3.1.1椭圆及其标准方程 学案-【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（人教A版2019选择性必修第一册）
文档属性
| 名称 | 3.1.1椭圆及其标准方程 学案-【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（人教A版2019选择性必修第一册） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-20 17:01:51 | ||
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文档简介
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3.1.1 椭圆及其标准方程
【考点梳理】
考点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
考点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形 INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-10.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-10.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-11.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-11.TIF" \* MERGEFORMATINET
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝a2－c2
思考 能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
答案 能．椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大．
【题型归纳】
题型一：求椭圆的标准方程
1．已知直线经过椭圆的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：椭圆的定义及其应用
4．动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定
5．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
题型三：与椭圆有关的轨迹问题
7．若方程表示椭圆，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于（ ）
A．1 B． C． D．2
9．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（ ）
A．1 B． C． D．2
【双基达标】
10．已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
11．椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．阿基米德是古希腊著名的数学家 物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
13．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
14．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ）
A． B．2 C． D．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
16．已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
18．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，且短轴长为，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
19．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
21．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点B在椭圆，则（ ）
A． B． C． D．
22．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
23．设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
24．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
25．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
27．若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
28．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
29．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．＋y2＝1 B．＋y2＝1
C．＋y2＝1或 D．以上答案都不正确
30．若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．当点P不在x轴上时，的周长是6
B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为
C．存在点P，使
D．的取值范围是
31．焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
32．已知，“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
33．椭圆与(0A．长轴的长相等
B．短轴的长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
二、多选题
34．已知椭圆上有一点， 分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则； B．若，则满足题意的点有个；
C．若是钝角三角形，则； D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为.
35．平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是（ ）
A．M到两定点，的距离之和为4
B．M到两定点，的距离之和为6
C．M到两定点，的距离之和为6
D．M到两定点，的距离之和为8
36．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
三、填空题
37．中，A为动点，，且满足，则A点的轨迹方程为______．
38．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
39．已知是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为______．
40．已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16，则椭圆的标准方程是______．
41．过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为________．
42．设为椭圆的左焦点，M是椭圆上任意一点，P是线段的中点，则动点P的轨迹的方程为______．
四、解答题
43．已知是椭圆两个焦点，且椭圆的长轴长为.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的面积.
44．已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值．
参考答案
1．B
【分析】根据椭圆的标准方程以及焦点与顶点的定义，利用直线的方程求出点的坐标，进而求出，可得答案.
【详解】由，令，解得；令，，
由，则该椭圆的一个焦点为，一个顶点为，故，，则，即椭圆的标准方程为.
故选：B.
2．B
【分析】利用椭圆的对称性、勾股定理、椭圆的定义求得，再求得后可得标准方程．
【详解】由对称性，又，则，
所以，，又，则，
椭圆标准方程为．
故选：B．
3．A
【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.
【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.
故选:A.
4．A
【分析】根据椭圆的定义，即可得答案.
【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，
故选：A
5．A
【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.
【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.
故选：A
6．C
【分析】由椭圆定义确定点轨迹是椭圆，然后求出，可得其方程．
【详解】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，
所以，而，
所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为，
，，，则，
所以点轨迹方程是．
故选：C．
7．D
【分析】由题意可得，解方程即可得出答案.
【详解】因为方程表示椭圆，
所以，
解得：且.
故k的取值范围为：.
故选：D.
8．C
【分析】由椭圆方程及焦点三角形的大小，应用余弦定理列方程求参数m即可.
【详解】由题设，，，故，，
在△中，则，又，
所以.
故选：C
9．C
【分析】根据椭圆方程求出、、的值，即可得到、、的值，从而求出的面积，再利用等面积法求出内切圆的半径.
【详解】解：椭圆中，，，则，、∴，，
∴．∵，，∴，
∵，∴，
解得．
故选：C．
10．B
【分析】若表示焦点在轴上的椭圆，可得即可得的范围，再选取该范围的一个真子集即可求解.
【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得：．
所以成立的充要条件是：．
结合四个选项可知：成立的充分不必要条件是，
故选：B.
11．C
【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得，一方面，另一方面设点到轴的距离为，则，所以，即可求解
【详解】易得．设，，则．
在中，由余弦定理得，
即，则，
所以．
设点到轴的距离为，则，故，解得．
故选：C．
12．A
【分析】由椭圆的面积为和两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，得到求解.
【详解】由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
13．D
【分析】运用椭圆的定义进行求解即可.
