第21章 一元二次方程单元质量评估试题（含解析）

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第21章 一元二次方程单元质量评估(时间:90分钟　满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列关于x的方程:①ax2+bx+c=0;②3(x-9)2-(x+1)2=1;③ x+3=;④(a2+a+1)x2-a=0;⑤=x-1.其中一元二次方程的个数是 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
2.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为 (　　)
A.-1 B.1 C.1或-1 D.0.5
3.方程(x-2)(x+3)=0的解是 (　　)
A.x=2 B.x=-3
C.x1=-2,x2=3 D.x1=2,x2=-3
4.把方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是 (　　)
A.(x-6)2=41 B.(x-3)2=4
C.(x-3)2=14 D.(x-3)2=9
5.下列关于x的方程有实数根的是 (　　)
A.x2-x+1=0 B.x2+x+1=0
C.(x-1)(x+2)=0 D.(x-1)2+1=0
6.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)最适当的方法是 (　　)
A.直接开方法 B.配方法
C.公式法 D.因式分解法
7.等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两个根,则这个三角形的周长是 (　　)
A.8 B.10
C.8或10 D.不能确定
8.若x1,x2是一元二次方程x2+10x+1=0的两个根,则x1+x2的值是 (　　)
A.-10 B.10 C.-16 D.16
9.目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是 (　　)
A.438(1+x)2=389
B.389(1+x)2=438
C.389(1+2x)=438
D.438(1+2x)=389
10.已知a,b,c分别是三角形的三边长,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是 (　　)
A.没有实数根
B.有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.把方程(x-1)(x-2)=4化成一般形式是　　　　　　　　.
12.若关于x的方程(m+2)x|m|+2x-1=0是一元二次方程,则m=　　　　.
13.方程x2-3x=0的根为　　　　　　　　.
14.若x2-kx+4是一个完全平方式,则k=　　　　.
15.若|b-1|+=0,且一元二次方程kx2+ax+b=0(k≠0)有实数根,则k的取值范围是　　　　　　　　.
16.若矩形的长是6 cm,宽是3 cm,一个正方形的面积等于该矩形的面积,则正方形的边长是　　　　.
三、解答题(共66分)
17.(6分)解下列方程.
(1)x2-2x-8=0;　(2)x2+3x-4=0.
18.(7分)在实数范围内定义运算“ ”,其法则为a b=a2-b2,求方程(4 3) x=24的解.
19.(7分)如图所示,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上,修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下的部分作为耕地,要使耕地的面积为540 m2,道路的宽应为多少
20.(8分)已知关于x的方程x2+ax+a-2=0.
(1)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一根;
(2)求证不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
21.(8分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为ΔABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断ΔABC的形状,并说明理由;
(2)如果ΔABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
22.(8分)已知x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根.
(1)是否存在实数a,使-x1+x1x2=4+x2成立 若存在,求出a的值;若不存在,请你说明理由;
(2)求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.
23.(10分)某西瓜经营户以2元/千克的进价购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售,经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克,另外,每天的房租等固定成本共24元,该经营户要想每天赢利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元
24.(12分)随着人们环保意识的不断增强,我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计,某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆,2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.
(1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同,则该小区到2012年底家庭电动自行车将达到多少辆
(2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资3万元再建若干个停车位,据测算,建造费用分别为室内车位1000元/个,露天车位200元/个.考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,则该小区最多可建两种车位各多少个 试写出所有可能的方案.
【答案与解析】
1.B(解析:方程①是否为一元二次方程与a的取值有关;方程②经过整理后可得2x2-56x+241=0,是一元二次方程;方程③不是整式方程;方程④的二次项系数经过配方后可化为,不论a取何值,其值都不为0,所以方程④是一元二次方程;方程⑤不是整式方程.故选B.)
2.A(解析:把x=0代入方程可得a2-1=0,所以a=±1,因为a-1≠0,所以a=-1.故选A.)
3.D(解析:由(x-2)(x+3)=0,得x-2=0或x+3=0,解得x1=2,x2=-3.故选D.)
4.C(解析:移项得x2-6x=5,两边同时加上9,得x2-6x+9=14,配方得(x-3)2=14.故选C.)
5.C(解析:A,B中Δ<0,D中方程移项得(x-1)2=-1,方程没有实数根,(x-1)(x+2)=0的解为x1=1,x2=-2.故选C.)
6.D(解析:方程两边含有公因式5x-1.故选D.)
7.B(解析:解方程可得两根为2和4,因为2+2<4,所以2不能为腰,所以周长为4+4+2=10.故选B.)
