2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册学案：2.1.1倾斜角与斜率（含 解析）

第二章 直线和圆的方程
2.1.1 倾斜角与斜率
学案
一、学习目标
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程.
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
二、基础梳理
1. 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2. 直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的坐标有如下关系：.
3. 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.
4. 如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），那么其斜率公式为.
5. 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.
三、巩固练习
1.直线的倾斜角是( )
A． B． C． D．
2.若两直线的倾斜角分别为，则下列四个命题中正确的是( )
A.若，则两直线的斜率：
B.若，则两直线的斜率：
C.若两直线的斜率：，则
D.若两直线的斜率：，则
3.过点，的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
4.已知直线过点，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
5.直线l经过两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A． B.
C. D.
6.已知直线过，两点，则直线的倾斜角的取值范围是 _ __.
7.若直线的一个方向向量为，则直线的斜率________.
8.若直线的方程为：，则其倾斜角为_____.
9.已知直线经过两点，，当取何值时，满足：
(1)直线与轴平行
(2)直线与轴平行
(3)直线的斜率为.
(4)直线的倾斜角为
(5)直线的倾斜角为钝角
10.已知坐标平面内三点，，
(1)求直线的斜率和倾斜角；
(2) 若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：直线的斜率为，该直线的倾斜角是
2.答案：D
解析：选项A中，因为当倾斜角为90度，则可知斜率不存在.故A错误.
选项B中，如果两个倾斜角中有一个为90度，也不能满足斜率相等，故B错误.
选项C中，利用斜率的大小关系，进而得到倾斜角的不等关系，当k<0时，倾斜角为钝角，k>0，倾斜角为锐角，那么命题不成立.故C错误.
选项D中，只要斜率相等，则必有倾斜角相等.故选项D成立，答案为D.
3.答案：A
解析：由题意得，且，解得.
4.答案：C
解析：因为直线过点，所以由过两点的直线斜率的计算公式，得直线的斜率.
5.答案：B
解析：设直线l的倾斜角为.又，
∴，当且仅当时取等号.
∴.故选：B.
6.答案：或
解析：易知直线的斜率存在，设直线的倾斜角为，则，当且仅当，即时，等号成立，又，所以或.
7.答案：-2
解析：根据题意，知直线的斜率.
8.答案：
解析：直线的方程为：，设其倾斜角为，.
则，解得.
9. 解析：(1)若直线与轴平行，则直线的斜率，.
(2)若直线与轴平行，则直线的斜率不存在， ，
(3)当直线的斜率存在时，.则，，.
(4)由题意，可知直线的斜率，即，解得.
(5)由题意，可知直线的斜率，即解得或.
10. 解析：(1)由斜率公式，得，，，
所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.
(2)如图，当直线由逆时针转到时，直线与线段恒有交点，即在线段上，此时上由增大到，所以的取值范围为.
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