2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：3.1.2 椭圆的简单几何性质
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：3.1.2 椭圆的简单几何性质 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 14.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-20 09:16:40 | ||
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文档简介
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质
教学设计
一、教学目标
1. 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单性质；
2. 能利用椭圆的简单性质求椭圆方程
3. 能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.
二、教学重难点
1. 教学重点
椭圆的几何性质.
2. 教学难点
椭圆性质的理解和应用.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：椭圆的标准方程.
（1）焦点在x轴上，两个焦点分别是的椭圆的标准方程为；
（2）焦点在y轴上，两个焦点分别是的椭圆的标准方程为.
这里.
下面来研究椭圆的几何性质.
（二）探索新知
1. 范围
观察下图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内. 为确定其具体的边界，我们利用方程（代数方法）进行研究.
由方程可知，
所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式，即.
同理有，即.
这说明椭圆位于直线和围成的矩形框里.
2. 对称性
观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.
在椭圆的标准方程中，以代，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于x轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称.同理，以代，方程也不变，这说明如果点在椭圆上，那么它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称.以代，以代，方程也不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称.
综上，椭圆关于x轴、轴都是对称的.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
3. 顶点
思考：椭圆上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？
在椭圆的标准方程中，令，得.因此是椭圆与轴的两个交点.同理，令，得.因此是椭圆与x轴的两个交点.因为x轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.
线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
4. 离心率
如图，椭圆的长半轴长为a，半焦距为c.利用信息技术，保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c，可以发现，c越接近a，椭圆越扁平.类似地，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c，椭圆越扁平；而当a，c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.
这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.
定义：把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即.
因为，所以.e越接近1，c越接近a，就越小，因此椭圆越扁平；反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a，这时椭圆就越接近于圆.
当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
解：把原方程化成标准方程，得，于是.
因此椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率，两个焦点坐标分别是和，四个顶点坐标分别是，和.
例2 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分. 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上. 由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点. 已知. 试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1 cm）.
解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为.
在中，.
由椭圆的性质知，，所以，.
所以，所求的椭圆方程为.
例3 动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹.
解：如图，设d是点M到直线的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合.
由此得.
将上式两边平方，并化简，得，即.
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆.
例4 如图，已知直线和椭圆. m为何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？
解：由方程组消去，得.①
方程①的根的判别式.
由，得.此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点.
由，得.此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点.
由，得，或.此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点.
（三）课堂练习
1.已知椭圆的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则( )
A. B. C.2 D.4
答案：D
解析：化为标准形式得，所以长轴长为2，短轴长为，由题意得，解得.故选D.
2.椭圆与椭圆的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等
答案：C
解析：椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.因此两个椭圆的焦距相等.故选C.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点，若是线段的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由已知可知，点的坐标为，，易知点坐标，将其代入椭圆方程得，所以离心率为.故选D.
4.已知椭圆的离心率，求实数的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标.
答案：椭圆方程可化为.
由，可知，
所以.
由，得，解得.
于是椭圆的标准方程为，则.
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点的坐标分别为；四个顶点的坐标分别为，.
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，下顶点为，离心率为，且的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点在椭圆上，且以为直径的圆过点，求直线的斜率.
答案：（1）由题意可知.
又，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）以为直径的圆过点，即.
因为，所以.
所以直线的方程为.
由，解得或，
所以点坐标为，所以直线的斜率.
（四）小结作业
小结：
椭圆几何性质：范围、对称性、顶点、离心率
作业：
四、板书设计
3.1.2 椭圆的简单几何性质
椭圆的几何性质：
1. 范围
2. 对称性
3. 顶点
4. 离心率
2
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质
教学设计
一、教学目标
1. 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单性质；
2. 能利用椭圆的简单性质求椭圆方程
3. 能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.
二、教学重难点
1. 教学重点
椭圆的几何性质.
2. 教学难点
椭圆性质的理解和应用.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：椭圆的标准方程.
（1）焦点在x轴上，两个焦点分别是的椭圆的标准方程为；
（2）焦点在y轴上，两个焦点分别是的椭圆的标准方程为.
这里.
下面来研究椭圆的几何性质.
（二）探索新知
1. 范围
观察下图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内. 为确定其具体的边界，我们利用方程（代数方法）进行研究.
由方程可知，
所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式，即.
同理有，即.
这说明椭圆位于直线和围成的矩形框里.
2. 对称性
观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.
在椭圆的标准方程中，以代，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于x轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称.同理，以代，方程也不变，这说明如果点在椭圆上，那么它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称.以代，以代，方程也不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称.
综上，椭圆关于x轴、轴都是对称的.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
3. 顶点
思考：椭圆上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？
在椭圆的标准方程中，令，得.因此是椭圆与轴的两个交点.同理，令，得.因此是椭圆与x轴的两个交点.因为x轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.
线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
4. 离心率
如图，椭圆的长半轴长为a，半焦距为c.利用信息技术，保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c，可以发现，c越接近a，椭圆越扁平.类似地，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c，椭圆越扁平；而当a，c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.
这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.
定义：把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即.
因为，所以.e越接近1，c越接近a，就越小，因此椭圆越扁平；反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a，这时椭圆就越接近于圆.
当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
解：把原方程化成标准方程，得，于是.
因此椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率，两个焦点坐标分别是和，四个顶点坐标分别是，和.
例2 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分. 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上. 由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点. 已知. 试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1 cm）.
解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为.
在中，.
由椭圆的性质知，，所以，.
所以，所求的椭圆方程为.
例3 动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹.
解：如图，设d是点M到直线的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合.
由此得.
将上式两边平方，并化简，得，即.
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆.
例4 如图，已知直线和椭圆. m为何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？
解：由方程组消去，得.①
方程①的根的判别式.
由，得.此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点.
由，得.此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点.
由，得，或.此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点.
（三）课堂练习
1.已知椭圆的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则( )
A. B. C.2 D.4
答案：D
解析：化为标准形式得，所以长轴长为2，短轴长为，由题意得，解得.故选D.
2.椭圆与椭圆的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等
答案：C
解析：椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.因此两个椭圆的焦距相等.故选C.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点，若是线段的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由已知可知，点的坐标为，，易知点坐标，将其代入椭圆方程得，所以离心率为.故选D.
4.已知椭圆的离心率，求实数的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标.
答案：椭圆方程可化为.
由，可知，
所以.
由，得，解得.
于是椭圆的标准方程为，则.
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点的坐标分别为；四个顶点的坐标分别为，.
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，下顶点为，离心率为，且的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点在椭圆上，且以为直径的圆过点，求直线的斜率.
答案：（1）由题意可知.
又，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）以为直径的圆过点，即.
因为，所以.
所以直线的方程为.
由，解得或，
所以点坐标为，所以直线的斜率.
（四）小结作业
小结：
椭圆几何性质：范围、对称性、顶点、离心率
作业：
四、板书设计
3.1.2 椭圆的简单几何性质
椭圆的几何性质：
1. 范围
2. 对称性
3. 顶点
4. 离心率
2