全等三角形[下学期]
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文档简介
13.1 全等三角形
教学目标：1、通过实例,经历全等图形概念的发生过程,了解全等图形的概念.
2、会用叠合法判定两个图形全等。
3、了解全等三角形的概念。
4、理解全等三角形的对应边相等，对应角相等。/
教学重点：1会看图，会找到三角形的对应边、对应角。
2、掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质。
教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。
教学方法：探索讨论、归纳总结。
教学工具：课件
准备活动：
教学过程：
(1) 课前复习三角形的有关知识：
一个三角形共有______个顶点,_________个角,_______条边.
(2) 已知△ABC,它的顶点是_________,它的角是______________, 它的边是____________
(3) 两个图形完全重合指的是它们的形状___________,大小___________.
(4) 完全重合的两条线段_________(填 “相等”或 “不相等”)
(5) 完全重合的两个角_________(填 “相等”或 “不相等”)
1、 实验活动
找出图画中全等的图形：（课件展示）
得到全等图形的概念形的概念
从而引出全等三角形的定义及性质
1．全等三角形的定义及有关概念和性质．
(1)定义：全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形．
(2)反例：举出不全等的三角形的例子，利用教师和学生手中的含30°角的三角板说明只满足形状相同的两个图形不是全等形，强调定义的条件．
教师提问：请同学们观察周围有没有能完全重合的两个平面图形？
学生在生活中找图形。
(3)对应元素及性质：教师结合手中的教具说明对应元素(顶点、边、角)的含义，并引导学生观察全等三角形中对应元素的关系，发现对应边相等，对应角相等．教师启发学生根据“重合”来说明道理．
2．学习全等三角形的符号表示及读法和写法．
解释“≌”的含义和读法，并强调对应顶点写在对应位置上．
举例说明：
如图，∵ △ABC≌DFE，(已知)
∴AB=DF，AC=DE，BC=FE，(全等三角形的对应边相等)
∠A=∠D，∠B=∠F，∠C=∠E．(全等三角形的对应角相等)
教师小结：在书写全等三角形时，如果将对应顶点写在对应位置上，那么，将两个三角形的顶点同时按1→2→3→1的顺序轮换，可写出所有对应边和对应角相等的式子，而不会找错，并节省观察图形的时间．
2、 总结寻找全等三角形对应元素的方法，渗透全等变换的思想
1、能够 的两个图形叫全等形；
2、两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做 ； 互相重合的边叫做 ；互相重合的角叫做 ；
3、全等三角形对应边 ，对应角 ；
4、记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在 ；例如△ABC≌ △DFE ，对应顶点分别是
；
5、两个三角形全等时，对应顶点所在的角是 ，对 应边所对的角是 ，对应角所对的边是 。
（机动）判断题:
①全等三角形的对应边相等,对应角相等.( )
②全等三角形的周长相等.( )
③面积相等的三角形是全等三角形.( )
④全等三角形的面积相等.( )
三、性质应用举例
1．性质的基本应用．
例1 已知：△ABC≌△DFE，∠A=96°，∠B=25°，DF=10cm．求∠E的度数及AB的长．
例2 如图，AD 平分∠BAC，AB=AC，△ABD与△ACD全等吗？BD与CD相等吗？∠B与∠C呢？请说明理由。
分析：略
小 结：
1．学生回忆这节课：在自己动手实际操作中，得到了全等三角形的哪些知识？
(1)全等三角形的定义、判断方法、性质．
(2)找全等三角形对应元素的方法．注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角等，但公共顶点不一定是对应顶点．
2．在运用全等三角形的定义和性质时应注意什么问题？
教师应强调全等三角形及性质的规范书写格式．
3．了解全等变换的思想，更好地识别全等三角形及对应元素．
作 业： 作业本1.4
教学后记：学生对全等三角形的全等还是理解得比较好的。而在找全等三角形的对应边、对应角的时候，简单的并且放的位置比较好时，才容易找到。而稍为旋转的图形中找起来就要花些时间。应用性质计算、证明有一些困难。
13.2.1全等三角形的判断（一）
教学目的：
1、掌握已知三边画三角形的方法
2、掌握边边边公理，会添加辅助线并选择四种判定方法证明两个三角形全等。
教学重点：掌握边边边公理，并灵活运用各种判定方法判定两三角形全等
教学难点：对证明三角形全等的方法的全面认识，会添加辅助线
教学过程：
1、 动态演示、发现公理 1、动态演示
如图，在△ABC与△A/B/C/中AB=A/B/，AC=A/C/，∠A=∠A/。问：△ABC与△A/B/C/全等？为什么？
问：去掉∠A=∠A/呢？（演示教具）
可见在旋转过程中，∠A/可大可小，
相应地，三角形的一些边、角条件也就
变化了，△ABC的形状不能确定。因式
两个条件是不能确定三角形。那么，观
察上述运动过程，保留AB=A/B/，AC=A/C/条件，∠A=∠A/的条件能否由其它边或角的条件代替，还能保持三角形的形状不变呢？
2、得到猜想：三边对应相等的两个三角形全等。
3、画图验证猜想，得出公理。
画△ABC，使AB=3㎝，BC=4㎝，AC=5㎝。请与同位两同学对比一下看两三角形全等？
4、公理：有三边对应相等垢两个三角形全等。
二、边边边公理的基本应用
例1 （1）演示水平仪的构造、用法、提出问题。
构造：两边相等的支架（AB=AC），点A处系一重锤，D是BC中点，如图（1）
E E
图（1） 图（2） 图（3）
用法：将BC边贴紧要测量的架MN。如果系重锤的线AE经过中点O，则BC即MN与地面呈水平状态，否则BC即MN与地面不呈水平状态，如图（2），为什么？
答：由于AE永远垂直于地面，而过过一点作已知直线的垂线只有一条，因此，原理关键在于BC与AD垂直。
（2）从以上过程提练得出一个数学问题。
（P 39 / 例1）如图（3）△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架。求证：AD⊥BC
分析：（1）证明两直线垂直或一个角是直角，可转化为证该角和它的邻补角相等，从而利用全等三角形的知识来解决（2）利用公共边AD=AD，因此△ABD与△ACD满足边边边公理，从而全等。
证明：略
例2（ P40 / 例2） 如图，已知：AB=DC，AD=BC。
