三角函数图像与性质专练
题型一：求三角函数单调性
1、已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
2、已知函数f(x)＝cos 2x－2sin2(x－α)，其中0<α<，且f＝－－1.
(1)求α的值；
(2)求f(x)的最小正周期和单调递减区间．
3、函数g(x)＝－cos的单调递增区间为________．
4．y＝|cos x|的一个单调递增区间是( )
A. B．[0，π]
C. D.
题型二：求三角函数值域（最值）
5、函数f(x)＝3sin在区间上的值域为( )
A. B.
C. D.
6、函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
7、函数f(x)的解析式变为：f(x)＝3cos，则f(x)在区间上的值域为________．
8、函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最小值为( )
A．1 B.
C. D．1－
9、函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin xcos x，则f(x)的最大值为________．
10、已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
11、函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为________．
12、函数f(x)＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．
题型三：三角函数单调性求字母取值范围
13、若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B.
C. D．Π
14、若f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
题型四：三角函数奇偶性
15、函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为( )
A. B.
C. D.
16、若函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tan θ等于________．
题型五：三角函数对称性
17、已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
18、已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
19、函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f(0)＝1，则下列结论中正确的是( )
A．f(φ)＝2
B.是f(x)图象的一个对称中心
C．φ＝
D．x＝－是f(x)图象的一条对称轴
题型六：三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
20、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
21、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________________.
题型七：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换
22、将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
23、已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2三角函数图像与性质专练
题型一：求三角函数单调性
1、已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解] (1)由题意，f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2＝－2sin，
故f＝－2sin＝－2sin ＝2.
(2)由(1)知f(x)＝－2sin.
则f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
2、已知函数f(x)＝cos 2x－2sin2(x－α)，其中0<α<，且f＝－－1.
(1)求α的值；
(2)求f(x)的最小正周期和单调递减区间．
解：(1)由已知得f＝－－2sin2＝－－2cos2α＝－－1，整理得cos2α＝.
因为0<α<，所以cos α＝，α＝.
(2)由(1)知，f(x)＝cos 2x－2sin2
＝cos 2x－1＋cos
＝cos 2x＋sin 2x－1
＝2sin－1.
易知函数f(x)的最小正周期T＝π.
令t＝2x＋，
则函数f(x)可转化为y＝2sin t－1.
显然函数y＝2sin t－1与y＝sin t的单调性相同，
当函数y＝sin t单调递减时，
2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
3、函数g(x)＝－cos的单调递增区间为________．
解析：方法一：g(x)＝－cos＝－cos，
欲求函数g(x)的单调递增区间，
只需求函数y＝cos的单调递减区间．
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
因为x∈，
所以函数g(x)的单调递增区间为，.
方法二：采用换元，g(x)＝－cos＝－cos，令t=，求出t的范围，然后通过图像来进行求解
答案：，
4．y＝|cos x|的一个单调递增区间是( )
A. B．[0，π]
C. D.
解析：选D 将y＝cos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的部分不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
题型二：求三角函数值域（最值）
5、函数f(x)＝3sin在区间上的值域为( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)当x∈时，
2x－∈，sin∈，
故3sin∈，
所以函数f(x)的值域为.
[答案] B
6、函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
(2)依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，
因为x∈，所以cos x∈[0,1]，
因此当cos x＝时，f(x)max＝1.
[答案] 1
7、函数f(x)的解析式变为：f(x)＝3cos，则f(x)在区间上的值域为________．
解析：当x∈时，2x－∈，
cos∈，
故f(x)＝3cos∈.
答案：
8、函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最小值为( )
A．1 B.
C. D．1－
解析：选A 函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋.
∵x∈，∴2x－∈.
当2x－＝时，函数f(x)取得最小值为1.
9、函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin xcos x，则f(x)的最大值为________．
解析：设t＝sin x＋cos x(－≤t≤)，
则sin xcos x＝，
y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1，
当t＝时，y＝t＋t2－取最大值为＋.
故f(x)的最大值为.
答案：
10、已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
解析：由x∈，知x＋∈.
∵x＋∈时，f(x)的值域是，
∴由函数的图象知≤a＋≤，
∴≤a≤π.
答案：
11、函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为________．
解析：因为f(x)＝cos 2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，而sin x∈[－1,1]，所以当sin x＝1时，f(x)取最大值5.
答案：5
12、函数f(x)＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．
解析：因为0≤x≤9，所以0≤x≤，
即－≤x－≤，
所以－≤sin≤1，
故f(x)的最大值为2，最小值为－，它们之和为2－.
答案：2－
题型三：三角函数单调性求字母取值范围
13、若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B.
C. D．Π
[解析] (1)f(x)＝cos x－sin x＝－sin，
当x∈，即x－∈时，
y＝sin单调递增，
则f(x)＝－sin单调递减．
∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，
∴[－a，a] ，∴0
∴a的最大值是.
[答案] A
14、若f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
[解析] 法一：因为x∈(ω>0)，
所以ωx∈，
因为f(x)＝2sin ωx在上是增函数，
所以故0<ω≤.
法二：画出函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)的图象如图所示．
要使f(x)在上是增函数，
需即0<ω≤.
[答案]
题型四：三角函数奇偶性
15、函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为f(|x|)＝f(x)，
所以函数f(x)＝3sin是偶函数，
所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
所以φ＝kπ＋，k∈Z，
又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.
[答案] C
16、若函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tan θ等于________．
解析：f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)
＝2sin
＝－2sin，
因为函数f(x)为奇函数，
所以－－θ＝kπ，k∈Z，
即θ＝－kπ－，k∈Z，
故tan θ＝tan＝－.
答案：－
题型五：三角函数对称性
17、已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
[解析] 因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，
即f(x)＝2sin.
令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，
故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)，
令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)．
故f(x)的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．
[答案] B
18、已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
[解析] 由题意得f＝sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．
∵φ∈，∴φ＝－.
[答案] －
19、函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f(0)＝1，则下列结论中正确的是( )
A．f(φ)＝2
B.是f(x)图象的一个对称中心
C．φ＝
D．x＝－是f(x)图象的一条对称轴
解析：选A 由f(0)＝1且0<φ<，可得φ＝，故选项C错误；可得f(x)＝2sin，把x＝代入f(x)＝2sin，得f(φ)＝2，选项A正确；f＝2，f(x)取得最大值，选项B错误；而f＝－1，非最值，选项D错误，故选A.
题型六：三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
20、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
[解析] 由题图可知A＝2，T＝2×＝4π，故＝4π，解得ω＝.
所以f(x)＝2sin.
把点代入可得2sin＝2，
即sin＝1，所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．
又0<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)＝2sin.
[答案] B
21、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________________.
[解析] 依题意得 ＝2，则＝2，即ω＝，所以f(x)＝sin，由于该函数图象过点，因此sin(π＋φ)＝－，即sin φ＝，而－≤φ≤，故φ＝，所以f(x)＝sin.
[答案] sin
题型七：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换
22、将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选B 将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y＝sin的图象，因此变换后所得图象对应的函数解析式为y＝sin.
23、已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
[解析] 易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.
[答案] D