【详解】由.
因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，
所以，
因此的周长为，
故选：D
14．D
【解析】首先根据题意得到，，，从而得到，再求长轴长即可.
【详解】因为椭圆：，焦点，
所以，，，即，解得或（舍去）.
所以，长轴为.
故选：D
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，属于简单题.
15．A
【分析】利用椭圆定义及焦点三角形的性质、椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程即可.
【详解】由椭圆的定义可得，
∴①，
当点为上顶点或下顶点时，△的面积取得最大值为，
∴②．又③，
由①②③，得，，，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
16．B
【分析】因为，所以三点共线，且，根据椭圆的定义求得，
设，根据，求得，代入椭圆的方程，求得的值，即可求解.
【详解】因为，所以三点共线，且，
因为分别为和的中点，
所以，所以，
设，，，
由，可得，
求得，，所以，
因为点在椭圆上，所以，求得，，
所以椭圆的方程为.
故选：B.
17．A
【分析】设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解.
【详解】设椭圆的左焦点为，则，可得，
所以，
如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，
此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．
故选：A．
18．B
【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为，即可求得的值，进而由焦点在轴上可得的标准方程.
【详解】由题意可得
解得，，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.
故选：B.
【点睛】本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题.
19．B
【分析】根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程.
【详解】由题可得圆心，半径为6，
是垂直平分线上的点，，
，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，
，故点的轨迹方程为.
故选：B.
20．D
【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积.
【详解】由椭圆方程得..
故选：D.
21．A
【分析】利用椭圆的定义结合正弦定理可求得结果.
【详解】在椭圆中，，，则，故点、为椭圆的焦点，
因此，.
故选：A.
22．C
【分析】根据椭圆的定义求解即可
【详解】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知
∴
故选：C
23．A
【分析】根据椭圆的定义可得的周长为；然后分析出当最小时，最大，从而求出的最小值即可.
【详解】由椭圆的定义，知，，
所以的周长为，
所以当最小时，最大.
又当时，最小，此时，
所以的最大值为.
故选：A.
24．B
【分析】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可.
【详解】解：设圆的圆心为，则，
设，则，
所以
，当且仅当时取得最大值，
所以．
故选：B．
25．D
【解析】设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.
【详解】设，的中点，所以，
又，所以，即，
而，，所以，又，
∴，即椭圆方程为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.
26．C
【分析】由椭圆的定义结合已知得，进而求出m即可.
【详解】
在椭圆中，，，.易知.
又，所以为等边三角形，即，所以，即.
故选：C.
27．B
【分析】根据给定条件，求出直线与x轴，y轴的交点，即可求解作答.
【详解】直线交x轴于，交y轴于，依题意，，
所以椭圆方程为.
故选：B
28．A
【分析】待定系数法去求椭圆C的方程
【详解】由椭圆方程可知，由四边形OMAN是正方形可知，
又点M在椭圆C上，则有，解得，
又椭圆C的右焦点为，则，
结合椭圆中，解得，，则椭圆C的方程为.
故选：A
29．C
【分析】由直线方程得直线与坐标轴的交点，分焦点在x轴上、焦点在y轴上讨论可得答案.
【详解】由直线方程x－2y＋2＝0 得直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为.
故选：C.
30．C
【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.
【详解】由椭圆方程可知，，从而．
对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确；
对于选项B：设点，因为，则．
因为，则面积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．
此时，，又，
则为正三角形，，
所以不存在点，使，故选项C错误；
对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；
当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．
故选：C.
【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则
（1）焦点三角形的周长为；
（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；
（3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为；
（4）.
31．B
【分析】根据题意可知，即可由求出，再根据焦点位置得出椭圆方程．
【详解】因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为．
故选：B．
32．B
【分析】先求出方程表示椭圆的充要条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】解：若方程表示椭圆，则，解得且，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B
33．D
【分析】根据椭圆方程求得两个椭圆的，由此确定正确选项.
【详解】椭圆与 (0前者a2＝25，b2＝9，则c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，则．
显然只有D正确．
故选：D
34．ABC
【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式可求解，对于B，利用三角形的面积公式求出三角形的高与比较即可判断，对于C，三角形是钝角三角形，求出三角形是直角三角形的面积，进而可求出范围，对于D，利用椭圆的参数方程以及三角函数的性质求出即可
【详解】由椭圆可得，则，
对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为
所以，所以A正确，
对于B，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有个，所以B正确，
对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确，
对于D，令，，则椭圆内接矩形的周长为
（其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误，
故选：ABC
35．BD
【分析】根据椭圆的定义进行逐一判断即可.