（1）求证：∠A=∠C
（2）在你的证明过程中还能得出哪些结论？
分析：（1）研究四边形问题可通过添加辅助线，转化为研究三角形的问题。要证∠A=∠C
可通过连结两点，构造两个三角形，使条件和所需证明的结论与这个三角形有直接联系。经过比较，连结BC不会破坏∠A和∠C。
（2）要求探索尽可能多的结论。在证三角形全等时还内错角相等，可得平行。与P47/1一样。
证明：略
练习：
（1）以上例题，第一小题的“图形”“求证”不变，条件还可以改成哪些叙述方式？
答：①：AB∥DC，AB=DC； ②：AD∥BC，AD=BC；
③：AB∥DC，AD=BC； ④：AD∥BC，AB=DC。
（2）P 41 / 1
（3）如图，已知：AB=AD，BC=DC。
①求证：∠B=∠D。
②在你的证明过程中还能得出哪些结论？
（4）P 41 / 2
四、小结
1、 证明两个三角形全等共有几种方法？利用它们证明时需注意什么？
2、 应用边边边公理时，应注意公共边的作用，它常作为图形的隐含条件出现，有时还通过添加辅助线创造证明全等的条件。
五、教学后记：由于是第一次判断三角形的全等，比较陌生，但是还比较容易接受的，因此要乘胜追击，树立学生的积极性。主要在全等的条件上要强调具备完整。
13.2.2全等三角形的判断（二）
教学目的：
1、通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判断方法”的必要性。
2、比较熟练地掌握应用边角公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法，初步培养学生的逻辑推理能力。
3、掌握证明三角形全等问题的规范化写格式。
教学重点、难点：应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式
教学过程：
1、 实例演示，发现公理
2、
1、问：怎么样判断三角形全等？
答：利用定义证明完全重合。
2、问：如图 △ABC和△DEF中，AB=ED=3㎝，∠B=∠E=300，BC=EF=5㎝。则它们完全重合？即△ABC≌△DEF？
3、每次判断全等时，若都根据定义检查重合不便操作的，需要寻找更实用的判断方法-----用全等三角形的性质来判定。
4、由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角相等的两个三角形全等。
5、画图加以证明：
如图：△ABC是任意一个三角形，画△A/B/C/，使∠A/=∠A，A/B/=AB，A/C=/AC。
画法：（1）画∠M/A/N/=∠A
（2）在射线A/M，A/N上分别取A/B/=AB，A/C=/AC。
（3）连结B/C/，得△A/B/C/。
图（2）
可得两三角形完重从合。
二、提出公理
1、三角形全等判定公理1：有两边和它们的夹角相等的两个三角形全等。（SAS）
2、强调以下两点：
（1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等。
（2）使用时记号“SAS”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应点的字母顺序写在对应位置上。
3、板书定理证明应使用标准图开、文字及数学表达式，正确书写证明过程。
如图（2）：在△ABC与△A/B/C/中
∴△ABC≌△A/B/C/（SAS）
练习1 P 27 / 1
三、应用举例、变式练习
1、例1 已知：如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD。求证：△ABD≌△CBD。
分析：将已知条件与边角公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等BD=BD得到。
说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身掘隐含条件，如
公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等。
（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）图（3）
分析：△ABD≌△CBD。
因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与AB，CB夹两已知角的公共边BD。
练习2 如图（3），已知AB=CB，∠ABD=∠CBD。求证：AD=CD，BD平分∠ADC。
练习3 如图（3），已知AD=CB，BD平分∠ADC。求证：∠A=∠C。
分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有AD=CB，所缺的其余条件分别由公共边相等、角的平分线的定义得出。这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作。
∵BD平分∠ABC，（已知）
∴∠ABD=∠CBD（角平线的定义） ①（准备条件）
在△ABD和△CBD中 ②（指明范围）
③（列齐条件）
∴△ABD≌△CBD（SAS） ④（得出结论）
∴∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）
练习4 P 27 / 2
四、小结
1、证明两三角全等的条件可由六个减至几个？边角边公理是哪三个条件？
2、在遇到证明两三角形全等或证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题的思路是怎么样？
3、 证明两个三角形全等而边、角的直接条件不足时，可从哪些角度入手寻找非已知条
件？
五、教学后记： 学生的判断的基础上，注意引导在“SSS”的区别，加强对作业的检查，以免让学生在简单的问题上犯错误，尤其是在其他的判别方法上，引起混淆。
13.2.3全等三角形的判定（三）
一、教学目标：
1、了解全等三角形的概念和判定，能够准确地辩认全等三角形的对应元素
2、熟练掌握三角形全等的判定定理和性质，并会利用全等的知识证明角相等与线段相等；
二、教学重点：
全等三角形的判定定理的运用；
三、教学难点：
如何挖掘题目中的隐藏条件证明两三角形全等；
四、教学过程：
（一）速度测试：
1、判断题：
（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两三角形全等；
（2）有两边及其中一边上的中线对应相等的两三角形全等；
（3）有两边及第三边上的高对应相等的的两个三角形全等；
（4）有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等；
（5）有一个锐角与一条直角边相等的两个三角形全等；
