2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第14讲点线面位置关系复习辅导讲义（无答案）

第14讲 点线面的位置关系章末复习
一、教学目标
1．理解空间中线线、线面、面面的位置关系．
2．掌握空间中线线、线面、面面平行与垂直的判定定理与性质定理及其应用．
3．会求简单的线面角与二面角．
4．培养空间立体感．
二、知识点梳理
典型例题讲解
【例1】下列结论正确的是（ ）.
①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面
②经过两条相交直线，可以确定一个平面
③经过两条平行直线，可以确定一个平面
④经过空间任意三点可以确定一个平面
A.个 B.个 C.个 D.个
【例2】如图，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）.
A.在直线上 B.在直线上 C.在直线上 D.都不对
【例3】已知E、F、G、H分别为空间四边形(四个顶点不共面的四边形)ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点, 且直线EF和GH交于点P, 求证: B、D、P在同一条直线上.
(
A
E
F
D
B
G
H
C
P
)
【例4】给出下列四个命题：
①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；
②两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；
③两异面直线，如果平面，那么不垂直于平面；
④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 ．
其中正确的命题是_____
【例5】已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条．
【例6】在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，
求直线AM与CN所成角的余弦值．
(
B
1
A
1
A
B
C
1
D
1
C
D
M
N
)
【例7】如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角．
(
F
A
B
C
E
S
)
【例8】如图，四面体ABCD中，AC⊥BD,且AC＝4，BD＝3，M、N分别是AB、CD的中点，求MN和BD所成角的正切值．
(
A
B
C
D
M
N
4
3
)
【例9】下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）.
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面
②一个平面内的两条直线平行于另一个平面
③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
【例10】对于平面和共面的直线m、n，下列命题中假命题是 （填序号）．
①若m⊥，m⊥n，则n∥ ②若m∥，n∥，则m∥n
③若m，n∥，则m∥n ④若m、n与所成的角相等，则m∥n
【例11】设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，下列命题中真命题为
①若，则；
②若，则；
③，，则；
④若,则，
【例12】P是平行四边形ABCD外一点,Q是PA的中点，求证PC∥平面BDQ．
【例13】如图,在直三棱柱中, , , , , 点是的中点. (1)求证:；(2)求证:∥平面.
【例14】 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.
【例15】如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.
求证：MN∥平面AA1C1．
【例16】给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
【例17】已知中,面,,求证：面．
【例18】如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证：AC⊥平面B1D1DB;
求证：BD1⊥平面ACB1
(
D
1
C
1
B
1
A
1
C
D
B
A
)
(
P
A
B
C
D
)【例19】已知PA⊥正方形ABCD所在平面，且AB = PA = 2，
(1)求证：BD⊥平面PAC； (2)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(3)求AB与平面PAC所成的角； (4) 求二面角A－CD－P的大小；
(5)若PD的中点为E，证明：PB//平面ACE.
四、课后作业
一、选择题
1. 已知、是不同的两条直线，、是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2. 设表示平面，表示直线，给定下列四个命题：
①； ②;
③; ④.
其中正确命题的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3．若、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是（ ）
①若、都平行于平面，则、一定不是相交直线；
②若、都垂直于平面，则、一定是平行直线；
③已知、互相垂直，、互相垂直，若，则；
④、在平面内的射影互相垂直，则、互相垂直.
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行
④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5．已知两个不同的平面和两条不重合的直线，,在下列四个命题中错误的是（ ）
A．若∥，，则∥
Ｂ．若⊥，⊥，则∥
C．若∥，⊥ ，则⊥
D．若⊥，∥，，则⊥
6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题：
①若，则； ②若，，则；
③若，则； ④若，则；
其中真命题的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列命题中正确命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若上有两个点到的距离相等，则 D．若，则
8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是 （ ）
A．若则
B．若，则
C．若，则
D．若则
9.已知相异直线a，b和不重合平面，则a∥b的一个充分条件是( )
A．a∥, b∥ B．a∥，b∥，∥
C．a⊥，b⊥，∥ D．⊥，a ⊥，b ∥
10．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知直线a、b、c和平面M，则a//b的一个充分条件是 （ ）
A．a//M ，b//M 　　　　　　 B．ac ，bc
C．a、b与平面M成等角 　　　　 D．aM ，bM．
12．已知两条不同直线和及平面，则直线的一个充分条件是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
13.已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题
①若，则 ②若
③若 ④若
其中正确命题的个数是 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
14．在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；
④若平面α内的三点A, B, C到平面β的距离相等，则α∥β．
其中正确命题的个数为（　　）个。
A ．0 　　B ．1　　 C ．2　　 D ．3
15．已知三条不重合的直线m．n．l两个不重合的平面，有下列命题
①若；
②若；
③若；
④若；
其中正确的命题个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
（　　）
Ａ．若，则
Ｂ．若，则
Ｃ．若，则
Ｄ．若，则
已知平面平面，，点，，直线，直线，
直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
18．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若；
②若m、l是异面直线，；
③若；
④若
其中为假命题的是 （ ）
A．① B．② C．③ D．④
19．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和
交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
20．在三棱柱 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面 的中心，则AD与平面所成角的大小是
21．已知正四棱柱中， ，E为 中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为
三、解答证明题
22．已知为空间四边形的边上的点，且．
求证：.
23．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．
24．如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．
（1）求和平面所成的角的大小；
（2）证明平面；
（3）求二面角的正弦值．
25．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC； (2)求二面角E－DB－C的正切值.
26. 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是A1B1 中点．
（1）求证C1D ⊥平面A1B ；
（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论．