【详解】因为两定点，的距离为，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；
因为两定点，的距离为，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合，
故选：BD
36．ACD
【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.
【详解】设椭圆的左焦点为，则
所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，
又因为，∴
所以为直角三角形，C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确.
故选：ACD
37．.
【分析】根据正弦定理和椭圆的定义进行求解即可.
【详解】根据正弦定理，由，
所以点A点的轨迹是以，为焦点的椭圆，不包括两点，
由，
所以A点的轨迹方程为，
故答案为：.
38．
【分析】根据方程表示焦点在y轴上的椭圆列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】由于方程表示焦点在y轴上的椭圆，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
39．##
【分析】首先根据椭圆定义可得，当三点不共线时，必要，如图，当点运动到的延长线和椭圆交点时，
取得最大，即可得解.
【详解】根据题意椭圆方程为，
所以，，
所以，，
故，
如图，根据椭圆定义可得：
，
当点运动到的延长线和椭圆交点时，
取得最大，
此时，
所以的最大值为.
故答案为：
40．或
【分析】由焦距、椭圆定义可知，进而写出椭圆标准方程，注意焦点分别在x、y轴两种情况.
【详解】由题设，，则，而，
所以椭圆的标准方程是或.
故答案为：或
41．
【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
故答案为：
42．
【分析】设出点的坐标，根据点坐标与点坐标之间的关系，结合点坐标满足椭圆方程，即可求得点的轨迹方程.
【详解】对椭圆，其左焦点的坐标为，设点的坐标分别为，
因为点是线段的中点，故可得，即，
又点在椭圆上，故，即，整理得：.
故答案为：.
43．（1）；（2）.
【分析】（1）由题可得，从而可得方程；
（2）设，在中利用余弦定理可得，进一步可求得的面积．
【详解】（1）由题意知,
∴，又，
∴，
椭圆方程为.
(2)设，
由椭圆的定义得，又，
在中由余弦定理得，
得，
.
44．最大值为，最小值为11
【分析】设点P的坐标为，则，由，利用二次函数的性质求解.
【详解】因为P是椭圆上一点，
所以，且椭圆焦点在y轴上，
点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为，
则，
所以，
，
，
因为，
当时，，
所以
当时， .
试卷第1页，共3页
3.1.1 椭圆及其标准方程
【考点梳理】
考点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
考点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形 INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-10.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-10.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-11.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-11.TIF" \* MERGEFORMATINET
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝a2－c2
思考 能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
答案 能．椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大．
【题型归纳】
题型一：求椭圆的标准方程
1．已知直线经过椭圆的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：椭圆的定义及其应用
4．动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定
5．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
题型三：与椭圆有关的轨迹问题
7．若方程表示椭圆，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于（ ）
A．1 B． C． D．2
9．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（ ）
A．1 B． C． D．2
【双基达标】
10．已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
11．椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．阿基米德是古希腊著名的数学家 物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
13．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
14．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ）
A． B．2 C． D．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
16．已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
18．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，且短轴长为，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
19．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
21．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点B在椭圆，则（ ）
A． B． C． D．
22．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
23．设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
24．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
25．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
27．若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
28．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
29．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．＋y2＝1 B．＋y2＝1
C．＋y2＝1或 D．以上答案都不正确
30．若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．当点P不在x轴上时，的周长是6
B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为
C．存在点P，使
D．的取值范围是
31．焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
32．已知，“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
33．椭圆与(0
B．短轴的长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
二、多选题
34．已知椭圆上有一点， 分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则； B．若，则满足题意的点有个；
C．若是钝角三角形，则； D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为.
35．平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是（ ）
A．M到两定点，的距离之和为4
B．M到两定点，的距离之和为6
C．M到两定点，的距离之和为6
D．M到两定点，的距离之和为8
36．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
三、填空题
37．中，A为动点，，且满足，则A点的轨迹方程为______．
38．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
39．已知是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为______．
40．已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16，则椭圆的标准方程是______．
41．过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为________．
42．设为椭圆的左焦点，M是椭圆上任意一点，P是线段的中点，则动点P的轨迹的方程为______．
四、解答题
43．已知是椭圆两个焦点，且椭圆的长轴长为.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的面积.
44．已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值．
参考答案
1．B
【分析】根据椭圆的标准方程以及焦点与顶点的定义，利用直线的方程求出点的坐标，进而求出，可得答案.