（6）有两边相等的两三角形全等；
（7）有一条直角边和斜边上的高对应相等的两直角三角形全等；
（8）两条高相等的三角形必为等腰三角形；
（9）有一角为85°，且两腰长相等的两三角形全等；（若将角度换成91°呢？）
（10）周长为20，一边长为5的两等腰三角形全等；（若将腰长换成6呢？）
（二）考点聚集：
1、全等三角形的概念：
2、全等三角形的判定：
SAS公理； ASA公理； AAS公理； SSS公理； HL公理；
3、全等三角形的性质：
全等三角形的对应边、对应角、对应边上的高、中线、对应角的平分线相等；
4、证明两三角形全等的思路：
（1）若已知两边：找两边的夹角对应相等←———SAS
找第三边对应相等←———SSS
找直角←——— HL或SAS
（2）若已知一边一角 ：
（3）已知两角
（三）例题分析：
例1 如图1已知D、E是△ABC中BC上的两点，且AD=AE，请你添上一个条件
使△ABD≌△ACE
可添的条件为：BE=CD 或BD=CE（SAS）
AB=AC或∠B=∠C或∠BAE=∠CAD
或∠BAD=∠CAE（ASA）
图1
例2 如图2，AB=AD，BC=CD，AC与BD相交于点E，由这些条件，你能推出哪些结论？（不再添加辅助线，不再标字母，不写推理过程，只写出四个你认为正确的结论）
图2
例3如图，AB=AC， M、N是AB与AC上的两点，BN、CM相交于点O，连结AO，若∠B=∠C，
（1）请你写出图中成立 的一切结论；（2）若延长CM到E，延长BN到F，使ME=NF，连结EB、CF、AE、AF，图中又可以得到哪些结论？
例4 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，那么
∠ABC的大小是多少？
例5如图，D是AC上的一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2
（1）图中哪几个三角形与△FAD全等？证明你的结论；
（2）求证：
（四）课堂小结：
证明两三角形全等时，要用执果索因的方法和综合法等方法，寻找所缺的已知条件，同时灵活运用已知条件再证明问题。
（五）教学后记：要及时理清各种判别方法的思路以及完整的条件，帮助学生
正确的选择合适的判断方法。不断地补充适当的作业。
13.3.1角平分线的性质（1）
教学目标：
1、知识与技能
（1）能够证明角平分线的性质定理，判定定理。
（2）能够利用尺规作已知角的平分线。
（3）学会通过截长补短法证明相关问题。
2、过程与方法
（1） 通过学习活动进一步发展和提高学生推理证明意识和能力。
（2）经历探索、猜想、证明使学生掌握研究解决问题的方法。
3、情感态度与价值观
在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的交流和讨论，敢于发表自己的观点，尊重和理解他人见解，善于倾听、养成良好的学习品质。
重点难点：
重点：角平分线的性质定理，判定定理及其证明。
难点：角平分线性质定理，判定定理的证明。
创设情景、引发探究
如图，浑南新区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。
如果学习了今天的内容，就不难解决上面的问题。
探究新知，学习新课
1、 角平分线的尺规作图与依据探讨
（1）在∠AOB的两边A、OB上分别截取OD=OE；
（2）分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB内一点C；
（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线。
你知道这又是为什么吗？
[例1] 已知点C为直线AB上一点，如图所示，过C作直线MN，MN⊥AB
由C点在AB上可知∠ACB=180 ，要作MN⊥AB于C，
即是作∠MCA=90 .因此可以作出角∠ACB的平分线即可。
作法：（1）以C为圆心，以任意长为半径画弧交AB于D、E两点；
（2）分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径画弧交于点G；
（3）过C、G作直线MN，则MN⊥AB
方法总结
过直线上一点作这条直线的垂线，即是作平角的平分线。
2、 角平分线的性质与判定
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长。
（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可独立作为证明两条线段相等的依据，即不需再用老方法——全等三角形。
（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”。
性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E
求证：PD=PE
证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP
∠PDO=∠PEO=90°
∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS)
∴PD=PE (全等三角形的对应边相等)
判定：在一个角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上
证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,
∠ODP=∠OEP=90°
OP=OP, PD=PE
Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL)
方法总结
（1）有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题。
（2）有线段的和差关系时，常用截长法或补短法作辅助线，化和差关系为相等关系。
例2: 已知：如图，E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC⊥AC，B，C分别是垂足。你能得到哪些结论？为什么？
例3: 已知：如图所示：PA，PC分别是⊿ABC外角∠MAC与∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F
求证： 点P在∠MBN的平分线上
活动与探究:
已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD
求证：∠BAP+∠BCP=180°（2004.常州）
思路一：补全角平分线残缺图形法：过P作PE⊥BA于E。证明Rt⊿PEA≌Rt⊿PDC进而推得结论。
思路二：截长补短法：
