双曲线方程测试（含 解析）

双曲线方程测试(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 双曲线 的焦点坐标是( )
A. B.
C. D.
2. 下列双曲线中, 渐近线方程不是 的是 ( )
A. B.
D.
3. 已知双曲线 的离心率 , 且其右焦点为 , 则双曲线 的方程为 ( )
A. B.
C. D.
4. 设 , 则关于 的方程 所表示的曲线是 ( )
A. 长轴在 轴上的椭圆 B. 长轴在 轴上的椭圆
C. 实轴在 轴上的双曲线 D. 实轴在 轴上的双曲线
5. 已知双曲线 的一个焦点在直线 上, 则双 曲线的渐近线方程为 ( )
A. B.
C. D.
6. 已知双曲线 的离心率为 , 则点 到 的渐近线的距离为 ( )
A. B. 2
C. D.
7. 已知双曲线 的离心率为 2 , 过右焦点且垂直 于 轴的直线与双曲线交于 两点. 设 到双曲线的同一条 渐近线的距离分别为 和 , 且 , 则双曲线的方程为 ( )
A. B.
8. 双曲线 的左、右焦点分别为 , 在左支上过点 的弦 的长为 5 , 那么 的周长是 ( )
A. 12 B. 16
C. 21 D. 26
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9. 双曲线 上的点到一个焦点的距离为 12 , 则到另一个焦 点的距离可能是( )
A.
10. 已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 , 则双曲线 的方程可 能为 ( )
A. B.
C D
11. 已知方程 表示曲线 , 则下列判断正确的是 ( )
A. 当 时, 曲线 表示椭圆
B. 当 或 时, 曲线 表示双曲线
C. 若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则
D. 若曲线 表示焦点在 轴上的双曲线, 则
12. 已知双曲线 过点 且渐近线为 , 则下列结论 正确的是( )
A. 的方程为
B. 的离心率为
C. 曲线 经过 的一个焦点
D. 直线 与 有两个公共点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13. 双曲线 的焦距为
14. 已知曲线方程 , 若方程表示双曲线, 则 的取值范 围是
15. 如图, 已知双曲线以长方形 的顶点 为左、右焦点, 且 双曲线过 两顶点. 若 , 则此双曲线的标准方 程为
16. 已知 是双曲线 的左、右焦点, 是过焦点 的弦, 且 的倾斜角为 , 那么 的值为
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17已知双曲线的两焦点坐标分别为 , 以及双 曲线上一点 的坐标为 , 求双曲线的方程、顶点坐标、渐近 线方程以及离心率.
18.求适合下列条件的双曲线的标准方程。
(1) , 经过点 , 焦点在 轴上;
(2)与椭圆 有共同的焦点, 它们的一个交点的纵坐标为
4 。
19双曲线 的右顶点为 轴上有一点 , 若 上存在一点 , 使 , 求此双曲线离心率的取值范围.
20求适合下列条件的双曲线的标准方程。
(1) , 焦点在 轴上;
(2)焦点为 , 经过点 ;
(3)以椭圆 长轴的端点为焦点, 且经过点 。
21命题 : 方程 表示焦点在 轴上的椭圆; 命题 : 方程 表示双曲线。
(1)若命题 为真命题, 求 的取值范围;
(2)若命题 为假命题, 求 的取值范围。
22已知双曲线 的右焦点为 .
(1) 若双曲线的一条渐近线方程为 且 , 求双曲线的方程;
(2)以原点 为圆心, 为半径作圆, 该圆与双曲线在第一象限的交 点为 , 过 作圆的切线, 斜率为 , 求双曲线的离心率.
参考答案
1 解析：选B 双曲线方程为 ,, 且双曲线的焦点在 轴上,,即得该双曲线的焦点坐标为 .
2 解析: 选 对于 , 渐近线方程为 ; 对于 , 渐近 线方程为 ; 对于 , 渐近线方程为 ; 对于 , 渐近线方程为 . 故选 D.
3 解: 故选C , 得 , 双曲线 方程为 .
4 解析：选D 方程 所表示的曲线是实轴在 轴上的双曲线, 故选 D.
5解析：选B 由于双曲线 的焦点在 轴上, 且在直线 上, 直线 与 轴的交点为 , 所以 , 则 , 则双曲线的方程为 , 则双曲线的渐近线 方程为 . 故选 .
