2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：2.2.1直线的点斜式方程

第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
教学设计
一、教学目标
1. 掌握直线方程的点斜式与斜截式方程；
2. 了解斜截式方程与一次函数的关系.
二、教学重难点
1. 教学重点
直线的点斜式方程.
2. 教学难点
直线的点斜式、斜截式方程的应用.
三、教学过程
（一）新课导入
问题1 怎样确定一条直线？
（要求学生自主思考，举手回答，教师总结）
除了两点确定一条直线，给定一点和一个方向也可以唯一确定一条直线. 这样，在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率k（或倾斜角），就能唯一确定一条直线. 也就是说，这条直线上任意一点的坐标(x，y)与点的坐标和斜率k之间的关系是完全确定的. 那么，这一关系如何表示呢？下面我们来研究这个问题.
（二）探索新知
如下图，直线l经过点，且斜率为k. 设是直线l上不同于点的任意一点，因为直线l的斜率为k，由斜率公式得，即.
由上述推导过程可知：
（1）直线l上每一个点的坐标(x，y)都满足关系式；
（2）反过来，坐标满足关系式的每一个点都在直线l上.
验证（2）：事实上，若点的横纵坐标满足关系式，则.
当时，，这时点与重合，显然有点在直线l上；
当时，有，这表明过点，的直线的斜率为k. 因为直线l，的斜率都为k，且都过点，所以它们重合. 所以，点在直线l上.
由（1）（2）可得：坐标满足关系式的点一定在直线l上；直线l上任意一点的坐标一定满足关系式. 我们把方程称为过点，斜率为k的直线l的方程.
定义：方程由直线上一个定点及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
问题2 （1）当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是什么？为什么？
（2）当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程如何表示？为什么？
（要求学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师引导、总结）
如下图，当直线l的倾斜角为0°时，，即，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是，即.
如下图，当直线l的倾斜角为90°时，由于无意义，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示. 又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，即.
例1 直线l经过点，且倾斜角，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.
解：直线l经过点，斜率，代入点斜式方程得.
画图时，只需再找出直线l上的另一点，例如，取，则，得点的坐标为，过，两点的直线即为所求，如下图所示.
如果斜率为k的直线l过点，这时是直线l与y轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即.
我们把直线l与y轴的交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 这样，方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 其中，k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.
例2 已知直线，试讨论：（1）的条件是什么？（2）的条件是什么？
解：（1）若，则，此时与y轴的交点不同，即；反之，若，且，则.
（2）若，则；反之，若，则.
由例2得到，对于直线，
，且；
.
（三）课堂练习
1.已知直线的方程为，则( )
A.该直线过点，斜率为 B.该直线过点，斜率为1
C.该直线过点，斜率为 D.该直线过点，斜率为1
答案：C
解析：直线的方程可化为点斜式，故直线过点，斜率为.故选C.
2.经过点，倾斜角为的直线方程是( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：，由点斜式可知直线方程为.故选C.
3.已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为直线的斜率为2，所以直线的斜率为.又直线过点，故所求直线的方程为，故选B.
4.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且过点，则直线的方程为________________.
答案：
解析：直线的倾斜角是45°，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，直线的倾斜角是90°.又直线过点，直线的方程为.
5.已知点和直线.
（1）求过点且与直线平行的直线的点斜式方程；
（2）求过点且与直线垂直的直线的点斜式方程.
答案：（1）因为直线的方程为，所以该直线的斜率，所以过点且与直线平行的直线的点斜式方程为.
（2）易知与直线垂直的直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线的点斜式方程为.
（四）小结作业
小结：
1. 直线的点斜式方程；
2. 直线的斜截式方程；
作业：
四、板书设计
2.2.1 直线的点斜式方程
1. 直线的点斜式方程；
2. 直线的斜截式方程；
3. 两条直线的位置关系.
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