椭圆方程试卷（含答案）
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椭圆方程测试(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2.已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
4．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
5．已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是( )
A. B.2
C.2 D.
6．椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A. B.
C. D.
7．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.
C. D.
8．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．椭圆＋＝1的焦距为4，则m的值可能是( )
A．12 B．10
C．6 D．4
10．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值可能是( )
A．－4 B．4
C．－ D.
11.已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，给出下列说法中正确的说法是( )
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1上存在点P，使得PF1＝3PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为( )
A． B．
C．3－6 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．
14．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
15．椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.
16．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
求符合下列条件的椭圆的标准方程。
(1)过点和；
(2)过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同的焦点。
18．(本小题满分12分)
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)过点P(－3，2)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点；
(3)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点P到两焦点的距离分别为5，3，过点P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．
19．(本小题满分12分)
如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
20．(本小题满分12分)
设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
21.(本小题满分12分)
已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.
22．(本小题满分12分)
设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求椭圆C的方程．
参考答案
1解析：选B由题意可得＝，2a＝6，解得a＝3，c＝1，则b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
2解析 选D 由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＋＝1.
3解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
4解：选D 设＝2c，则＝c，∴＝c.∴2a＝＋＝2c，故e＝＝.
5解析：选A 由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F为直角，所以S△PF1F2＝|F1F2||PF2|＝×2×1＝.
6解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，eq \f(by－by,ax－ax)＝－1，＝－1，∴×(－1)×＝－1，∴＝.
7解析：选C 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|
＝·＝·
＝·，当t＝0时，|AB|max＝.
8解析：选A 设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，
则D，又B，D，M三点共线，所以＝，所以a＝3c，所以e＝.
9解析：选AD 因为椭圆的焦距为2c＝4，则c＝2，当焦点在x轴上时，有m＝8＋22＝12；当焦点在y轴上时，有8＝m＋22，解得m＝4。故m的值可能为4或12。
10解析：选BC ①当焦点在x轴上，即当k＋8>9，即k>1时，由椭圆的标准方程得a＝，b＝3，则c＝＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝，解得k＝4。②当焦点在y轴上，即当011解析 选AC.当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误．
12解析：选BCD.设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义可得，解得PF1＝，PF2＝，由题意可得，解得≥，又0<<1，所以≤<1，所以，该椭圆离心率的取值范围是.
13解析： 将椭圆方程化为＋＝1，因为焦点在y轴上，则>2，即k<1，又k>0，所以0答案：(0,1)
14解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，:则∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，又∵S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.
答案 3
15解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
则m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).
答案：(－3，0)或(3，0)
16解析：椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，所以|AF1|＝，|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
答案：6＋ 6－
17解析：(1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)。
因为椭圆过点和，所以解得
所以所求椭圆的标准方程为x2＋＝1。
(2)由题意得已知椭圆＋＝1中a＝3，b＝2，且焦点在x轴上，所以c2＝9－4＝5。所以设所求椭圆方程为＋＝1。因为点(－3,2)在所求椭圆上，所以＋＝1。所以a′2＝15或a′2＝3(舍去)。所以所求椭圆的标准方程为＋＝1。
18解析：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵2a＝10，2c＝6，即a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵所求的椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，∴其焦点在x轴上，且c2＝5.设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵所求椭圆过点P(－3，2)，∴有＋＝1.又a2－b2＝c2＝5，∴联立上述两式，解得∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，由已知条件得解得a＝4，c＝2，∴b2＝12.故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
19解析：在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2.∴c＝＝1.
又∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2.①由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.② ①式两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20.③③－②得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16.∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin 30°＝8－4.
20解析：(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l的倾斜角为60°，知y1<0，y2>0，直线l的方程为y＝(x－2)．由eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\al\co1(y＝ x－2 ，,＋＝1))消去x，整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.解得y1＝eq \f(－b2 2＋2a ,3a2＋b2)，y2＝eq \f(－b2 2－2a ,3a2＋b2).因为＝2，所以－y1＝2y2，即eq \f(b2 2＋2a ,3a2＋b2)＝2·eq \f(－b2 2－2a ,3a2＋b2)，解得a＝3.而a2－b2＝4，所以b2＝5.故椭圆C的方程为＋＝1.
21解析：(1)由已知得解得故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0).由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，即D.因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2.此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.