8.A(解析:根据根与系数之间的关系可得x1+x2=-10.故选A.)
9.B(解析:根据平均增长率问题中的等量关系a(1+x)n=b,其中a为基础数据,b为增长后的数据,n为增长次数,x为平均增长率,代入数据列方程得B.)
10.A(解析:因为Δ=(2c)2-4(a+b)(a+b)=4(c+a+b)(c-a-b),因为a,b,c分别是三角形的三边长,所以c+a+b>0,c-a-b<0,所以Δ<0,所以方程没有实数根.故选A.)
11.x2-3x-2=0(解析:去括号,移项,合并同类项即可得解.)
12.2(解析:根据一元二次方程的定义,得∣m∣=2,且m+2≠0,解得m=2.故填2.)
13.x1=0,x2=3(解析:x(x-3)=0,故x=0或x-3=0,所以x1=0,x2=3.)
14.±4(解析:根据完全平方公式可得.)
15.k≤4且k≠0(解析:由题意得 |b-1|=0,=0,即b-1=0,a-4=0,所以b=1,a=4.所以方程变为kx2+4x+1=0.因为一元二次方程kx2+4x+1=0有实数根,所以Δ=16-4k≥0,解得k≤4.又因为k≠0,故填k≤4且k≠0.)
16.3 cm(解析:设正方形的边长为x cm,则x2=6×3,解得x=±3,由于边长不能为负,故x=-3舍去,故正方形的边长为3 cm.)
17.解:(1)x2-2x=8,x2-2x+1=9,(x-1)2=9,x-1=±3,∴x1=4,x2=-2.　(2)(x-1)(x+4)=0,x-1=0或x+4=0,∴x1=-4,x2=1.
18.解:∵a b=a2-b2,∴(4 3) x=(42-32) x=7 x=72-x2.∴72-x2=24,∴x2=25,∴x=±5.
19.解析:把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形,矩形的长和宽分别是(32-x)m和(20-x)m,根据矩形的面积公式,列出关于道路宽的方程求解.
解:设道路的宽为x m.依题意得(32-x)·(20-x)=540,解得x1=2,x2=50(不合题意,舍去).答:道路的宽应为2 m.
20.(1)解:将x=1代入方程x2+ax+a-2=0得1+a+a-2=0,解得a=.方程为x2+x-=0,即2x2+x-3=0,设另一根为x1,则1×x1=-,∴x1=-.　(2)证明:∵Δ=a2-4(a-2)=a2-4a+8=a2-4a+4+4=(a-2)2+4>0,∴不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
21.解:(1)ΔABC是等腰三角形.理由如下:∵x=-1是方程的根,∴(a+c)×(-1)2-2b+(a-c)=0,∴a+c-2b+a-c=0,∴a-b=0,∴a=b,∴ΔABC是等腰三角形.　(2)∵ΔABC是等边三角形,∴(a+c)x2+2bx+(a-c)=0可整理为2ax2+2ax=0,∴x2+x=0,解得x1=0,x2=-1.
22.解:∵x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根,∴由根与系数的关系可知x1+x2=-,x1x2=.∵一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0有两个实数根,∴Δ=4a2-4(a-6)·a≥0,且a-6≠0,解得a≥0,且a≠6.(1)∵-x1+x1x2=4+x2,∴x1x2=4+(x1+x2),即=4-,解得a=24>0.∴存在实数a=24,使-x1+x1x2=4+x2成立.
(2)∵(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-+1=-,∴当(x1+1)(x2+1)为负整数时,a-6>0,且a-6是6的约数,∴a-6=6,a-6=3,a-6=2,a-6=1,∴a=12,9,8,7.∴使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值有12,9,8,7.
23.解:设每千克小型西瓜的售价降低x元,根据题意,得(3-2-x)·-24=200,整理,得50x2-25x+3=0,解得x1=0.2,x2=0.3.答:应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元.
24.解析:(1)设家庭电动车的年平均增长率是x,根据某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆,2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆,可求出增长率,进而可求出到2012年底家庭电动车将达到多少辆.(2)设建a个室内车位,b个露天车位,根据投资钱数及计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的3倍,可列出关系式求解,进而可求出方案情况.
解:(1)设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x,则可列方程为125(1+x)2=180,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去).∴180(1+20%)=216(辆).答:该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆.　(2)设该小区可建室内车位a个,露天车位b个,则　由①得b=150-5a,代入②得20≤a≤,∵a是正整数,∴a=20或21.当a=20时,b=50;当a=21时,b=45.∴方案一:建室内车位20个,露天车位50个;方案二:建室内车位21个,露天车位45个.
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