2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：3.2.1 双曲线及其标准方程
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：3.2.1 双曲线及其标准方程 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 6.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-20 09:12:10 | ||
图片预览
文档简介
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
教学设计
一、教学目标
1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；
2. 通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想.
二、教学重难点
1. 教学重点
双曲线的定义、标准方程.
2. 教学难点
双曲线标准方程的推导.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：椭圆的定义：
平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹是椭圆.
思考：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
（二）探索新知
一般地，我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
思考：类比求椭圆标准方程的过程，建立适当的坐标系，得出双曲线的方程.
观察画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线是它的一条对称轴，取经过两焦点和的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.设M(x，y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c >0)，那么，焦点的坐标分别是，又设（a为大于0的常数）.
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
.
因为，
所以.①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得，
两边同除以，得.
由双曲线的定义知，，即，所以.
类比椭圆标准方程的建立过程，令，其中，代入上式，得.②
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是的双曲线，这里.
思考：类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
如图，双曲线的焦距为2c，焦点分别是，a，b的意义同上，这时双曲线的方程是，这个方程也是双曲线的标准方程.
例1 已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点P与的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为.
由，得，又，因此.
所以，双曲线的标准方程为.
例2 已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合.
设炮弹爆炸点P的坐标为，则，即.
又，所以.
因为，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此.
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为.
（三）课堂练习
1.如果方程表示双曲线，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意知，解得.故m的范围是.故选A.
2.已知为平面内两个定点，为动点，若(为大于零的常数)，则动点的轨迹为( )
A.双曲线 B.射线 C.线段 D.双曲线的一支或射线
答案：D
解析：两个定点的距离为，当，即时，点的轨迹为双曲线的一支；当，即时，点的轨迹为射线；不存在的情况.
综上所述，动点的轨迹为双曲线的一支或射线.故选D.
3.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为__________.
答案：4
解析：由题意，，，.
4.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）一个焦点是，经过点；
（2）与双曲线有相同焦点，且经过点；
（3）过两点.
答案：（1）由已知，得，且焦点在y轴上，则另一焦点为.
由双曲线的定义，得，
∴，∴.
∴所求双曲线的标准方程为.
（2）由条件可知焦点在x轴上，设双曲线方程为，
则，解得，
∴所求双曲线的标准方程为.
（3）∵双曲线的焦点位置不定，
∴设双曲线的方程为.
∵点在双曲线上，
∴，解得，
∴所求双曲线的标准方程为.
（四）小结作业
小结：
1. 双曲线的定义；
2. 双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，焦点分别是的双曲线的标准方程为.
（2）焦点在y轴上，焦点分别是的双曲线的标准方程为.
这里.
作业：
四、板书设计
3.2.1 双曲线及其标准方程
1. 双曲线、焦点、焦距的定义；
2. 双曲线的标准方程.
2
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
教学设计
一、教学目标
1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；
2. 通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想.
二、教学重难点
1. 教学重点
双曲线的定义、标准方程.
2. 教学难点
双曲线标准方程的推导.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：椭圆的定义：
平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹是椭圆.
思考：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
（二）探索新知
一般地，我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
思考：类比求椭圆标准方程的过程，建立适当的坐标系，得出双曲线的方程.
观察画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线是它的一条对称轴，取经过两焦点和的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.设M(x，y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c >0)，那么，焦点的坐标分别是，又设（a为大于0的常数）.
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
.
因为，
所以.①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得，
两边同除以，得.
由双曲线的定义知，，即，所以.
类比椭圆标准方程的建立过程，令，其中，代入上式，得.②
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是的双曲线，这里.
思考：类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
如图，双曲线的焦距为2c，焦点分别是，a，b的意义同上，这时双曲线的方程是，这个方程也是双曲线的标准方程.
例1 已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点P与的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为.
由，得，又，因此.
所以，双曲线的标准方程为.
例2 已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合.
设炮弹爆炸点P的坐标为，则，即.
又，所以.
因为，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此.
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为.
（三）课堂练习
1.如果方程表示双曲线，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意知，解得.故m的范围是.故选A.
2.已知为平面内两个定点，为动点，若(为大于零的常数)，则动点的轨迹为( )
A.双曲线 B.射线 C.线段 D.双曲线的一支或射线
答案：D
解析：两个定点的距离为，当，即时，点的轨迹为双曲线的一支；当，即时，点的轨迹为射线；不存在的情况.
综上所述，动点的轨迹为双曲线的一支或射线.故选D.
3.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为__________.
答案：4
解析：由题意，，，.
4.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）一个焦点是，经过点；
（2）与双曲线有相同焦点，且经过点；
（3）过两点.
答案：（1）由已知，得，且焦点在y轴上，则另一焦点为.
由双曲线的定义，得，
∴，∴.
∴所求双曲线的标准方程为.
（2）由条件可知焦点在x轴上，设双曲线方程为，
则，解得，
∴所求双曲线的标准方程为.
（3）∵双曲线的焦点位置不定，
∴设双曲线的方程为.
∵点在双曲线上，
∴，解得，
∴所求双曲线的标准方程为.
（四）小结作业
小结：
1. 双曲线的定义；
2. 双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，焦点分别是的双曲线的标准方程为.
（2）焦点在y轴上，焦点分别是的双曲线的标准方程为.
这里.
作业：
四、板书设计
3.2.1 双曲线及其标准方程
1. 双曲线、焦点、焦距的定义；
2. 双曲线的标准方程.
2