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求解析式及二次函数的性质、两点间距离公式等知识；由“过点A，C，D的⊙M与坐标轴恰好有三个公共点”结合圆的性质得出方程是解题的关键．
19、［2022绿园区·月考］在平面直角坐标系中，已知函数y＝﹣x2+2ax+2（a为常数）．
（1）当x≤1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ；
（2）当x≤2a，且对应函数图象的最高点到x轴的距离是其到y轴距离的4倍时，求a的值．
（3）函数y＝﹣x2+2ax+2，若﹣1＜x＜2时，y＜4恒成立，直接写出a的取值范围．
（4）设此函数与y轴的交点为M，过点M作y轴的垂线l，原函数图象在直线l下方的部分沿直线l向上翻折，得到的新图象与原函数未翻折的部分图象合在一起称为图象G，在图象G上有A、B两点，其中A（2a+1，m），B（a+1，n），若在A、B两点间部分（包括A、B两点）的图象的最高点与最低点的差为2时，直接写出a的值．
［思路分析］（1）由函数解析式可直接得到函数的对称轴，根据二次函数的性质可得出结论；
（2）对a的正负进行讨论，根据二次函数的性质得出函数的最高点，再根据题意列出方程即可；
（3）由函数解析式可得出函数的顶点坐标，然后分三种情况讨论：a≤﹣1，﹣1＜a＜2，a≥2，分别得出函数的最大值，令最大值小于4即可得出结论；
（4）令y＝2可知，直线l：y＝2与抛物线交于点（0，2）和（2a，2），可知，点A在翻折后的图象上，根据题意需要分两种情况：当a＞0时，存在两种情况，进行讨论；当a＜0时，存在两种情况，进行讨论，再进行求解即可．
［答案详解］解：（1）对于函数y＝﹣x2+2ax+2，函数开口向下，对称轴为直线x＝a，
∴当x≤a时，y随x的增大而增大，
∵当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴a≥1，
故答案为：a≥1．
（2）当x≤2a时，
①若a≥0时，则a＜2a，
∴当x≤a时，y随x的增大而增大，当a＜x≤2a时，y随x的增大而减小，
∴函数的最高点为（a，a2+2），
由题意可知，a2+2＝4a，解得a＝2+或a＝2﹣；
②若a＜0，则2a＜a＜0，
∴当x≤2a时，y随x的增大而增大，
∴函数的最高点为（2a，2），
由题意可知，2＝﹣8a，解得a＝﹣；
综上，a的值为2+或2﹣或﹣；
（3）当a≤﹣1时，函数在﹣1＜x＜2上，y随x的增大而减小，
∴﹣1﹣2a+2≤4，
∴a≥﹣；
∴﹣≤a≤﹣1；
当﹣1＜a＜2时，函数在﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大；当a≤x＜2上，y随x的增大而减小，
∴a2+2＜4，
∴﹣＜a＜，
∴﹣1＜a＜；
当a≥2，函数在﹣1＜x＜2上，y随x的增大而增大，
∴﹣4+4a+2≤4，
∴a≤；
综上，a的取值范围为：﹣≤a≤．
（4）令x＝0，则y＝2，
∴M（0，2），
令y＝2，则x＝0或x＝2a，
∴直线l与抛物线交于点（0，2），（2a，2）；
函数y＝﹣x2+2ax+2，沿直线l：y＝2翻折后的解析式为y＝（x﹣a）2﹣a2+2；
①当a＞0时，若0＜a＜2a，
若a+1＞2a，即0＜a＜1时，最高点A（2a+1，2a+3），最低点为B（a+1，﹣a2+3），
∴2a+3﹣（﹣a2+3）＝2，
解得a＝﹣1+或a＝﹣1﹣（舍）；
当a+1＜2a时，即a＞1时，最低点为（2a，2），
且当1＜a＜2时，最高点为A（2a+1，2a+3），
∴2a+3﹣2＝2，
解得a＝（舍）
当a＞2时，最高点为B（a+1，a2+1），
∴a2+1﹣2＝2，
解得a＝﹣（舍）或a＝（舍）；
②当a＜0时，若2a＜a＜0，
若2a+1＞0，即﹣＜a＜0时，最高点为B（a+1，﹣a2+3），最低点A（2a+1，2a+3），
∴﹣a2+3﹣（2a+3）＝2，无解；
当2a+1＜0＜a+1，即﹣1＜a＜﹣时，最低点为（0，2），B（a+1，﹣a2+3），A（2a+1，﹣2a+1），
∴﹣2a+1﹣2＝2或﹣a2+3﹣2＝2，
解得a＝﹣（舍）或无解；
当2a+1＜a+1＜0，即a＜﹣1时，A（2a+1，﹣2a+1），B（a+1，a2+1），最高点为（a，a2+2）
当﹣2＜a＜﹣1时，最低点为B（a+1，a2+1），
∴a2+2﹣（a2+1）＝2，无解；
当a＜﹣2时，最低点为A（2a+1，﹣2a+1），
∴a2+2﹣（﹣2a+1）＝2，
解得a＝﹣1+（舍）或a＝﹣1﹣．
综上，a的值为﹣1+或﹣1﹣．
［经验总结］本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标，分类讨论思想等知识，情况比较复杂，关键是根据点的位置的不确定性进行分类讨论，确保不重不漏．
20、［2022梁子湖区·吴都中学月考］如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
［思路分析］（1）求二次函数的表达式，需要求出A、B、C三点坐标．已知B点坐标，且OB＝OC，可知C（0，3），tan∠ACO＝，则A坐标为（﹣1，0）．将A，B，C三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式．
（2）根据A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，可得点F的可能坐标，再由点F在抛物线上，可最终确定；
（3）分情况讨论，当圆在x轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为r，则N的坐标为（r+1，r），将其代入抛物线解析式，可求出r的值．当圆在x轴的下方时，方法同上，只是N的坐标变为（r+1，﹣r），代入抛物线解析式即可求解．
［答案详解］解：（1）由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0）设该表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）．
将C点的坐标代入得：a＝1，
∴所以这个二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，﹣3）．
理由：由（1）得D（1，﹣4），
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴E点的坐标为（﹣3，0），
由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF，
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴存在点F，坐标为（2，﹣3）．
方法二：由（1）得D（1，﹣4），
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴E点的坐标为（﹣3，0），
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴F点的坐标为（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣4，3），
代入抛物线的表达式检验，只有（2，﹣3）符合，
∴存在点F，坐标为（2，﹣3）．
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得R＝．
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，﹣r），
代入抛物线的表达式，解得r＝．
∴圆的半径为或．
［经验总结］此题属于二次函数的综合题．考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及圆的相关性质．注意掌握辅助线的作法，分类讨论思想的应用是解此题的关键．3.6 二次函数的应用
— 月考热身 —
一、选择题
