2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：2.4.1 圆的标准方程
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：2.4.1 圆的标准方程 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-20 09:10:03 | ||
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文档简介
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
教学设计
一、教学目标
1. 掌握确定圆的几何要素；
2. 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；
3. 能够应用圆的方程解决简单的数学问题.
二、教学重难点
1. 教学重点
圆的标准方程.
2. 教学难点
求圆的标准方程.
三、教学过程
（一）新课导入
问题1 什么是圆？简述圆的定义.
（学生举手回答，教师总结）
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
问题2 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
（学生自主发言，教师不做评价，引出下面所学内容）
（二）探索新知
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程.
如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，半径为r，为圆上任意一点，就是以下点的集合
.
根据两点间的距离公式，点M的坐标满足的条件可以表示为
，
两边平方，得
.（1）
由上述过程可知，若点在上，点M的坐标就满足方程（1）；反过来，若点M的坐标满足方程（1），就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在上. 这时，我们把方程（1）称为圆心为，半径为r的圆的标准方程.
问题3 圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程是什么？
.
例1 求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点是否在这个圆上.
解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是.
把点的坐标代入方程的左边，得左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上.
把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上（如图）.
问题4 点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？
（学生以小组为单位讨论，每组选出一位代表回答，教师做最后总结、讲解）
点在圆内，则；在圆外，则.
例2 的三个顶点分别是，求的外接圆的标准方程.
解：设所求的方程是.
因为三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程.
于是，
即.
三式两两相减，可以消去，得到关于的二元一次方程组，
解此方程组，得，
代入，得.
所以，的外接圆的标准方程是.
例3 已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程.
解法1：设圆心C的坐标为.
因为圆心C在直线上，所以.①
因为A，B是圆上两点，所以.
根据两点间距离公式，有，
即.②
由①②可得. 所以圆心C的坐标是.
圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
解法2：如图，设线段AB的中点为D. 由A，B两点的坐标为，可得点D的坐标为，直线AB的斜率为.
因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即.
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解.
解这个方程组，得.
所以圆心C的坐标是.
圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
（三）课堂练习
1.圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：圆心在轴上，选项C圆心为不符合题意，排除选项C；又圆过点可排除选项A，D，因此只有B符合题意.故选B.
2.点与圆的位置关系是( )
A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不能确定
答案：A
解析：将点代入圆方程的左边，得，因此点在圆外.故选A.
3.过三点的圆的方程为____________________.
答案：
解析：方法一：设圆的方程为，所以，解得，所以圆的方程为.
方法二：线段的中点为，直线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为.线段的中点为，直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为.两直线联立，得，所以圆心，圆的半径，所以圆的方程为.
4.若直线与两坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的内切圆的标准方程为___________________.
答案：
解析：由题，可得，.设内切圆的半径为，则有，解得，因而圆心坐标为.故圆的方程为.
5.已知圆过点.
（1）若圆还过点，求圆的标准方程；
（2）若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程.
答案：（1）设圆的标准方程是，
则，解得，
故圆的标准方程为.
（2）由圆的对称性，可知圆心的横坐标为，故圆心，
故圆的半径，
故圆的标准方程为.
（四）小结作业
小结：
1. 圆的标准方程；
2. 应用圆的方程解决简单的数学问题.
作业：
四、板书设计
2.4.1 圆的标准方程
1. 圆的标准方程；
2. 点与圆的位置关系.
2
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
教学设计
一、教学目标
1. 掌握确定圆的几何要素；
2. 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；
3. 能够应用圆的方程解决简单的数学问题.
二、教学重难点
1. 教学重点
圆的标准方程.
2. 教学难点
求圆的标准方程.
三、教学过程
（一）新课导入
问题1 什么是圆？简述圆的定义.
（学生举手回答，教师总结）
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
问题2 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
（学生自主发言，教师不做评价，引出下面所学内容）
（二）探索新知
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程.
如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，半径为r，为圆上任意一点，就是以下点的集合
.
根据两点间的距离公式，点M的坐标满足的条件可以表示为
，
两边平方，得
.（1）
由上述过程可知，若点在上，点M的坐标就满足方程（1）；反过来，若点M的坐标满足方程（1），就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在上. 这时，我们把方程（1）称为圆心为，半径为r的圆的标准方程.
问题3 圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程是什么？
.
例1 求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点是否在这个圆上.
解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是.
把点的坐标代入方程的左边，得左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上.
把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上（如图）.
问题4 点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？
（学生以小组为单位讨论，每组选出一位代表回答，教师做最后总结、讲解）
点在圆内，则；在圆外，则.
例2 的三个顶点分别是，求的外接圆的标准方程.
解：设所求的方程是.
因为三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程.
于是，
即.
三式两两相减，可以消去，得到关于的二元一次方程组，
解此方程组，得，
代入，得.
所以，的外接圆的标准方程是.
例3 已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程.
解法1：设圆心C的坐标为.
因为圆心C在直线上，所以.①
因为A，B是圆上两点，所以.
根据两点间距离公式，有，
即.②
由①②可得. 所以圆心C的坐标是.
圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
解法2：如图，设线段AB的中点为D. 由A，B两点的坐标为，可得点D的坐标为，直线AB的斜率为.
因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即.
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解.
解这个方程组，得.
所以圆心C的坐标是.
圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
（三）课堂练习
1.圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：圆心在轴上，选项C圆心为不符合题意，排除选项C；又圆过点可排除选项A，D，因此只有B符合题意.故选B.
2.点与圆的位置关系是( )
A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不能确定
答案：A
解析：将点代入圆方程的左边，得，因此点在圆外.故选A.
3.过三点的圆的方程为____________________.
答案：
解析：方法一：设圆的方程为，所以，解得，所以圆的方程为.
方法二：线段的中点为，直线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为.线段的中点为，直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为.两直线联立，得，所以圆心，圆的半径，所以圆的方程为.
4.若直线与两坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的内切圆的标准方程为___________________.
答案：
解析：由题，可得，.设内切圆的半径为，则有，解得，因而圆心坐标为.故圆的方程为.
5.已知圆过点.
（1）若圆还过点，求圆的标准方程；
（2）若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程.
答案：（1）设圆的标准方程是，
则，解得，
故圆的标准方程为.
（2）由圆的对称性，可知圆心的横坐标为，故圆心，
故圆的半径，
故圆的标准方程为.
（四）小结作业
小结：
1. 圆的标准方程；
2. 应用圆的方程解决简单的数学问题.
作业：
四、板书设计
2.4.1 圆的标准方程
1. 圆的标准方程；
2. 点与圆的位置关系.
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