（1）截长法：在BC上截取BF=BA，得⊿PDF≌⊿PDC进而推得结论⊿ABP≌⊿FBP
（2）补短法：延长BC到E，使DE=BD，连结PE。得⊿BDP≌⊿EDP进而推得结论⊿ABP≌⊿CEP
方法总结：（1）有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，在利用角平分线的判定或性质证题则问题往往迅速得解；（2）有线段的和差关系时，常用截长补短法作辅助线化和差关系为相等关系。
随堂练习
1、已知：如图所示， ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD。
证明：在AB上截取AE，使AE=AC，连接DE
∵
∴ ABC≌ ACD
∴CD=DE，∠AED=∠C
又∵∠AED=∠B+∠BDE， 2∠B=∠C
∴∠B=∠BDE ∴BE=DE
∴AB=AE+EB=AC+CD
2、已知，如图所示，在 ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBA=∠DBC
又AB=BC，BD=BD
∴ ABD≌ CBD
∴∠ADB=∠CDB
又PM⊥AD于M，PN⊥CD于N
∴PM=PN
归纳提练
1、角平分线的性质定理和判定定理和互为逆定理，在运用时，应注意分清条件和结论。
2、角平分线的尺规作图是一个基本作图，其作图根据是全等三角形的判定和性质。
探究活动
1、如图所示，在 ABC中，∠BAC=90 ，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求证：CE=BD。
2、如图所示 ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C。求证：AB+BD=CD。
变式2：如图所示 ABC中，AD⊥BC于D，AB+BD=CD。问：∠B与∠C有什么关系？。
教学后记：在指导学生画图时要用圆规直尺扮演， 叙述完定理以后加以说明，在例题中继续阐述观点，加以延伸。注意的地方是在运用定理的时候把握条件。
13.3.2 角平分线的性质（2）
教学目标：
1、知识与技能
（1）能够理解和证明三角形三条角平分线位置关系定理。
（2）通过例题使学生进一步理解和巩固证明的方法和要求。
2、过程与方法
（1）通过学习活动，进一步提高学生推理证明能力和推理证明的意识，培养抽象概括能力。
（2）通过学生交流合作、独立思考等活动，使学生进一步提高分析问题，解决问题的技巧。
3、情感态度与价值观
（1）在参与数学学习的活动中，培养合作交流的良好习惯。
（2）通过积极参与获取新知，从中渗透从特殊到一般的思想。
重点难点：
重点：（1）三角形三条角平分线位置关系定理及其证明；（2）综合运用。
难点：三角形三条角平分线位置关系定理的证明。
创设情景、引发探究
问题:在 ABC中， ∠A的平分线和∠B的平分线相交于点I，如图所示，I在∠C的平分线上吗？
由I是∠CAB和∠CBA的平分线的交点可知，点I既在∠CAB的平分线上，又在∠ABC的平分线上，又由角平分线的性质可知I到AB、BC、AC的距离相等，从而构造出全等三角形，推证∠ACI=∠BCI
过点I分别作AB、BC、CA的垂线，结合角平分线的性质，推证两个三角形全等。
三角形两个角的平分线的交点到三角形三边的距离相等，且该交点必在第三个角的平分线上。
1、角平分线的判定的应用
例1、如图所示，AB∥CD，∠B=90 ，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠DAB。
证明：过E作EF⊥AD于E
∵DE平分∠ADC，EC⊥DC，EF⊥FD
∴CE=EF
又CE=BF
∴EF=BE，而EF⊥AF，BE⊥AB
∴E在∠DAB的平分线上
即AE平分∠DAB
例2、还记得在全等三角形中证明的一个习题吗？如图所示，已知：在 ABC中，分别以AC、BC为边，向外作正 ACD、正 BCE，BD与AE相交于M，求证：AE=BD。
这是在全等三角形中一道常见的习题，你知道吗，在这个结论的基础上还能证明MC平分∠DME，你想试一试吗？
2、三角形的角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。
（1）该结论的证明提示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上。
（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及实际问题的作图题。
[例3]“角平分线上的点到角的两边距离相等，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”。如图所示：①若∠BAD=∠CAD，且BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，则BD=CD，②若BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，且BD=CD，则∠BAD=∠CAD试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？
思路导引
解此题时受思维定势的影响容易这样想：修建点到AB、BC、CA的距离相等，则该点就应是 ABC的三个内角的平分线的交点，其实在 ABC的外部也存在满足条件的点
解：如图所示，（1）作出 ABC两内角的平分线，其交点为P；
（2）分别作出 ABC 两外角平分线，其交点分别为D，E，F
故满足条件的修建点有四处，即P，D，E，F。
随堂练习
4、如图所示，有一个三角形花坛，为了能及时给花草喷水，要在花坛中央安上一旋转喷嘴儿到花坛三边的距离相等，请设计出喷水嘴儿的位置。
5、如图所示，在 ABC中，AB=7，BC=24，AC=25。
（1） ABC内是否存在一点P到各边的距离相等。如果有，请作这一点，并说明理由。
（2）求这个距离
解：（1）存在这样的点P为∠A、∠B的平分线的交点。
（2）这个距离为3
归纳提练
1、定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
2、这个定理在实际生活和生产中有十分广泛的应用。
3、这个定理证明的方法采用间接证法、证明的根据是角平分线的性质和判定定理。
作业： 作业本
教学后记：在讲解角平分线的性质时，要注意定理的延伸，延伸到多条角平分线的情况中，并且其他类型的题目不要忘了补充。在采用其他证明方法是，与之区别开来。
A/
C/
B/
B/
C/
A/
B/
C/
A/
D
C
B
A
A
B
C
D
A
B
C
D
A
D
B(C)
北
比例尺1：20000
E
B
A
P
D
C
N
1
2
M
教学目标：1、通过实例,经历全等图形概念的发生过程,了解全等图形的概念.