【详解】由，令，解得；令，，
由，则该椭圆的一个焦点为，一个顶点为，故，，则，即椭圆的标准方程为.
故选：B.
2．B
【分析】利用椭圆的对称性、勾股定理、椭圆的定义求得，再求得后可得标准方程．
【详解】由对称性，又，则，
所以，，又，则，
椭圆标准方程为．
故选：B．
3．A
【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.
【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.
故选:A.
4．A
【分析】根据椭圆的定义，即可得答案.
【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，
故选：A
5．A
【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.
【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.
故选：A
6．C
【分析】由椭圆定义确定点轨迹是椭圆，然后求出，可得其方程．
【详解】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，
所以，而，
所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为，
，，，则，
所以点轨迹方程是．
故选：C．
7．D
【分析】由题意可得，解方程即可得出答案.
【详解】因为方程表示椭圆，
所以，
解得：且.
故k的取值范围为：.
故选：D.
8．C
【分析】由椭圆方程及焦点三角形的大小，应用余弦定理列方程求参数m即可.
【详解】由题设，，，故，，
在△中，则，又，
所以.
故选：C
9．C
【分析】根据椭圆方程求出、、的值，即可得到、、的值，从而求出的面积，再利用等面积法求出内切圆的半径.
【详解】解：椭圆中，，，则，、∴，，
∴．∵，，∴，
∵，∴，
解得．
故选：C．
10．B
【分析】若表示焦点在轴上的椭圆，可得即可得的范围，再选取该范围的一个真子集即可求解.
【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得：．
所以成立的充要条件是：．
结合四个选项可知：成立的充分不必要条件是，
故选：B.
11．C
【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得，一方面，另一方面设点到轴的距离为，则，所以，即可求解
【详解】易得．设，，则．
在中，由余弦定理得，
即，则，
所以．
设点到轴的距离为，则，故，解得．
故选：C．
12．A
【分析】由椭圆的面积为和两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，得到求解.
【详解】由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
13．D
【分析】运用椭圆的定义进行求解即可.
【详解】由.
因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，
所以，
因此的周长为，
故选：D
14．D
【解析】首先根据题意得到，，，从而得到，再求长轴长即可.
【详解】因为椭圆：，焦点，
所以，，，即，解得或（舍去）.
所以，长轴为.
故选：D
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，属于简单题.
15．A
【分析】利用椭圆定义及焦点三角形的性质、椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程即可.
【详解】由椭圆的定义可得，
∴①，
当点为上顶点或下顶点时，△的面积取得最大值为，
∴②．又③，
由①②③，得，，，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
16．B
【分析】因为，所以三点共线，且，根据椭圆的定义求得，
设，根据，求得，代入椭圆的方程，求得的值，即可求解.
【详解】因为，所以三点共线，且，
因为分别为和的中点，
所以，所以，
设，，，
由，可得，
求得，，所以，
因为点在椭圆上，所以，求得，，
所以椭圆的方程为.
故选：B.
17．A
【分析】设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解.
【详解】设椭圆的左焦点为，则，可得，
所以，
如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，
此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．
故选：A．
18．B
【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为，即可求得的值，进而由焦点在轴上可得的标准方程.
【详解】由题意可得
解得，，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.
故选：B.
【点睛】本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题.
19．B
【分析】根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程.
【详解】由题可得圆心，半径为6，
是垂直平分线上的点，，
，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，
，故点的轨迹方程为.
故选：B.
20．D
【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积.
【详解】由椭圆方程得..
故选：D.
21．A
【分析】利用椭圆的定义结合正弦定理可求得结果.
【详解】在椭圆中，，，则，故点、为椭圆的焦点，
因此，.
故选：A.
22．C
【分析】根据椭圆的定义求解即可
【详解】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知
∴
故选：C
23．A
【分析】根据椭圆的定义可得的周长为；然后分析出当最小时，最大，从而求出的最小值即可.
【详解】由椭圆的定义，知，，
所以的周长为，
所以当最小时，最大.
又当时，最小，此时，
所以的最大值为.
故选：A.
24．B
【分析】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可.
【详解】解：设圆的圆心为，则，
设，则，
所以
，当且仅当时取得最大值，
所以．
故选：B．
25．D
【解析】设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.
【详解】设，的中点，所以，
又，所以，即，
而，，所以，又，
∴，即椭圆方程为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.
