2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：2.1.2两条直线平行和垂直的判定

第二章 直线和圆的方程
2.1.2两条直线平行和垂直的判定
教学设计
一、教学目标
1.能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直.
2.理解两条直线平行或垂直的判断条件.
二、教学重难点
1、教学重点
根据斜率判断两条直线平行或垂直.
2、教学难点
根据斜率判断两条直线两条直线相互垂直.
三、教学过程
1、新课导入
为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题、下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系.
2、探索新知
我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行.当两条直线与直线平行时，它们的斜率与满足什么关系？
如图，若，则与的倾斜角与相等，由，可得，即.因此，若，则.
反之，当时，，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，，因此.
于是，对于斜率分别为，的两条直线，有
显然，当时，直线的斜率不存在，此时.
若直线，重合，此时仍然有.用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论.
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形.当直线，垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
设两条直线，的斜率分别为，，则直线，的方向向量分别是，，于是，即.
也就是说，.
当直线或的倾斜角为90°时，若，则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然.
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直即.
3、课堂练习
1.下列说法中正确的有( )
①若两条直线斜率相等，则两直线平行；
②若，则；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：A
解析：若两条直线斜率相等，则两直线平行或重合，①错误；若，则或两直线的斜率都不存在，②错误；易知③正确；若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行或重合，④错误.故选A.
2.已知直线的倾斜角为30°，且直线，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题意可得直线的斜率为.由直线，得直线的斜率为.
3.已知直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则_______；若，则______.
答案：2；
解析：若，则，即，；
若，则，，.
4.已知两条直线的斜率分别为和，若这两条直线互相平行，则实数的最大值为_____.
解析：因为两条直线互相平行，所以，所以，当且仅当时取等号，故实数的最大值为.
4、小结作业
小结：本节课学习了根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
2.1.2两条直线平行和垂直的判定
一、两条直线平行的判定
斜率分别为，的两条直线，有
二、两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直即.
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