2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：2.5.1 直线与圆的位置关系
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：2.5.1 直线与圆的位置关系 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 11.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-20 09:11:12 | ||
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文档简介
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
教学设计
一、教学目标
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；
2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
二、教学重难点
1. 教学重点
直线与圆的位置关系及其应用.
2. 教学难点
直线与圆的方程的应用.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：直线与圆有哪些位置关系？
（学生自由发言，教师总结）
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点.
（二）探索新知
问题1 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？
根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系.
（1）直线与圆相交；
（2）直线与圆相切；
（3）直线与圆相离.
问题2 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
先来看例1.
例1 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
解法1：联立直线l与圆C的方程，得，
消去y，得，解得.
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.
把分别代入方程①，得.
所以，直线l与圆C的两个交点是.
因此.
解法2：圆C的方程可化为，因此圆心C的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离.
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.
如图，由垂径定理，得.
通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.
我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小，判断直线与圆的位置关系.若相交，则可利用勾股定理求得弦长.
例2 过点作圆的切线l，求切线l的方程.
解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为，即.
由圆心到切线l的距离等于圆的半径1，得，解得或.
因此，所求切线l的方程为，或.
解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为.
因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解.
消元，得.①
因为方程①只有一个解，所以，解得或.
所以，所求切线l的方程为，或.
例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度，拱高，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.01 m）.
解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上. 由题意，点P，B的坐标分别为. 设圆心坐标是，圆的半径是r，那么圆的方程是.
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程. 于是，得到方程组.
解得.
所以，圆的方程是.
把点的横坐标代入圆的方程，得，
即（的纵坐标，平方根取正值）.
所以.
答：支柱的高度约为3.86 m.
例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处. 如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系. 为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为.
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为. 轮船航线所在直线l的方程为，即.
联立直线l与圆O的方程，得.
消去y，得.
由，可知方程组无解.
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
（三）课堂练习
1. 若直线与圆相切，则的值为( )
A.16 B.4 C. D.16或
答案：D
解析：圆的方程可化为，则圆心坐标为，.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，则有，解得或.故选D.
2. 已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：易知圆心坐标是，半径是1，直线的斜率存在.设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式，得，即，解得.故选C.
3. 直线与圆交于两点，则______________.
答案：
解析：由题意知圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为2，则圆心到直线的距离，所以.
4. 点在圆上，则点到直线的最短距离为___________.
答案：2
解析：圆心的坐标为，点到直线的距离为，所以所求最小值为.
5. 已知圆和点.
（1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程；
（2）若，过点的两条弦互相垂直，求的最大值.
答案：（1）由题意知点在圆上，
所以，解得.
当时，点为，所以，
切线此时切线方程为，即；
当时，点为，所以.
此时切线方程为，即.
综上，所求切线方程为或.
（2）设圆心到直线的距离分别为，
则.
因为，
所以，
所以
.
因为，即，所以，
当且仅当时取等号，所以，
所以.
所以，即的最大值为.
（四）小结作业
小结：
1. 直线与圆的位置关系；
2. 直线与圆的方程的应用.
作业：
四、板书设计
2.5.1 直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离；
2. 用方程判断直线与圆的位置关系；
3. 用坐标法判断直线与圆的位置关系.
2
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
教学设计
一、教学目标
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；
2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
二、教学重难点
1. 教学重点
直线与圆的位置关系及其应用.
2. 教学难点
直线与圆的方程的应用.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：直线与圆有哪些位置关系？
（学生自由发言，教师总结）
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点.
（二）探索新知
问题1 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？
根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系.
（1）直线与圆相交；
（2）直线与圆相切；
（3）直线与圆相离.
问题2 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
先来看例1.
例1 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
解法1：联立直线l与圆C的方程，得，
消去y，得，解得.
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.
把分别代入方程①，得.
所以，直线l与圆C的两个交点是.
因此.
解法2：圆C的方程可化为，因此圆心C的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离.
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.
如图，由垂径定理，得.
通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.
我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小，判断直线与圆的位置关系.若相交，则可利用勾股定理求得弦长.
例2 过点作圆的切线l，求切线l的方程.
解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为，即.
由圆心到切线l的距离等于圆的半径1，得，解得或.
因此，所求切线l的方程为，或.
解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为.
因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解.
消元，得.①
因为方程①只有一个解，所以，解得或.
所以，所求切线l的方程为，或.
例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度，拱高，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.01 m）.
解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上. 由题意，点P，B的坐标分别为. 设圆心坐标是，圆的半径是r，那么圆的方程是.
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程. 于是，得到方程组.
解得.
所以，圆的方程是.
把点的横坐标代入圆的方程，得，
即（的纵坐标，平方根取正值）.
所以.
答：支柱的高度约为3.86 m.
例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处. 如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系. 为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为.
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为. 轮船航线所在直线l的方程为，即.
联立直线l与圆O的方程，得.
消去y，得.
由，可知方程组无解.
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
（三）课堂练习
1. 若直线与圆相切，则的值为( )
A.16 B.4 C. D.16或
答案：D
解析：圆的方程可化为，则圆心坐标为，.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，则有，解得或.故选D.
2. 已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：易知圆心坐标是，半径是1，直线的斜率存在.设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式，得，即，解得.故选C.
3. 直线与圆交于两点，则______________.
答案：
解析：由题意知圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为2，则圆心到直线的距离，所以.
4. 点在圆上，则点到直线的最短距离为___________.
答案：2
解析：圆心的坐标为，点到直线的距离为，所以所求最小值为.
5. 已知圆和点.
（1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程；
（2）若，过点的两条弦互相垂直，求的最大值.
答案：（1）由题意知点在圆上，
所以，解得.
当时，点为，所以，
切线此时切线方程为，即；
当时，点为，所以.
此时切线方程为，即.
综上，所求切线方程为或.
（2）设圆心到直线的距离分别为，
则.
因为，
所以，
所以
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因为，即，所以，
当且仅当时取等号，所以，
所以.
所以，即的最大值为.
（四）小结作业
小结：
1. 直线与圆的位置关系；
2. 直线与圆的方程的应用.
作业：
四、板书设计
2.5.1 直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离；
2. 用方程判断直线与圆的位置关系；
3. 用坐标法判断直线与圆的位置关系.
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