2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册学案：2.3.2两点间的距离公式（有答案）

第二章 直线和圆的方程
2.3.2两点间的距离公式
学案
一、学习目标
1.掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程.
2.通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性.
二、基础梳理
1.两点间的距离公式：由点，，得.
于是.
由此得到，两点间的距离公式.
特别地，原点与任一点间的距离.
2.利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤为：
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
三、巩固练习
1.已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则的长为( )
A.10 B.5 C.8 D.6
2.已知平面上两点，，则的最小值为( )
A.3 B. C.2 D.
3.已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是( )
A. B. C. D.
4.以，，三点为顶点的三角形是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.光线从点射到轴上，经反射以后经过点，则光线从到经过的路程为( )
A. B. C. D.
6.已知，两点间的距离为5，则的值为__________.
7.已知直线和点，过点作直线与直线相交于点，且，则点的坐标为__________，直线的方程为______________.
8.已知函数的图象与轴交于点，函数的图象与轴交于点，点在直线上移动，点，则的最小值为__________________.
9.如图，和是在直线同侧的两个等边三角形.试用坐标法证明：.
10.在平面直角坐标系中，已知点和.
(1)若是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程.
(2)若是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及正方形的另外两个顶点的坐标.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设，，则，，即，，
所以.
2.答案：D
解析：，当且仅当时等号成立，，.
3.答案：D
解析：由中点坐标公式得出，所以，由两点间距离公式得到原点(0，0)的距离为，故选D.
4.答案：B
解析：根据两点间的距离公式，得，
，，∴.
又，∴为等腰三角形.
5.答案：C
解析：点关于轴的对称点为，则光线从到经过的路程为的长度，即.
6.答案：或
解析：由题意得解得或.
7.答案：或；或
解析：点在直线上，设.
，，
整理得，解得或5.
点的坐标为或.
直线的方程为或.
8.答案：
解析：易知，，所以直线.又，设，则，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
9.答案：如图，以点为坐标原点，取所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
设和的边长分别为和，
则，，，，
由距离公式，得，
，所以.
10.答案：(1)因为，
所以，直线的方程为，
设这个正方形过顶点的另一条边所在的直线为，
所以直线的斜率，直线的方程为，
整理得所求两条直线的方程为和.
(2)因为直线的方程为，
所以另外一条对角线所在直线的斜率为，
设的中点为，则，
易知另外一条对角线过点，
所以，整理得.
设正方形的另外两个顶点坐标分别为，，
因为在直线上，所以，①
且，所以，②
由①②，得或，即正方形的另外两个顶点分别为，.
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