22【解】 (1)根据c＝及题设知M由kMN＝，得＝，则2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4.于是b2＝4a. ①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1. ②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，
因此椭圆C的方程为＋＝1.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2.已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
4．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
5．已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是( )
A. B.2
C.2 D.
6．椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A. B.
C. D.
7．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.
C. D.
8．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．椭圆＋＝1的焦距为4，则m的值可能是( )
A．12 B．10
C．6 D．4
10．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值可能是( )
A．－4 B．4
C．－ D.
11.已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，给出下列说法中正确的说法是( )
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1上存在点P，使得PF1＝3PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为( )
A． B．
C．3－6 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．
14．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
15．椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.
16．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
求符合下列条件的椭圆的标准方程。
(1)过点和；
(2)过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同的焦点。
18．(本小题满分12分)
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)过点P(－3，2)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点；
(3)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点P到两焦点的距离分别为5，3，过点P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．
19．(本小题满分12分)
如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
20．(本小题满分12分)
设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
21.(本小题满分12分)
已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.
22．(本小题满分12分)
设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求椭圆C的方程．
参考答案
1解析：选B由题意可得＝，2a＝6，解得a＝3，c＝1，则b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
2解析 选D 由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＋＝1.
3解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
4解：选D 设＝2c，则＝c，∴＝c.∴2a＝＋＝2c，故e＝＝.
5解析：选A 由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F为直角，所以S△PF1F2＝|F1F2||PF2|＝×2×1＝.
6解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，eq \f(by－by,ax－ax)＝－1，＝－1，∴×(－1)×＝－1，∴＝.
7解析：选C 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|
＝·＝·
＝·，当t＝0时，|AB|max＝.
8解析：选A 设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，
则D，又B，D，M三点共线，所以＝，所以a＝3c，所以e＝.
9解析：选AD 因为椭圆的焦距为2c＝4，则c＝2，当焦点在x轴上时，有m＝8＋22＝12；当焦点在y轴上时，有8＝m＋22，解得m＝4。故m的值可能为4或12。
10解析：选BC ①当焦点在x轴上，即当k＋8>9，即k>1时，由椭圆的标准方程得a＝，b＝3，则c＝＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝，解得k＝4。②当焦点在y轴上，即当0
12解析：选BCD.设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义可得，解得PF1＝，PF2＝，由题意可得，解得≥，又0<<1，所以≤<1，所以，该椭圆离心率的取值范围是.
13解析： 将椭圆方程化为＋＝1，因为焦点在y轴上，则>2，即k<1，又k>0，所以0
14解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，:则∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，又∵S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.
答案 3
15解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
则m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).
答案：(－3，0)或(3，0)
16解析：椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，所以|AF1|＝，|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
答案：6＋ 6－
17解析：(1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)。
因为椭圆过点和，所以解得
所以所求椭圆的标准方程为x2＋＝1。
(2)由题意得已知椭圆＋＝1中a＝3，b＝2，且焦点在x轴上，所以c2＝9－4＝5。所以设所求椭圆方程为＋＝1。因为点(－3,2)在所求椭圆上，所以＋＝1。所以a′2＝15或a′2＝3(舍去)。所以所求椭圆的标准方程为＋＝1。
18解析：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵2a＝10，2c＝6，即a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵所求的椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，∴其焦点在x轴上，且c2＝5.设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵所求椭圆过点P(－3，2)，∴有＋＝1.又a2－b2＝c2＝5，∴联立上述两式，解得∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，由已知条件得解得a＝4，c＝2，∴b2＝12.故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
19解析：在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2.∴c＝＝1.
又∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2.①由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.② ①式两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20.③③－②得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16.∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin 30°＝8－4.
20解析：(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l的倾斜角为60°，知y1<0，y2>0，直线l的方程为y＝(x－2)．由eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\al\co1(y＝ x－2 ，,＋＝1))消去x，整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.解得y1＝eq \f(－b2 2＋2a ,3a2＋b2)，y2＝eq \f(－b2 2－2a ,3a2＋b2).因为＝2，所以－y1＝2y2，即eq \f(b2 2＋2a ,3a2＋b2)＝2·eq \f(－b2 2－2a ,3a2＋b2)，解得a＝3.而a2－b2＝4，所以b2＝5.故椭圆C的方程为＋＝1.
21解析：(1)由已知得解得故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0).由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，即D.因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2.此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.
22【解】 (1)根据c＝及题设知M由kMN＝，得＝，则2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4.于是b2＝4a. ①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1. ②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，
因此椭圆C的方程为＋＝1.