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3.1 椭圆
第三章 圆锥曲线的方程
3.1.1 椭圆及其标准方程
学习目标:
1. 掌握椭圆的定义、标准方程;
2. 通过对椭圆标准方程的推导,进一步体会数形结合的思想.
教学重点:
椭圆的标准方程,坐标法的基本思想.
教学难点:
椭圆标准方程的推导与化简.
思考
取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点(如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?
在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?
把细绳的两端拉开一段距离,笔尖移动的过程中,细绳的长度保持不变,即笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
椭圆定义:把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.
由椭圆的定义可知,上述移动的笔尖(动点)画出的轨迹是椭圆.
椭圆具有对称性,而且过两个焦点的直线是它的对称轴,所以我们以经过椭圆两焦点的直线为x轴,线段的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
思考
观察下图,找出表示的线段.
由图可知,. 令,那么方程⑤就是 .⑥
由于方程②③的两边都是非负实数,因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形.这样,椭圆上任意一点的坐标都满足方程⑥;反之,以方程⑥的解为坐标的点与椭圆的两个焦点的距离之和为2a,即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.我们称方程⑥是椭圆的方程,这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示焦点在x轴上,两个焦点分别是的椭圆,这里 .
思考
如图,如果焦点 在 y 轴上,且 的坐标分别为 ,的意义同上,那么椭圆的方程是什么?
焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是
解析几何中求点的轨迹方程常用的方法:寻求点 M 的坐标中与 之间的关系,然后消去 ,得到点M的轨迹方程.
练一练
B
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练一练
课堂小结
——你学到了那些新知识呢?
1. 椭圆的定义;
2. 椭圆的标准方程.