2、会用叠合法判定两个图形全等。
3、了解全等三角形的概念。
4、理解全等三角形的对应边相等，对应角相等。/
教学重点：1会看图，会找到三角形的对应边、对应角。
2、掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质。
教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。
教学方法：探索讨论、归纳总结。
教学工具：课件
准备活动：
教学过程：
(1) 课前复习三角形的有关知识：
一个三角形共有______个顶点,_________个角,_______条边.
(2) 已知△ABC,它的顶点是_________,它的角是______________, 它的边是____________
(3) 两个图形完全重合指的是它们的形状___________,大小___________.
(4) 完全重合的两条线段_________(填 “相等”或 “不相等”)
(5) 完全重合的两个角_________(填 “相等”或 “不相等”)
1、 实验活动
找出图画中全等的图形：（课件展示）
得到全等图形的概念形的概念
从而引出全等三角形的定义及性质
1．全等三角形的定义及有关概念和性质．
(1)定义：全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形．
(2)反例：举出不全等的三角形的例子，利用教师和学生手中的含30°角的三角板说明只满足形状相同的两个图形不是全等形，强调定义的条件．
教师提问：请同学们观察周围有没有能完全重合的两个平面图形？
学生在生活中找图形。
(3)对应元素及性质：教师结合手中的教具说明对应元素(顶点、边、角)的含义，并引导学生观察全等三角形中对应元素的关系，发现对应边相等，对应角相等．教师启发学生根据“重合”来说明道理．
2．学习全等三角形的符号表示及读法和写法．
解释“≌”的含义和读法，并强调对应顶点写在对应位置上．
举例说明：
如图，∵ △ABC≌DFE，(已知)
∴AB=DF，AC=DE，BC=FE，(全等三角形的对应边相等)
∠A=∠D，∠B=∠F，∠C=∠E．(全等三角形的对应角相等)
教师小结：在书写全等三角形时，如果将对应顶点写在对应位置上，那么，将两个三角形的顶点同时按1→2→3→1的顺序轮换，可写出所有对应边和对应角相等的式子，而不会找错，并节省观察图形的时间．
2、 总结寻找全等三角形对应元素的方法，渗透全等变换的思想
1、能够 的两个图形叫全等形；
2、两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做 ； 互相重合的边叫做 ；互相重合的角叫做 ；
3、全等三角形对应边 ，对应角 ；
4、记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在 ；例如△ABC≌ △DFE ，对应顶点分别是
；
5、两个三角形全等时，对应顶点所在的角是 ，对 应边所对的角是 ，对应角所对的边是 。
（机动）判断题:
①全等三角形的对应边相等,对应角相等.( )
②全等三角形的周长相等.( )
③面积相等的三角形是全等三角形.( )
④全等三角形的面积相等.( )
三、性质应用举例
1．性质的基本应用．
例1 已知：△ABC≌△DFE，∠A=96°，∠B=25°，DF=10cm．求∠E的度数及AB的长．
例2 如图，AD 平分∠BAC，AB=AC，△ABD与△ACD全等吗？BD与CD相等吗？∠B与∠C呢？请说明理由。
分析：略
小 结：
1．学生回忆这节课：在自己动手实际操作中，得到了全等三角形的哪些知识？
(1)全等三角形的定义、判断方法、性质．
(2)找全等三角形对应元素的方法．注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角等，但公共顶点不一定是对应顶点．
2．在运用全等三角形的定义和性质时应注意什么问题？
教师应强调全等三角形及性质的规范书写格式．
3．了解全等变换的思想，更好地识别全等三角形及对应元素．
作 业： 作业本1.4
教学后记：学生对全等三角形的全等还是理解得比较好的。而在找全等三角形的对应边、对应角的时候，简单的并且放的位置比较好时，才容易找到。而稍为旋转的图形中找起来就要花些时间。应用性质计算、证明有一些困难。
13.2.1全等三角形的判断（一）
教学目的：
1、掌握已知三边画三角形的方法
2、掌握边边边公理，会添加辅助线并选择四种判定方法证明两个三角形全等。
教学重点：掌握边边边公理，并灵活运用各种判定方法判定两三角形全等
教学难点：对证明三角形全等的方法的全面认识，会添加辅助线
教学过程：
1、 动态演示、发现公理 1、动态演示
如图，在△ABC与△A/B/C/中AB=A/B/，AC=A/C/，∠A=∠A/。问：△ABC与△A/B/C/全等？为什么？
问：去掉∠A=∠A/呢？（演示教具）
可见在旋转过程中，∠A/可大可小，
相应地，三角形的一些边、角条件也就
变化了，△ABC的形状不能确定。因式
两个条件是不能确定三角形。那么，观
察上述运动过程，保留AB=A/B/，AC=A/C/条件，∠A=∠A/的条件能否由其它边或角的条件代替，还能保持三角形的形状不变呢？
2、得到猜想：三边对应相等的两个三角形全等。
3、画图验证猜想，得出公理。
画△ABC，使AB=3㎝，BC=4㎝，AC=5㎝。请与同位两同学对比一下看两三角形全等？
4、公理：有三边对应相等垢两个三角形全等。
二、边边边公理的基本应用
例1 （1）演示水平仪的构造、用法、提出问题。
构造：两边相等的支架（AB=AC），点A处系一重锤，D是BC中点，如图（1）
E E
图（1） 图（2） 图（3）
用法：将BC边贴紧要测量的架MN。如果系重锤的线AE经过中点O，则BC即MN与地面呈水平状态，否则BC即MN与地面不呈水平状态，如图（2），为什么？
答：由于AE永远垂直于地面，而过过一点作已知直线的垂线只有一条，因此，原理关键在于BC与AD垂直。
（2）从以上过程提练得出一个数学问题。
（P 39 / 例1）如图（3）△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架。求证：AD⊥BC
分析：（1）证明两直线垂直或一个角是直角，可转化为证该角和它的邻补角相等，从而利用全等三角形的知识来解决（2）利用公共边AD=AD，因此△ABD与△ACD满足边边边公理，从而全等。
证明：略
例2（ P40 / 例2） 如图，已知：AB=DC，AD=BC。
（1）求证：∠A=∠C
（2）在你的证明过程中还能得出哪些结论？
分析：（1）研究四边形问题可通过添加辅助线，转化为研究三角形的问题。要证∠A=∠C