26．C
【分析】由椭圆的定义结合已知得，进而求出m即可.
【详解】
在椭圆中，，，.易知.
又，所以为等边三角形，即，所以，即.
故选：C.
27．B
【分析】根据给定条件，求出直线与x轴，y轴的交点，即可求解作答.
【详解】直线交x轴于，交y轴于，依题意，，
所以椭圆方程为.
故选：B
28．A
【分析】待定系数法去求椭圆C的方程
【详解】由椭圆方程可知，由四边形OMAN是正方形可知，
又点M在椭圆C上，则有，解得，
又椭圆C的右焦点为，则，
结合椭圆中，解得，，则椭圆C的方程为.
故选：A
29．C
【分析】由直线方程得直线与坐标轴的交点，分焦点在x轴上、焦点在y轴上讨论可得答案.
【详解】由直线方程x－2y＋2＝0 得直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为.
故选：C.
30．C
【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.
【详解】由椭圆方程可知，，从而．
对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确；
对于选项B：设点，因为，则．
因为，则面积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．
此时，，又，
则为正三角形，，
所以不存在点，使，故选项C错误；
对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；
当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．
故选：C.
【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则
（1）焦点三角形的周长为；
（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；
（3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为；
（4）.
31．B
【分析】根据题意可知，即可由求出，再根据焦点位置得出椭圆方程．
【详解】因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为．
故选：B．
32．B
【分析】先求出方程表示椭圆的充要条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】解：若方程表示椭圆，则，解得且，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B
33．D
【分析】根据椭圆方程求得两个椭圆的，由此确定正确选项.
【详解】椭圆与 (0
显然只有D正确．
故选：D
34．ABC
【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式可求解，对于B，利用三角形的面积公式求出三角形的高与比较即可判断，对于C，三角形是钝角三角形，求出三角形是直角三角形的面积，进而可求出范围，对于D，利用椭圆的参数方程以及三角函数的性质求出即可
【详解】由椭圆可得，则，
对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为
所以，所以A正确，
对于B，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有个，所以B正确，
对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确，
对于D，令，，则椭圆内接矩形的周长为
（其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误，
故选：ABC
35．BD
【分析】根据椭圆的定义进行逐一判断即可.
【详解】因为两定点，的距离为，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；
因为两定点，的距离为，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合，
故选：BD
36．ACD
【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.
【详解】设椭圆的左焦点为，则
所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，
又因为，∴
所以为直角三角形，C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确.
故选：ACD
37．.
【分析】根据正弦定理和椭圆的定义进行求解即可.
【详解】根据正弦定理，由，
所以点A点的轨迹是以，为焦点的椭圆，不包括两点，
由，
所以A点的轨迹方程为，
故答案为：.
38．
【分析】根据方程表示焦点在y轴上的椭圆列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】由于方程表示焦点在y轴上的椭圆，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
39．##
【分析】首先根据椭圆定义可得，当三点不共线时，必要，如图，当点运动到的延长线和椭圆交点时，
取得最大，即可得解.
【详解】根据题意椭圆方程为，
所以，，
所以，，
故，
如图，根据椭圆定义可得：
，
当点运动到的延长线和椭圆交点时，
取得最大，
此时，
所以的最大值为.
故答案为：
40．或
【分析】由焦距、椭圆定义可知，进而写出椭圆标准方程，注意焦点分别在x、y轴两种情况.
【详解】由题设，，则，而，
所以椭圆的标准方程是或.
故答案为：或
41．
【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
故答案为：
42．
【分析】设出点的坐标，根据点坐标与点坐标之间的关系，结合点坐标满足椭圆方程，即可求得点的轨迹方程.
【详解】对椭圆，其左焦点的坐标为，设点的坐标分别为，
因为点是线段的中点，故可得，即，
又点在椭圆上，故，即，整理得：.
故答案为：.
43．（1）；（2）.
【分析】（1）由题可得，从而可得方程；
（2）设，在中利用余弦定理可得，进一步可求得的面积．
【详解】（1）由题意知,
∴，又，
∴，
椭圆方程为.
(2)设，
由椭圆的定义得，又，
在中由余弦定理得，
得，
.
44．最大值为，最小值为11
【分析】设点P的坐标为，则，由，利用二次函数的性质求解.
【详解】因为P是椭圆上一点，
所以，且椭圆焦点在y轴上，
点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为，
则，
所以，
，
，
因为，
当时，，
所以
当时， .
试卷第1页，共3页