6解析: 选 D 双曲线的渐近线方 程为 点 到 的渐近线的距离 .
7解析 选 由 , 得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3 , 所以 . 因为双曲线
的离心率为 2 , 所以 , 所以 , 所以 , 解得 ,所以双曲线的方程为
8解析 选 D 依题意, , 所以 , 又 , 所以
所以 .
即 的周长是 26 .
9解析 选 因为 , 所以 。设点为 , 双曲线的左、右焦点分 别为 , 由双曲线定义可得 || 。由题意设 12, 则 , 解得 或 2 。
10解析 依题意, 知渐近线与 轴的夹角为 或 , 所以双曲线 的渐近线方程为 或 , 根据选项检验可知 均 可能。
11 解析 选 . 当曲线 表示椭圆时, , 得 且 , 故 错误. 由双曲线的定义可知 时, 即 或 时, 方程 表示双曲线, 故 正确. 由 椭圆的定义可知, 当椭圆焦点在 轴上时, 满足 , 解得 , 故 正确. 当曲 线 表示焦点在 轴上的双曲线, 则 解得 , 故 D 正确.
12 解析选 AC 对于选项 : 由已知 , 可得 , 从而设所求双曲线方程为 , 又由双曲线 过点 , 从而 , 即 , 从而 选项 A 正确;
对于选项 : 由双曲线方程可知 , 从而离心率 为 , 所以 选项错误;
对于选项 C: 双曲线的右焦点坐标为 , 满足 , 从而 选项 C 正确;对于选项 D：联立 ,
整理, 得 , 由 , 知直线与双曲 线 只有一个交点, 选项 错误.
13解析由题意可得 (25-k) (9-k)<0,
解得 9双曲线方程为 ,
由 , 即 , 所以 .
答案: 8
14 解 方程 表示双曲线,故填 .
15 解析 设双曲线的标准方程为 . 由题意得 解得 双曲线的标准方程为 .
答案
16 解析 在双曲线 中, , 由双曲线定义, 得 ,所以
答案: 16
17 解析：由题意知双曲线的焦点在 轴上, 可设为 , , 即 , 双曲线的方程为 ,
顶点坐标为 , 渐近线方程为 , 离心率 .
18 解析 (1) 因为双曲线的焦点在 轴上，所以可设双曲线的标准方 程为 。
由题设知, , 且点 在双曲线以 解得 上, 故所求双曲线的标准方程为 。
(2) 易知椭圆 的两个焦点为 , 将 交点的纵坐标代入椭圆方程可得，双曲线与椭圆的一个交点为 , 或 。
设双曲线的标准方程为 ,
则 解得
故所求双曲线的标准方程为 。
19 解析 设 点坐标为 ,则由 , 得 ,
由 (1), (2) 消去 , 得,
即 .当 时, 与 重合, 不符合题意, 舍去.当 时, 满足题意的 点存在,化简得 ,即 又 离心率 .
20 解析 (1) 由题设知, ,由 ,得 。因为双曲线的焦点在 轴上,所以所求双曲线的标准方程为 。
(2) 由已知得 , 且焦点在 轴上。因为点 在双曲线上, 所以
则 。
所以所求双曲线的标准方程是 。
(3)由题意得, 双曲线的焦点在 轴上, 且 。设双曲线的 标准方程为 , 则有 , 解得 。故所求双曲线的标准方程为 。
21 解析
(1)根据题意，得 解得 ,故命题 为真命题时, 的取值范围为 。
(2)若命题 为真命题, 则 , 解得 ,
故命题 为假命题时, 的取值范围为 。
22解: (1) 因为双曲线的渐近线方程为 , 所以 ,所以 , 所以 ,所以双曲线的方程为 .
(2) 设点 的坐标为 ,所以直线 的斜率满足 ,所以 , (1)依题意, 圆的方程为 ,
将(1) 代入圆的方程得 , 即 ,
所以 , 所以点 的坐标为 ,
代入双曲线方程得 ,即 , (2)
又因为 ,所以将 代入(2) 式, 整理得 ,所以 ,所以 ,
因为 , 所以 ,所以双曲线的离心率为 .