2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：2.5.2 圆与圆的位置关系
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：2.5.2 圆与圆的位置关系 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-20 09:14:36 | ||
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文档简介
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2 圆与圆的位置关系
教学设计
一、教学目标
1. 能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系；
2. 能用圆的方程解决一些简单的数学问题.
二、教学重难点
1. 教学重点
圆与圆的位置关系.
2. 教学难点
圆的方程的应用.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：圆与圆有哪些位置关系？
（学生自由发言，教师总结）
（1）两圆相交，有两个公共点；
（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.
上节课学习了运用直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系的方法，类比这种方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？
先来看例1.
（二）探索新知
例1 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系.
解法1：将圆与圆的方程联立，得到方程组
①-②，得
由③，得.
把上式代入①，并整理，得.④
方程④的根的判别式，所以，方程④有两个不相等的实数根. 把分别代入方程③，得到.
因此圆与圆有两个公共点，这两个圆相交.
解法2：把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径.
把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径.
圆与圆的连心线的长为.
圆与圆的两半径之和，两半径长之差.
因为，即，所以圆与圆相交（如图），它们有两个公共点A，B.
问题 在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的，它说明什么？能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？当时，两圆是什么位置关系？
（学生分组讨论，每组选出代表回答，教师引导、讲解）
当时，方程组只有一组解，此时两圆相切，但不能确定两圆是内切还是外切.若较小圆的圆心在另一个圆内，则两圆内切；否则，两圆外切.
当时，方程组没有解，此时两圆相离，但不能确定两圆是外离还是内含.若较小圆的圆心在另一个圆内，则两圆内含；否则，两圆外离.
例2 已知圆O的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由，得.
设点M的坐标为，由，得，化简，得，即.
所以点M的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆.
因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，又，所以点M的轨迹与圆O相交.
（三）课堂练习
1.圆和圆的位置关系是( )
A.相切 B.内含 C.相交 D.外离
答案：B
解析：因为两圆的圆心距，所以两圆内含.故选B.
2.已知圆与圆外切，为正实数，则的最大值为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
所以，所以，
所以，所以，即当时，取得最大值，最大值为.故选B.
3.若圆与圆相交，则实数的取值范围是___________.
答案：
解析：两圆的方程可分别化为，两圆的圆心距，由题意可知，解得.
4.已知是圆与圆的公共点，则的面积为____________.
答案：
解析：由题意，可知圆的圆心坐标为，半径为.联立，可得直线的方程为，所以到直线的距离为，线段的长度为，所以的面积为.
5.已知圆和圆.
（1）当时，判断圆和圆的位置关系.
（2）是否存在实数，使得圆和圆内含？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）当时，圆的方程为，
圆心为，半径为，
圆的方程为，圆心为，半径为，
两圆的圆心距，
又，
所以，所以圆和圆相交.
（2）不存在实数，使得圆和圆内含.理由如下：
圆的方程可化为，圆心的坐标为，半径为3.
假设存在实数，使得圆和圆内含，
则圆心距，
即，此不等式无解.
故不存在实数，使得圆和圆内含.
（四）小结作业
小结：
1. 圆与圆的位置关系；
2. 圆的方程的应用.
作业：
四、板书设计
2.5.2 圆与圆的位置关系
1. 圆与圆的位置关系：相交、相切（外切、内切）、相离（外离、内含）；
2. 用方程判断圆与圆的位置关系.
2
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2 圆与圆的位置关系
教学设计
一、教学目标
1. 能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系；
2. 能用圆的方程解决一些简单的数学问题.
二、教学重难点
1. 教学重点
圆与圆的位置关系.
2. 教学难点
圆的方程的应用.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：圆与圆有哪些位置关系？
（学生自由发言，教师总结）
（1）两圆相交，有两个公共点；
（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.
上节课学习了运用直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系的方法，类比这种方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？
先来看例1.
（二）探索新知
例1 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系.
解法1：将圆与圆的方程联立，得到方程组
①-②，得
由③，得.
把上式代入①，并整理，得.④
方程④的根的判别式，所以，方程④有两个不相等的实数根. 把分别代入方程③，得到.
因此圆与圆有两个公共点，这两个圆相交.
解法2：把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径.
把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径.
圆与圆的连心线的长为.
圆与圆的两半径之和，两半径长之差.
因为，即，所以圆与圆相交（如图），它们有两个公共点A，B.
问题 在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的，它说明什么？能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？当时，两圆是什么位置关系？
（学生分组讨论，每组选出代表回答，教师引导、讲解）
当时，方程组只有一组解，此时两圆相切，但不能确定两圆是内切还是外切.若较小圆的圆心在另一个圆内，则两圆内切；否则，两圆外切.
当时，方程组没有解，此时两圆相离，但不能确定两圆是外离还是内含.若较小圆的圆心在另一个圆内，则两圆内含；否则，两圆外离.
例2 已知圆O的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由，得.
设点M的坐标为，由，得，化简，得，即.
所以点M的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆.
因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，又，所以点M的轨迹与圆O相交.
（三）课堂练习
1.圆和圆的位置关系是( )
A.相切 B.内含 C.相交 D.外离
答案：B
解析：因为两圆的圆心距，所以两圆内含.故选B.
2.已知圆与圆外切，为正实数，则的最大值为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
所以，所以，
所以，所以，即当时，取得最大值，最大值为.故选B.
3.若圆与圆相交，则实数的取值范围是___________.
答案：
解析：两圆的方程可分别化为，两圆的圆心距，由题意可知，解得.
4.已知是圆与圆的公共点，则的面积为____________.
答案：
解析：由题意，可知圆的圆心坐标为，半径为.联立，可得直线的方程为，所以到直线的距离为，线段的长度为，所以的面积为.
5.已知圆和圆.
（1）当时，判断圆和圆的位置关系.
（2）是否存在实数，使得圆和圆内含？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）当时，圆的方程为，
圆心为，半径为，
圆的方程为，圆心为，半径为，
两圆的圆心距，
又，
所以，所以圆和圆相交.
（2）不存在实数，使得圆和圆内含.理由如下：
圆的方程可化为，圆心的坐标为，半径为3.
假设存在实数，使得圆和圆内含，
则圆心距，
即，此不等式无解.
故不存在实数，使得圆和圆内含.
（四）小结作业
小结：
1. 圆与圆的位置关系；
2. 圆的方程的应用.
作业：
四、板书设计
2.5.2 圆与圆的位置关系
1. 圆与圆的位置关系：相交、相切（外切、内切）、相离（外离、内含）；
2. 用方程判断圆与圆的位置关系.
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