2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：2.3.3点到直线的距离公式

第二章 直线和圆的方程
2.3.3 点到直线的距离公式
教学设计
一、教学目标
1.探索并掌握点到直线的距离公式.
2.理解点到直线的距离公式的推导公式并学会应用.
二、教学重难点
1、教学重点
点到直线的距离公式及应用.
2、教学难点
点到直线的距离公式的推导.
三、教学过程
1、新课导入
一点与直线的位置关系有哪几种呢？点在直线上和点在直线外两种，那么直线外的点到直线的距离怎么求得呢？带着这样的疑问来进行本节课的学习.
2、探索新知
如图，点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出，就可以得到点P到直线l的距离.
设，.由，以及直线l的斜率为，可得l的垂线PQ的斜率为，因此，垂线PQ的方程为，即.
解方程组①.得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为.
于是
因此，点到直线的距离.
可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立.
上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大、反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗？由此能否给出简化运算的方法？
在上述方法中，若设垂足Q的坐标为（x，y），则②.
对于②式，你能给出它的几何意义吗？结合方程组①，能否直接求出，进而求出呢？
我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离？
如图，点P到直线l的距离，就是向量的模.
设M（x，y）是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在n上的投影向量，.
如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n？
设，是直线上的任意两点，则是直线l的方向向量，把，两式相减，得.由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直，向量就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量，我们取，从而.
因为点M（x，y）在直线l上，所以.所以.代入上式，得.因此.
比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？
学习课本例题加深对知识的理解和掌握.
3、课堂练习
1.已知点到直线的距离为1，则等于( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由点到直线的距离公式，得，即，，，故选B.
2.点到直线距离的最大值为( )
A．1 B． C． D．2
答案：B
解析：记点，直线恒过点，当垂直于直线时，点到直线的距离最大，且最大值为，故选B.
7.已知直线过点且与点等距离，则直线的方程为 .
答案：或
解析：当直线斜率不存在时，直线方程为，不符合题意，设直线斜率为k，则直线l的方程为，整理得，点A到直线的距离为，点B到直线的距离为，∴，求得或，∴直线l的方程为：或，故答案为：或.
4、小结作业
小结：本节课学习了点到直线的距离公式及应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
2.3.3 点到直线的距离公式
点到直线的距离.
点P到直线l的距离，就是向量的模，设M（x，y）是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在n上的投影向量，..
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