2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：2.1.1倾斜角与斜率
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：2.1.1倾斜角与斜率 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 445.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-20 09:06:51 | ||
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文档简介
第二章 直线和圆的方程
2.1.1 倾斜角与斜率
教学设计
一、教学目标
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程.
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
二、教学重难点
1、教学重点
斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式.
2、教学难点
直线的斜率与它的倾斜角之间的关系.
三、教学过程
1、新课导入
我们知道，点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来.
2、探索新知
我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量，所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线，在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们组成一个直线束如图，这些直线的区别是什么？
在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向.因此，这些直线的区别是它们的方向不同.如何表示这些直线的方向？
我们看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同.因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.图中直线l1的倾斜角α1为锐角，直线l'的倾斜角α'为钝角，当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法.
设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2）是直线l上的两点.由两点确定一条直线可知，直线l由点P1，P2唯一确定.所以，可以推断，直线l的倾斜角一定与P1，P2两点的坐标有内在联系.
直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的坐标有如下关系：.①
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.②
倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.例如，倾斜角α=30°时，这条直线的斜率；倾斜角α=120°时，这条直线的斜率
.
由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向.
如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），那么由①②可得如下的斜率公式：.
我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度.
我们知道，直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为.
当直线P1P2与x轴不垂直时，x1≠x2.此时向量也是直线P1P2的方向向量，且它的坐标为，即.其中k是直线P1P2的斜率.因此，若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.
3、课堂练习
1.直线的倾斜角是( )
A． B． C． D．
答案：C
解析：直线的斜率为，该直线的倾斜角是.
2.已知直线的斜率为将直线绕点顺时针旋转，所得的直线的斜率是( )
A.0 B. C. D.
答案：C
解析：由题意，知直线的倾斜角为，直线绕点顺时针旋转，所得直线的倾斜角为，所以斜率为.
3.已知直线经过两点，则直线的倾斜角的取值范围是_______.
答案：或
解析：易知直线的斜率存在，设直线的倾斜角为，则
，当且仅当，即时，等号成立，又，所以或.
4.已知直线经过两点，，当取何值时：
(1)直线的斜率为.
(2)直线的倾斜角为
(3)直线的倾斜角为钝角
解析：(1)当直线的斜率存在时，.
则，，.
(2)由题意，可知直线的斜率，即，解得.
(3)由题意，可知直线的斜率，即解得或.
4、小结作业
小结：本节课学习了直线的倾斜角和斜率的概念及其关系.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
2.1.1 倾斜角与斜率
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.取值范围为0°≤α<180°.
直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的坐标有如下关系：.①
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.②
如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），那么由①②可得如下的斜率公式：.
2
2.1.1 倾斜角与斜率
教学设计
一、教学目标
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程.
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
二、教学重难点
1、教学重点
斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式.
2、教学难点
直线的斜率与它的倾斜角之间的关系.
三、教学过程
1、新课导入
我们知道，点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来.
2、探索新知
我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量，所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线，在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们组成一个直线束如图，这些直线的区别是什么？
在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向.因此，这些直线的区别是它们的方向不同.如何表示这些直线的方向？
我们看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同.因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.图中直线l1的倾斜角α1为锐角，直线l'的倾斜角α'为钝角，当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法.
设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2）是直线l上的两点.由两点确定一条直线可知，直线l由点P1，P2唯一确定.所以，可以推断，直线l的倾斜角一定与P1，P2两点的坐标有内在联系.
直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的坐标有如下关系：.①
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.②
倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.例如，倾斜角α=30°时，这条直线的斜率；倾斜角α=120°时，这条直线的斜率
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由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向.
如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），那么由①②可得如下的斜率公式：.
我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度.
我们知道，直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为.
当直线P1P2与x轴不垂直时，x1≠x2.此时向量也是直线P1P2的方向向量，且它的坐标为，即.其中k是直线P1P2的斜率.因此，若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.
3、课堂练习
1.直线的倾斜角是( )
A． B． C． D．
答案：C
解析：直线的斜率为，该直线的倾斜角是.
2.已知直线的斜率为将直线绕点顺时针旋转，所得的直线的斜率是( )
A.0 B. C. D.
答案：C
解析：由题意，知直线的倾斜角为，直线绕点顺时针旋转，所得直线的倾斜角为，所以斜率为.
3.已知直线经过两点，则直线的倾斜角的取值范围是_______.
答案：或
解析：易知直线的斜率存在，设直线的倾斜角为，则
，当且仅当，即时，等号成立，又，所以或.
4.已知直线经过两点，，当取何值时：
(1)直线的斜率为.
(2)直线的倾斜角为
(3)直线的倾斜角为钝角
解析：(1)当直线的斜率存在时，.
则，，.
(2)由题意，可知直线的斜率，即，解得.
(3)由题意，可知直线的斜率，即解得或.
4、小结作业
小结：本节课学习了直线的倾斜角和斜率的概念及其关系.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
2.1.1 倾斜角与斜率
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.取值范围为0°≤α<180°.
直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的坐标有如下关系：.①
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.②
如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），那么由①②可得如下的斜率公式：.
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