可通过连结两点，构造两个三角形，使条件和所需证明的结论与这个三角形有直接联系。经过比较，连结BC不会破坏∠A和∠C。
（2）要求探索尽可能多的结论。在证三角形全等时还内错角相等，可得平行。与P47/1一样。
证明：略
练习：
（1）以上例题，第一小题的“图形”“求证”不变，条件还可以改成哪些叙述方式？
答：①：AB∥DC，AB=DC； ②：AD∥BC，AD=BC；
③：AB∥DC，AD=BC； ④：AD∥BC，AB=DC。
（2）P 41 / 1
（3）如图，已知：AB=AD，BC=DC。
①求证：∠B=∠D。
②在你的证明过程中还能得出哪些结论？
（4）P 41 / 2
四、小结
1、 证明两个三角形全等共有几种方法？利用它们证明时需注意什么？
2、 应用边边边公理时，应注意公共边的作用，它常作为图形的隐含条件出现，有时还通过添加辅助线创造证明全等的条件。
五、教学后记：由于是第一次判断三角形的全等，比较陌生，但是还比较容易接受的，因此要乘胜追击，树立学生的积极性。主要在全等的条件上要强调具备完整。
13.2.2全等三角形的判断（二）
教学目的：
1、通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判断方法”的必要性。
2、比较熟练地掌握应用边角公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法，初步培养学生的逻辑推理能力。
3、掌握证明三角形全等问题的规范化写格式。
教学重点、难点：应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式
教学过程：
1、 实例演示，发现公理
2、
1、问：怎么样判断三角形全等？
答：利用定义证明完全重合。
2、问：如图 △ABC和△DEF中，AB=ED=3㎝，∠B=∠E=300，BC=EF=5㎝。则它们完全重合？即△ABC≌△DEF？
3、每次判断全等时，若都根据定义检查重合不便操作的，需要寻找更实用的判断方法-----用全等三角形的性质来判定。
4、由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角相等的两个三角形全等。
5、画图加以证明：
如图：△ABC是任意一个三角形，画△A/B/C/，使∠A/=∠A，A/B/=AB，A/C=/AC。
画法：（1）画∠M/A/N/=∠A
（2）在射线A/M，A/N上分别取A/B/=AB，A/C=/AC。
（3）连结B/C/，得△A/B/C/。
图（2）
可得两三角形完重从合。
二、提出公理
1、三角形全等判定公理1：有两边和它们的夹角相等的两个三角形全等。（SAS）
2、强调以下两点：
（1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等。
（2）使用时记号“SAS”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应点的字母顺序写在对应位置上。
3、板书定理证明应使用标准图开、文字及数学表达式，正确书写证明过程。
如图（2）：在△ABC与△A/B/C/中
∴△ABC≌△A/B/C/（SAS）
练习1 P 27 / 1
三、应用举例、变式练习
1、例1 已知：如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD。求证：△ABD≌△CBD。
分析：将已知条件与边角公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等BD=BD得到。
说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身掘隐含条件，如
公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等。
（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）图（3）
分析：△ABD≌△CBD。
因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与AB，CB夹两已知角的公共边BD。
练习2 如图（3），已知AB=CB，∠ABD=∠CBD。求证：AD=CD，BD平分∠ADC。
练习3 如图（3），已知AD=CB，BD平分∠ADC。求证：∠A=∠C。
分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有AD=CB，所缺的其余条件分别由公共边相等、角的平分线的定义得出。这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作。
∵BD平分∠ABC，（已知）
∴∠ABD=∠CBD（角平线的定义） ①（准备条件）
在△ABD和△CBD中 ②（指明范围）
③（列齐条件）
∴△ABD≌△CBD（SAS） ④（得出结论）
∴∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）
练习4 P 27 / 2
四、小结
1、证明两三角全等的条件可由六个减至几个？边角边公理是哪三个条件？
2、在遇到证明两三角形全等或证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题的思路是怎么样？
3、 证明两个三角形全等而边、角的直接条件不足时，可从哪些角度入手寻找非已知条
件？
五、教学后记： 学生的判断的基础上，注意引导在“SSS”的区别，加强对作业的检查，以免让学生在简单的问题上犯错误，尤其是在其他的判别方法上，引起混淆。
13.2.3全等三角形的判定（三）
一、教学目标：
1、了解全等三角形的概念和判定，能够准确地辩认全等三角形的对应元素
2、熟练掌握三角形全等的判定定理和性质，并会利用全等的知识证明角相等与线段相等；
二、教学重点：
全等三角形的判定定理的运用；
三、教学难点：
如何挖掘题目中的隐藏条件证明两三角形全等；
四、教学过程：
（一）速度测试：
1、判断题：
（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两三角形全等；
（2）有两边及其中一边上的中线对应相等的两三角形全等；
（3）有两边及第三边上的高对应相等的的两个三角形全等；
（4）有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等；
（5）有一个锐角与一条直角边相等的两个三角形全等；
（6）有两边相等的两三角形全等；
（7）有一条直角边和斜边上的高对应相等的两直角三角形全等；
