2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：2.2.3直线的一般式方程

第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
教学设计
一、教学目标
1. 掌握直线的一般式方程；
2. 了解一般式方程与二元一次方程的关系.
二、教学重难点
1. 教学重点
直线的一般式方程.
2. 教学难点
直线的一般式方程的应用.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：（1）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
（2）任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
（学生自由回答，教师引导，引出接下来要学习的内容）
（二）探索新知
先看问题（1）. 任意一条直线l，在其上任取一点，当直线l的斜率为k时（此时直线的倾斜角），其方程为，这是关于x，y的二元一次方程.
当直线l的斜率不存在，即直线l的倾斜角时，直线的方程为，上述方程可以认为是关于x，y的二元一次方程，因此此时方程中y的系数为0.
方程和都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示.
反之，对于任意一个二元一次方程（A，B不同时为0），如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线.
当时，，方程可变形为，它表示过点，且垂直于x轴的直线.
由上可知，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.
我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.
问题 在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合.
（学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师做最后总结）
（1）且；（2）且；（3）且；（4）且.
例1 已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点，斜率为的直线的点斜式方程是，
化为一般式，得.
例2 把直线l的一般式方程化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
解：把直线l的一般式方程化为斜截式.
因此，直线l的斜率，它在y轴上的截距是3.
在直线l的方程中，令，得，即直线l在x轴上的截距是.
由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为，如图，过A，B两点作直线，就得直线l.
（三）课堂练习
1.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则有( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：令得，即；令得，即.故选B.
2.过点且垂直于直线 的直线方程为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：∵直线的斜率为，
∴由垂直关系可得所求直线的斜率为-2，
∴所求直线的方程为，
化为一般式可得：，
故选A.
3.无论m取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：直线可化为，
由题意，可得，
∴，
∴直线恒过一定点.故选A.
4.若直线的截距式化为斜截式为，化为一般式为，且，则__________.
答案：6
解析：由，得，一般式为，，即，解得或..
5.已知在中，.求：
（1）边所在直线的一般式方程；
（2）边上的高所在直线的一般式方程.
答案：（1）由题意，可得，
由直线的点斜式方程，可得，
即边所在直线的一般式方程为.
（2）由（1），可得，所以，
所以由直线的点斜式方程，可得，
即边上的高所在直线的一般式方程为.
（四）小结作业
小结：
1. 直线的一般式方程；
2. 直线的一般式方程与二元一次方程的关系.
作业：
四、板书设计
2.2.3 直线的一般式方程
1. 直线的一般式方程；
2