1、［2021青县·月考］如图，水从山坡下水管的小孔喷出，喷洒到山坡上，已知山坡AB：OB＝1：2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y＝﹣x2+4x来刻画，下列结论错误的是（ ）
A．山坡可以用正比例函数y＝x来刻画
B．若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米
C．水柱落到斜面时距O点的水平距离为7米
D．水柱距O点水平距离超过4米呈下降趋势
2、［2021恩阳区 ·月考］矩形的周长为12cm，则它的面积s（cm2）关于其中一边长x（cm）的函数关系式是（ ）
A．s＝6x﹣x2 B．s＝12﹣x C．s＝12﹣2x D．s＝24﹣2x
3、定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或
4、如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
5、为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
6、在边长为的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△OEF的面积为y，当1＜x＜2时，y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2+x
C．y＝﹣x2+3x﹣2 D．y＝x2﹣3x+2
二、填空题
7、［2021惠州·月考］已知二次函数y＝x2﹣4ax+4a2+a﹣1（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝t1，a＝t2，a＝t3，a＝t4时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的解析式是 ．
8、［2022浑南区·月考］已知某商品每箱盈利13元．现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．则每箱涨价 元时，每天的总利润达到最大．
9、［2021蜀山区·月考］如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为： （化简为一般式）．
10、如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为（ ）．
11、n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是 ．
12、根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
三、解答题
13、［2022武侯区·棕北中学月考］如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣5）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k为常数，且k＞0），其矩形长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG所在直线与抛物线无交点，则称该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上有一点P，使得△PEG的面积最小，则称点P是该“悬浮矩形”的核心点．
①请说明“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P的坐标（用k表示）；
②若k＝1，DF所在直线与抛物线交于点M和N（M在N的右侧），是否存在这样的“悬浮矩形”，使得△PMN是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF所在直线的表达式；若不存在，说明理由．
14、［2022开州区·大进初中教育集团月考］如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于A，B两点，其中A（0，1），B（4，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P，Q为直线AB下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和D点，连接PQ，求四边形PQDC面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线AB平移个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P平移后的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，点G为抛物线y1上一点，当以点B，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
15、［2022长春·南湖实验中学月考］在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a、b为常数，且a≠0）与y轴交于点A，且经过点B（3，﹣1）．
（1）用含a的代数式表示b．
（2）当﹣1≤x≤3时，抛物线的最低点的纵坐标为﹣2时，求抛物线的函数表达式．
（3）抛物线在A、B间的部分（包括A、B两点）记为图象G，将图象G在直线y＝2下方的部分沿直线y＝2翻折，其他部分保持不变，得到新的图象G1.当图象G1上存在两个点到直线y＝6的距离为2时，求a的值．
（4）若在该抛物线上存在纵坐标为1的点P，将点A、B、P构成的三角形的面积记为S．当6≤S≤9时，直接写出a的取值范围．
16、［2021丰南区·大新庄中学三校联考］如图，二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求出这个二次函数的解析式；
（2）直接写出点B的坐标为 ；
（3）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（4）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
17、［2021青县·月考］如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）点Q为BC上一动点，过Q作x轴垂线交抛物线于点P（点P在第二象限），求线段PQ长度最大值．
18、［2022惠山区·阳山中学月考］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n（m＜0）的顶点为A，与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴正半轴交于点D，连接AD并延长交x轴于E，连AC、DC，S△ADC：S△AEC＝1：4．
（1）求点E的坐标；
（2）若过点A，C，D的⊙M与坐标轴恰好有三个公共点，求出此时抛物线的函数表达式．
19、［2022绿园区·月考］在平面直角坐标系中，已知函数y＝﹣x2+2ax+2（a为常数）．
（1）当x≤1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ；
（2）当x≤2a，且对应函数图象的最高点到x轴的距离是其到y轴距离的4倍时，求a的值．
（3）函数y＝﹣x2+2ax+2，若﹣1＜x＜2时，y＜4恒成立，直接写出a的取值范围．
（4）设此函数与y轴的交点为M，过点M作y轴的垂线l，原函数图象在直线l下方的部分沿直线l向上翻折，得到的新图象与原函数未翻折的部分图象合在一起称为图象G，在图象G上有A、B两点，其中A（2a+1，m），B（a+1，n），若在A、B两点间部分（包括A、B两点）的图象的最高点与最低点的差为2时，直接写出a的值．
20、［2022梁子湖区·吴都中学月考］如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