（8）两条高相等的三角形必为等腰三角形；
（9）有一角为85°，且两腰长相等的两三角形全等；（若将角度换成91°呢？）
（10）周长为20，一边长为5的两等腰三角形全等；（若将腰长换成6呢？）
（二）考点聚集：
1、全等三角形的概念：
2、全等三角形的判定：
SAS公理； ASA公理； AAS公理； SSS公理； HL公理；
3、全等三角形的性质：
全等三角形的对应边、对应角、对应边上的高、中线、对应角的平分线相等；
4、证明两三角形全等的思路：
（1）若已知两边：找两边的夹角对应相等←———SAS
找第三边对应相等←———SSS
找直角←——— HL或SAS
（2）若已知一边一角 ：
（3）已知两角
（三）例题分析：
例1 如图1已知D、E是△ABC中BC上的两点，且AD=AE，请你添上一个条件
使△ABD≌△ACE
可添的条件为：BE=CD 或BD=CE（SAS）
AB=AC或∠B=∠C或∠BAE=∠CAD
或∠BAD=∠CAE（ASA）
图1
例2 如图2，AB=AD，BC=CD，AC与BD相交于点E，由这些条件，你能推出哪些结论？（不再添加辅助线，不再标字母，不写推理过程，只写出四个你认为正确的结论）
图2
例3如图，AB=AC， M、N是AB与AC上的两点，BN、CM相交于点O，连结AO，若∠B=∠C，
（1）请你写出图中成立 的一切结论；（2）若延长CM到E，延长BN到F，使ME=NF，连结EB、CF、AE、AF，图中又可以得到哪些结论？
例4 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，那么
∠ABC的大小是多少？
例5如图，D是AC上的一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2
（1）图中哪几个三角形与△FAD全等？证明你的结论；
（2）求证：
（四）课堂小结：
证明两三角形全等时，要用执果索因的方法和综合法等方法，寻找所缺的已知条件，同时灵活运用已知条件再证明问题。
（五）教学后记：要及时理清各种判别方法的思路以及完整的条件，帮助学生
正确的选择合适的判断方法。不断地补充适当的作业。
13.3.1角平分线的性质（1）
教学目标：
1、知识与技能
（1）能够证明角平分线的性质定理，判定定理。
（2）能够利用尺规作已知角的平分线。
（3）学会通过截长补短法证明相关问题。
2、过程与方法
（1） 通过学习活动进一步发展和提高学生推理证明意识和能力。
（2）经历探索、猜想、证明使学生掌握研究解决问题的方法。
3、情感态度与价值观
在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的交流和讨论，敢于发表自己的观点，尊重和理解他人见解，善于倾听、养成良好的学习品质。
重点难点：
重点：角平分线的性质定理，判定定理及其证明。
难点：角平分线性质定理，判定定理的证明。
创设情景、引发探究
如图，浑南新区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。
如果学习了今天的内容，就不难解决上面的问题。
探究新知，学习新课
1、 角平分线的尺规作图与依据探讨
（1）在∠AOB的两边A、OB上分别截取OD=OE；
（2）分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB内一点C；
（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线。
你知道这又是为什么吗？
[例1] 已知点C为直线AB上一点，如图所示，过C作直线MN，MN⊥AB
由C点在AB上可知∠ACB=180 ，要作MN⊥AB于C，
即是作∠MCA=90 .因此可以作出角∠ACB的平分线即可。
作法：（1）以C为圆心，以任意长为半径画弧交AB于D、E两点；
（2）分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径画弧交于点G；
（3）过C、G作直线MN，则MN⊥AB
方法总结
过直线上一点作这条直线的垂线，即是作平角的平分线。
2、 角平分线的性质与判定
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长。
（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可独立作为证明两条线段相等的依据，即不需再用老方法——全等三角形。
（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”。
性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E
求证：PD=PE
证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP
∠PDO=∠PEO=90°
∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS)
∴PD=PE (全等三角形的对应边相等)
判定：在一个角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上
证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,
∠ODP=∠OEP=90°
OP=OP, PD=PE
Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL)
方法总结
（1）有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题。
（2）有线段的和差关系时，常用截长法或补短法作辅助线，化和差关系为相等关系。
例2: 已知：如图，E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC⊥AC，B，C分别是垂足。你能得到哪些结论？为什么？
例3: 已知：如图所示：PA，PC分别是⊿ABC外角∠MAC与∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F
求证： 点P在∠MBN的平分线上
活动与探究:
已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD
求证：∠BAP+∠BCP=180°（2004.常州）
思路一：补全角平分线残缺图形法：过P作PE⊥BA于E。证明Rt⊿PEA≌Rt⊿PDC进而推得结论。
思路二：截长补短法：
