2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：2.4.2 圆的一般方程

第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
教学设计
一、教学目标
1. 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；
2. 能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题；
3. 初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法.
二、教学重难点
1. 教学重点
圆的一般方程.
2. 教学难点
圆的一般方程的应用.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：圆心为，半径为r的圆的标准方程为.
问题1 以为圆心， 2为半径的圆的标准方程是什么？
（学生自由回答）
答：.
问题2 若将此方程展开，得到什么？
答：.
问题3 上面两个式子都能表示圆，由此我们得到圆的标准方程可以变形为（1）的形式.反过来，形如（1）的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？
（学生自主思考，举手回答，教师引导，并引出下面内容）
（二）探索新知
例如，对于方程，对其进行配方，得，因为任意一个点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形. 所以，形如（1）的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程. 这表明，形如（1）的方程不一定是圆的方程.
问题4 方程中的D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？
（学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师引导，讲解）
将方程（1）的左边配方，并把常数项移到右边，得
.①
（1）当时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程（1）表示以为圆心，为半径的圆；
（2）当时，方程（1）只有实数解，它表示一个点；
（3）当时，方程（1）没有实数解，它不表示任何图形.
因此，当时，方程（1）表示一个圆. 我们把方程（1）叫做圆的一般方程.
例1 求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是.①
因为三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解. 把它们的坐标依次代人方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组，
解这个方程组，得.
所以，所求圆的方程是.
故所求圆的圆心坐标是，半径.
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
（3）解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.
例2 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：如图，设点M的坐标是，点A的坐标是.由于点B的坐标是，且M是线段AB的中点，所以.
于是有.①
因为点A在圆上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即.②
把①代入②，得，整理得.
这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆.
（三）课堂练习
1.以为圆心，为半径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由圆心坐标为，半径，
则圆的标准方程为：，
化为一般方程为：.故选C.
2.方程表示圆，则的取值范围是( )
A.或 B. C. D.
答案：D
解析：方程表示圆，
∴，
∴，
∴，
∴.故选D.
3.圆的半径为______.
答案：
解析：由，得，所以所求圆的半径为.
4.在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为__________.
答案：
解析：设圆的方程为，
圆经过三点，则，解得：，
则圆的方程为.
5.圆心在直线上的圆与轴交于两点，求圆的方程.
答案：设圆的方程为.
圆心在直线上，
，
即.①
又点在圆上，
，②
由①②，解得，
圆的方程为.
（四）小结作业
小结：
1. 圆的一般方程；
2. 应用圆的方程解决简单的数学问题.
作业：
四、板书设计
2.4.2 圆的一般方程
1. 圆的一般方程；
2. 求圆的方程的步骤.
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