（1）截长法：在BC上截取BF=BA，得⊿PDF≌⊿PDC进而推得结论⊿ABP≌⊿FBP
（2）补短法：延长BC到E，使DE=BD，连结PE。得⊿BDP≌⊿EDP进而推得结论⊿ABP≌⊿CEP
方法总结：（1）有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，在利用角平分线的判定或性质证题则问题往往迅速得解；（2）有线段的和差关系时，常用截长补短法作辅助线化和差关系为相等关系。
随堂练习
1、已知：如图所示， ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD。
证明：在AB上截取AE，使AE=AC，连接DE
∵
∴ ABC≌ ACD
∴CD=DE，∠AED=∠C
又∵∠AED=∠B+∠BDE， 2∠B=∠C
∴∠B=∠BDE ∴BE=DE
∴AB=AE+EB=AC+CD
2、已知，如图所示，在 ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBA=∠DBC
又AB=BC，BD=BD
∴ ABD≌ CBD
∴∠ADB=∠CDB
又PM⊥AD于M，PN⊥CD于N
∴PM=PN
归纳提练
1、角平分线的性质定理和判定定理和互为逆定理，在运用时，应注意分清条件和结论。
2、角平分线的尺规作图是一个基本作图，其作图根据是全等三角形的判定和性质。
探究活动
1、如图所示，在 ABC中，∠BAC=90 ，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求证：CE=BD。
2、如图所示 ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C。求证：AB+BD=CD。
变式2：如图所示 ABC中，AD⊥BC于D，AB+BD=CD。问：∠B与∠C有什么关系？。
教学后记：在指导学生画图时要用圆规直尺扮演， 叙述完定理以后加以说明，在例题中继续阐述观点，加以延伸。注意的地方是在运用定理的时候把握条件。
13.3.2 角平分线的性质（2）
教学目标：
1、知识与技能
（1）能够理解和证明三角形三条角平分线位置关系定理。
（2）通过例题使学生进一步理解和巩固证明的方法和要求。
2、过程与方法
（1）通过学习活动，进一步提高学生推理证明能力和推理证明的意识，培养抽象概括能力。
（2）通过学生交流合作、独立思考等活动，使学生进一步提高分析问题，解决问题的技巧。
3、情感态度与价值观
（1）在参与数学学习的活动中，培养合作交流的良好习惯。
（2）通过积极参与获取新知，从中渗透从特殊到一般的思想。
重点难点：
重点：（1）三角形三条角平分线位置关系定理及其证明；（2）综合运用。
难点：三角形三条角平分线位置关系定理的证明。
创设情景、引发探究
问题:在 ABC中， ∠A的平分线和∠B的平分线相交于点I，如图所示，I在∠C的平分线上吗？
由I是∠CAB和∠CBA的平分线的交点可知，点I既在∠CAB的平分线上，又在∠ABC的平分线上，又由角平分线的性质可知I到AB、BC、AC的距离相等，从而构造出全等三角形，推证∠ACI=∠BCI
过点I分别作AB、BC、CA的垂线，结合角平分线的性质，推证两个三角形全等。
三角形两个角的平分线的交点到三角形三边的距离相等，且该交点必在第三个角的平分线上。
1、角平分线的判定的应用
例1、如图所示，AB∥CD，∠B=90 ，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠DAB。
证明：过E作EF⊥AD于E
∵DE平分∠ADC，EC⊥DC，EF⊥FD
∴CE=EF
又CE=BF
∴EF=BE，而EF⊥AF，BE⊥AB
∴E在∠DAB的平分线上
即AE平分∠DAB
例2、还记得在全等三角形中证明的一个习题吗？如图所示，已知：在 ABC中，分别以AC、BC为边，向外作正 ACD、正 BCE，BD与AE相交于M，求证：AE=BD。
这是在全等三角形中一道常见的习题，你知道吗，在这个结论的基础上还能证明MC平分∠DME，你想试一试吗？
2、三角形的角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。
（1）该结论的证明提示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上。
（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及实际问题的作图题。
[例3]“角平分线上的点到角的两边距离相等，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”。如图所示：①若∠BAD=∠CAD，且BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，则BD=CD，②若BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，且BD=CD，则∠BAD=∠CAD试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？
思路导引
解此题时受思维定势的影响容易这样想：修建点到AB、BC、CA的距离相等，则该点就应是 ABC的三个内角的平分线的交点，其实在 ABC的外部也存在满足条件的点
解：如图所示，（1）作出 ABC两内角的平分线，其交点为P；
（2）分别作出 ABC 两外角平分线，其交点分别为D，E，F
故满足条件的修建点有四处，即P，D，E，F。
随堂练习
4、如图所示，有一个三角形花坛，为了能及时给花草喷水，要在花坛中央安上一旋转喷嘴儿到花坛三边的距离相等，请设计出喷水嘴儿的位置。
5、如图所示，在 ABC中，AB=7，BC=24，AC=25。
（1） ABC内是否存在一点P到各边的距离相等。如果有，请作这一点，并说明理由。
（2）求这个距离
解：（1）存在这样的点P为∠A、∠B的平分线的交点。
（2）这个距离为3
归纳提练
1、定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
2、这个定理在实际生活和生产中有十分广泛的应用。
3、这个定理证明的方法采用间接证法、证明的根据是角平分线的性质和判定定理。
作业： 作业本
教学后记：在讲解角平分线的性质时，要注意定理的延伸，延伸到多条角平分线的情况中，并且其他类型的题目不要忘了补充。在采用其他证明方法是，与之区别开来。
A/
C/
B/
B/
C/
A/
B/
C/
A/
D
C
B
A
A
B
C
D
A
B
C
D
A
D
B(C)
北
比例尺1：20000
E
B
A
P
D
C
N
1
2
M